Katta sonlar qonuni - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	38000UZS
Размер	358.6KB
Покупки	0
Дата загрузки	19 Январь 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Alisher

Дата регистрации 03 Декабрь 2024

66 Продаж

Katta sonlar qonuni

Купить

MUNDARIJA:
I. Kirish.....................................................................................................................3
II. Asosiy qism..........................................................................................................6
1-§. Cherbishev teoremasi.....................................................................................6
2-§. Teorema Xinchin............................................................................................8
3-§. Bernulli teoremasi........................................................................................13
III. Xulosa...............................................................................................................24
IV. Foydalanilgan adabiyotlar.............................................................................27
2

Kirish
– Buyuk ajdodimiz Muhammad Xorazmiyning
bir hikmati bor: “So‘z – gul, ish – meva”.
O‘ylaymanki, bugun belgilab oladigan
rejalaringiz qanchalik pishiq-puxta bo‘lsa,
ishingiz ham shunchalik yaxshi samara beradi, –
dedi Shavkat Mirziyoyev. – Sizlar ko‘p kitob
o‘qigan, bilimli avlod sifatida yurtimiz
o‘tmishda jahon sivizilizatsiyasi beshiklaridan
biri bo‘lganini yaxshi bilasiz. Siz Xorazmiylar,
Farg‘oniylar, Beruniy va Ibn Sino, Ulug‘bek,
Navoiy va Boburlar, Buxoriylar, Termiziylar
avlodisiz. Ana shunday buyuk vatandoshlarimiz
yaratgan bebaho bilim va kashfiyotlar bugun
ham butun insoniyatga xizmat qilmoqda.
Prezident Shavkat M.M. so’zlari
O’zbekiston Res p ublikasida shakllangan uzluksiz ta’lim tizimi barkamol shaxs va
malakali mutaxassisni tayyorlash jarayonining s amarali tashkil etilishini ta’minlashga
xizmat qiladi. Uzluksiz ta’lim tizimi doirasida faoliyat olib boruvchi ta’lim muassasalari
ilg’or, demokratik hamda insonparvar g’oyalarga tayangan, hamda yangicha mazmunga ega
bulgan t a’lim jarayonini tashkil etishda muhim o’rin tutadi. Uzluksiz ta’lim tizimini
shakllantirish, shuningdek, tag’lim mazmunini yangilash ta’lim sohasida olib borilayotgan
islohotlarning bosh g’oyasi sanaladi.
Oliy ta’lim mazmunini yangilash jarayonida bo’lajak mutaxassislarning umumiy
mehnat va kasbiy ko’nikma hamda malakalarga ega bo’lishlarini ta’minlash masalasining
samarali hal etilishiga alohida ahamiyat qaratilishi zarur.
3

Bozor iqtisodiyotiga o’tish sharoitida o’qituvchilarning mehnat bozoriga moslashuvini
ta’minlash alohida ahamiyat kasb etmoqda. Shu o’rinda alohida ta’kidlash joizki, oliy
ta’lim muassasalarida bo’lajak mutaxassislarni tayyorlash jarayoni talabalarda zaruriy
ishlab chiqarish iqtisodiy mazmunga ega faoliyat, ko’nikma va malakalari sifatini
sh akllantirishga e’tiborni qaratish talab etiladi. Biroq, ta’lim jarayonlarini takomillashtirishga
qo’yilayotgan yangi, yanada yuqoriroq talablar, shuningdek, talabalarning kasbiy ko’nikma
va malakalarini, yangi pedagogik texnologiyalarni rivojlantirish bilan yangicha fikrlovchi
mutaxassisni shakllantirish imkonini beruvchi sharoitlarning ishlab chiqilmaganligi o’rtasida
ob’ektiv qarama-qarshilik mavjud.
Har tomonlama barkamol insonni shakllantirish bugungi jamiyatimiz oldida
turgan dolzarb masalalardan biri bo’lib qolmoqda. Hozirgi maktab o’rindiqlarida
o’tirgan yosh avlod ertaga bizning qo’limizdan ishimizni oladigan, hayotimizni davom
ettirib, o’zidan keyingi avlodga yetkazuvchi vorislarimiz, O’zbekiston buyuk
kelajagining egalaridir! Shu sababli 1-Prezidentimiz Islom Karimov butun
mamlakatimiz diqqat e’tiborini barkamol avlod tarbiyasiga qaratmoqda.
“Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida
yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi
farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq.
Buning uchun har qaysi ota –ona, ustoz va murabbiy har bir bola timsolida
avvalo shaxsni ko’rishi zarur. Ana shu oddiy talabdan kelib chiqqan holda,
farzandlarimizni mustaqil va keng fikrlash qobiliyatiga ega bo’lgan, ongli yashaydigan
komil insonlar etib voyaga yetkazish – ta’lim-tarbiya sohasining asosiy maqsadi va
vazifasi bo’lishi lozim, deb qabul qilishimiz kerak. Bu esa ta’lim va tarbiya ishini
uyg’un holda olib borishni talab etadi”
Ta’lim jarayoniga pedagogik texnologiyalarni olib kirish “Kadrlar tayyorlash
milliy dasturi”ning ikkinchi bosqich vazifalaridan biridir. Ta’lim - kelajakdagi
muvaffaqiyatlar kaliti ekan, uning mahsuli sifatida bugungi o’quvchi kelajakda
huquqiy-demokratik jamiyat a’zosi sifatida bu jamiyat hayotida to’laqonli ishtirok eta
4

olishi, zamonning bozor iqtisodiyoti qo’yayotgan talablariga to’la javob bera olishi
kerak. Axborot oqimi keskin ortgan,turli yangiliklar hayotimizga shitob bilan kirib
kelayotgan davrda mustaqil tanqidiy fikrlash ko’nikmalariga ega bo’lgan,yangilikni
o’rganishga doim tayyor bo’lgan, hamkorlikdan cho’chimaydigan , muloqotga erkin
kirisha oladigan shaxsni tarbiyalash ta’lim-tarbiya jarayonining asosiy maqsadi
bo’lishi kerak va bu borada ta’limda yangi texnologiyalarning qo’llanishiga yo’l
ochilishi maqsadga erishish yo’lidagi to’g’ri qadamdir. Hozirgi kunda yangi
texnologiya elementi bo’lgan interfaol usullardan keng foydalanilmoqda.
Boshlang’ich sinf matematik darslarida ilg’or pedagogik texnologiyadan
foydalanib dars o’tilsa, o’qitish jarayoni takomillashadi. Kurs ishi dolzarbligi ana shu
bilan asoslanadi.
Kurs ishi maqsadi: Katta sonlar qonunini o’rgatishda pedagogik
texnologiyalardan foydalanish pedagogik asoslarini ishlab chiqish.
Kurs ishi obyekti: Katta sonlar qonunini Cherbishev teoremasi, Teorema Xinchin,
Bernulli teoremalari orqali organish va hayotga tadbiq etish.
Kurs ishi predmeti: Katta sonlar qonunini o’rgatishda pedagogik
texnologiyalardan foydalanish.
Kurs ishi tuzilishi: Kurs ishi kirish, 3 ta paragrf , xulosa, foydalanilgan
adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
5

1-§. Cherbishev teoremasi
Agar C
n ⊂ C ( K )
chekli n -o’lchovli qism fazo bo’lib, uning ixtiyoriy aynan
noldan farqli elementi
K kompaktning n−1 dan oshmaydigan nuqtalarida nolga
aylansa, u holda u Chebishev qism fazosi deyiladi.

C[a,b] fazoning elementlari uchun n -o’lchovli Chebishev qism-fazosidagi eng
yaxshi yaqinlashtirish ko`phadining alomati haqidagi Chebishev teoremasi.
C [ a , b ]
fazo uchun bunday qism fazo sifatida darajasi
n−1 dan oshmaydigan
barcha algebraik ko`phadlar fazosini ( P
n − 1 ni) olishimiz mumkin. Bunga ishonch hosil
qiling!
Teorema 5.1. (Chebishev). Faraz qilaylik, C
n − C [ a , b ]
fazoning
n -o`lchovli
Chebishev qism fazosi bo`lsin.
φ∈Cn ko`phadning [a,b] da uzluksiz f∈Cn
funksiyaning eng yaxshi yaqinlashtirish ko`phadi bo`lishi uchun a ≤ x
1 < x
2 < … < x
n + 1 ≤ b
day
x1,x2,… ,xn+1 nuqtalar sistemasi mavjud bo`lib,
1)
| f ( x
i ) − φ ( x
i )| = ‖ f − φ ‖
( i = 1 , n + 1 )
;
2) f
( x
i ) − φ ( x
i ) ishora almashinuvchi qiymatlar qabul qilishi zarur va yetarlidir.
Yuqorida keltirilgan xossalarga ega { x
i }
( i = 1 , n + 1 )
nuqtalar to’plami Chebishev
alternansi deyiladi.
Faraz qilaylik,
Pn darajasi n dan oshmaydigan barcha algebraik ko`phadlar fazosi
bo`lsin. Ravshanki, uning o`lchovi n + 1
ga teng. f
funksiyaning g ∈ P
n ko`phadlar bilan
eng yaxshi yaqinlashtirishlarini
En(f) kabi belgilaymiz , ya`ni
E
n
( f ) = inf ⁡ { ‖ f − g ‖
C [ a , b ] : g ∈ P
n }
.
Ixtiyoriy f ∈ C ( K )
funksiya uchun uning
Cn qism-fazodagi eng yaxshi
yaqinlashtirish ko`phadining yagona bo`lishi uchun C
n ning Chebishev qism-fazosi
bo`lishi zarur va yetarlidir.
Teoremalardan
[a,b] oraliqda ixtiyoriy uzluksiz funksiyaning eng yaxshi
yaqinlashtirish algebraik ko`phadi yagona va uning darajasi
n dan iborat eng yaxshi
yaqinlashtirish ko`phadining alomati
n+2 ta nuqtalardan iborat Chebishev
alternansining mavjudligidir. Buni tushuntiring.
6

Misol 5.1. (eng yaxshi o`zgarmas). f ∈ C[ a , b ]
funksiya uchun 0-chi darajali eng
yaxshi yaqinlashtirish ko`phadini tuzish lozim bo`lsin. Agar
M = max {f(x):x∈[a,b]},m= min ⁡{f(x):x∈[a,b]}
bo`lsa, u holda P0= M +m
2 izlanayotgan
eng yaxshi o`zgarmas bo`ladi va E
0
( f ) = M − m
2 . Chunki, bu holda
x1,x2:f(x1)= M ,f(x2)=m
mos ravishda maksimum va minimum nuqtalar Chebishev
alternansini tashkil qiladi.
Misol 5.2. (eng yaxshi chiziqli funksiya)
f funksiya [a,b] oraliqda ikki marta
uzluksiz differensiallanuvchi va
f''(x) [ a , b ]
da ishorasini saqlasin. Aniqlik uchun
f''(x)>0
deb olamiz. Shu funksiyaning birinchi darajali (chiziqli) eng yaxshi
yaqinlashtirish ko`phadini yasash talab qilinsin. Bunday ko`phadni grafik usulda
yasashni ko`rsatamiz(1- chizma):
1-chizma
f
funksiya grafigining ( a , f ( a))
va ( b , f ( b))
nuqtalarini L1 kesma, ya’ni l1(x) chiziqli
funksiya grafigi bilan tutashtiramiz.
( a , b )
intervalda yagona x
0 nuqta topiladiki, unga
mos funksiya grafigiga o`tkazilgan urinma
L2−l2(x) chiziqli funksiyaning grafigi L1
ga paralleldir.
f''(x)>0 shartni nazarga olsak, l
2 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ l
1 ( x )
. Demak,
P
1
( x ) = l
1 ( x ) + l
2 ( x )
2 f uchun eng yaxshi yaqinlashtirish chiziqli funksiyasi bo`ladi,
chunki
a,x0,b Chebishev alternansini tashkil qiladi.
Ikki funksiya eng yaxshi yaqinlashtirish ko`phadlari yig`indisi ular yig`indisining eng
yaxshi yaqinlashtirish ko`phadi bo`lmasligini tasdiqlovchi misol.
7

Misol 5.3. Endi ikki funksiya eng yaxshi yaqinlashtirish ko`phadlari yig`indisi ular
yig`indisining eng yaxshi yaqinlashtirish ko`phadi bo`lmasligini tasdiqlovchi misol
ko`rsatamiz.
2-chizma .
Chizmada ifodalangan funksiyalarning eng yaxshi yaqinlashtirish ko`phadlari f ( x )
uchun l1(x)=0,g(x) uchun l2(x)=0,f(x)+g(x) uchun l3(x)= 1
2 ,
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan mavzu yuzasidan
savol-javob o’tkazish, oson yechiladigan misollar so’rash, tushunilmagan tasdiq,
teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida tushuntirish.
Uy vazifasini berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
tayanch iboralarni yodlash hamda ma’nosini tushunish, muammoli topshiriqlarga
mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol qatnashgan talabalarni
ta’kidlash va yanada faolroq bo’lishga chorlash. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
2-§. Teorema Xinchin
2006 yilda A.Ya.ning asosiy asarlari. Xinchin raqamlar nazariyasi bo'yicha Ularning
aksariyati diofant yaqinlashuvlari nazariyasiga, xususan, ko'p o'lchovli diofant
yaqinlashuvlariga bag'ishlangan. Shubhasiz, bu sohada asosiy asari [6], 1926 yilda
nashr etilgan. Unda, embrionda, amalda mavjud keyinchalik Xinchinning o'zi va
boshqa matematiklar tomonidan ishlab chiqilgan chiziqli bir hil va bir hil bo'lmagan
diofant yaqinlashuvlarining butun nazariyasi - masalan, V. Yarnik, K. Mahler, J.
Kassels. Biroq, ko'plab klassik natijalar Xinchin (shuningdek, uning izdoshlari)
unutilgan va hatto qayta-qayta boshqa olimlar tomonidan tasdiqlangan. Bu ishda biz
8

Xinchinning matritsa xossasining muntazam va matritsa xossasining Chebishev
matritsasining ekvivalentligi haqidagi dastlabki natijasini solishtiramizning asosiy
natijasi) va uning Kasselsning "Diofantin yaqinlashuvlari" kitobidagi ekspozitsiyasi.
Ma'lum bo'lishicha, Xinchinning formulasi va Kasselning formulasi boshqacha, ular
ekvivalent bo'lsa ham. Bu quyida 1 va 4-bandlarda muhokama qilinadi. Bundan
tashqari, biz Xinchinning teoremalar bo'yicha natijalari qanday bog'liqligi haqidagi
savolga aniqlik kiritamiz bir hil va bir xil bo'lmagan masalalar uchun transfer va
Jarnikning tegishli natijalari. Biz bu haqda sharhimizda allaqachon yozgan edik. ga
urg'u berilgan Xinchinning 1948 yildagi asosiy natijasi aslida allaqachon mavjud edi
Jarnik tomonidan kam ma'lum bo'lgan maqola va uning keyingi versiyasida.
Haqiqatan ham shuning uchun, lekin, afsuski, da savolning taqdimoti chalkash bo'lib
chiqdi va har doim ham to'g'ri emas. Ushbu maqolaning 2-bo'limida biz kerakli
teoremalarni so'zma-so'z bayon qilamiz. Yarnik va ularni Xinchin natijalari bilan
solishtiring. Ma'lum bo'lishicha, Yarnikning formulasi Xinchinning asl formulasidan
ko'ra Kassels formulasiga yaqinroq. Muntazam sistemalar va Chebishev sistemalari
haqidagi teorema: Xinchin va Kassels. m va n natural sonlar bo‘lsin. Biz d = m + n ni
qo'yamiz. muomala qilamiz m butun sonli o'zgaruvchilarda n ta chiziqli shakllar tizimi
bilan. Haqiqatdan matritsalar
chiziqli shakllarning mos tizimini ko'rib chiqing
Bu erda x = (x1, ..., xm) butun o'zgaruvchilar to'plamidir. Biz TO bilan belgilaymiz
chiziqlining transpozitsiyalangan tizimiga mos keladigan transpozitsiyalangan
matritsa shakllari belgilanadi
9

Bu erda y = (y1, ..., yn) o'zgaruvchilarning butun son to'plami bo'ladi. Biz
funktsiyalarni ko'rib chiqamiz
Minkovskiy qavariq tana teoremasidan kelib chiqadiki, t ≥ 1 uchun,
Xinchinning fikriga ko'ra, "agar har qanday e > 0 va har qanday etarlicha katta t
bo'lishi mumkin tengsizliklar butun sonlarda yechiladi
u holda raqamlar tizimini th deb ataymiz i j (yoki chiziqli shakllar tizimi yoki
tenglamalar tizimi Lj = 05 ) birlik". Shunday qilib, agar har qanday e uchun D
matritsasi yagona bo'ladi ′ > 0 yetarli katta t
yoki
Birlik bo'lmagan matritsalar muntazam deyiladi. Shunday qilib, t muntazam, agar ba'zi
musbat e uchun tk cheksizlikka ko'tariladigan ketma-ketlik mavjud bo'lsa, t = tk uchun
(1) tengsizliklar sistemasi butun sonlarda yechimga ega bo'lmaydi. raqamlar yoki
ekvivalent,
Chebyshev tizimidagi Xinchinning to'liq ta'rifini beraylik. Xinchin yozadi "Biz
raqamlar tizimini th deb nomlaymiz i j Chebishev tizimi, agar aj (1 ≤ j ≤ n) haqiqiy
sonlari qanday bo'lishidan qat'iy nazar, D musbat doimiysi mavjud bo'lsa, shunday
qilib tengsizliklar tizimi
10

butun sonli yechimlarga ega har qanday katta
0 Demak, Xinchinning fikricha, D sistema agar Chebishev tizimi deyiladi.
tizimli yechim
Xinchin [8] ishining asosiy natijasi quyidagi teoremadir (biz tom ma'noda Mana
Xinchinning formulasi). Teorema A. (Xinchin [8]) Sonlar sistemasining
qonuniyatliligi th i j (yoki Lj shakllar tizimlari, yoki tenglamalar sistemalari Lj = 07 )
uchun zarur va yetarli shartdir bu tizim Chebishev tizimi bo'lsin. Kassels kitobidan [2]
tegishli teoremani so'zma-so'z aytaylik. (V bobning 7-bo'limidan XIII teorema).
Buning uchun biz birinchi navbatda ta'rifni ta'kidlaymiz Kasseldagi yagona va
muntazam matritsa yuqoridagi bilan aynan bir xil Xinchin ta'rifi.
Shunga qaramay, Xinchinning asl isboti ham, Kassels kitobidagi dalil ham
haqiqatdir. Shunday qilib, ma'lum bo'lishicha, bu erda ko'rib chiqilgan masala (3)dava
(4) ekvivalent bo'lib, miqdor ko'rsatkichlarini qayta tartibga solish mumkin.Buning
izohi quyidagicha. Ochig'i, g : R+ → R+ funksiyasini qurish mumkinva ko'proq yoki
kamroq aniq shaklda Ę matritsasidan ē vektorini belgilash mumkin.Ę = (ēĘbitta, ...,
ēĘn) ∈ Rn shundayki, agar biz kattalikni hisobga olsak
va ma'lum bo'ladiki, ∆ < +∞, u holda har qanday vektor uchun a = (a1, ..., an) ∈ R
bo'ladi. n bajariladi.
4-bo'limda biz ushbu natijaning aniq formulasini taqdim etamiz. Lekin buning uchun
biz ruxsat etilgan vektorlar to'plami qanday tuzilganligi haqida bir necha so'z aytish
kerak bo'ladi ē. Buni 3-bandda qilamiz.
Muntazamlik va Chebishev mulki: Xinchin va Yarnik. Yarnik natijasini [4, 5] dan asl
holiga keltirish uchun biz funksiya kerak
11

haqiqiy vektor a = (a1, ..., a) uchun aniqlangan. Quyidagi barcha teoremalarda s(t) va
r(t) musbat kamayuvchi deb hisoblanadi. haqiqiy argumentning funktsiyalari va o'zaro
teskari. Bundan tashqari, taxmin qilinadi bu s(0) = r(0) = 0, ba'zi ē > 0 uchun s(t) t
funksiyasi −ē intervalda ortadi t > 0 va limt→∞ s(t) t −ē = +∞. Bundan tashqari, s(at)
> aēu(t) deb taxmin qilinadi. hamma uchun a > 1, t > 0. Jarink [4] quyidagi ikkita
teoremani isbotladi (Vˇeta 5, 7 [4] dan):
dan
gacha
Agar
u holda shunday a vektor mavjud
Agar qo'ysak keyin quyidagilar sodir
bo'ladi.
1. B teoremasidan shuni olamizki, agar T matritsa muntazam bo'lsa, u holda D
matritsa qanoatlantiradi.
bayonot (4).
2. D teoremasidan shuni olamizki, agar T matritsa birlik bo'lsa, u holda D matritsa
emas. bayonotni qondiradi (4).
Shunday qilib, Yarnik [4] dagi T matritsaning qonuniyatlari bayonotga ekvivalent
ekanligini isbotladi. (4) t matritsa uchun. Bizning ko'rib chiqish maqolamizning 6.2
bo'limida [11] boshqa narsa aytilgan - Jarnik TO matritsaning qonuniyatliligi t
bo'lganiga ekvivalent ekanligini isbotladi. Chebishev matritsasi, ya'ni qanoatlantiradi
12

(3). Ikkinchisi, albatta, ma'lum bir ma'noda to'g'ri, chunki (3) va (4) haqiqatan ham
ekvivalentdir. Ammo biz Xinchinda ham, Yarnikda ham, Kasselda ham aniq
bayonotlarni topmadik. (3) va (4) lar ekvivalentdir. D matritsaning birlik bo'lishi
haqidagi bayonot, agar u birlik bo'lsa TO matritsasi Yarnik hujjatlarida aniq
ko'rsatilmagan [4, 5]. Ushbu bayonot Xinchinning [7] 1948 yilgi maqolasining asosiy
natijasini tashkil etadi. Biroq, u darhol ergashadi umumiy Mahler teoremasidan8 (Satz
1 dan [10] 1939).
3-§. Bernulli teoremasi
Bizga ma lumki tasodifiy miqdorlarni qabul qilishi mumkin bo lgan qiymatlariʼ ʼ
juda ko p tasodifiy sabablarga bog liqdir. Аslini olganda ularni qonuniyatlari sinashlar
ʼ ʼ
soni ortishi bilan namoyon bo ladi. Lekin ba zi shartlarni qo yish natijasida tasodifiy
ʼ ʼ ʼ
miqdorlar yig indilari qonuniyatga ega bo ladi. Аna shunday qonuniyatlarni va ularga
ʼ ʼ
qo yiladigan shartlarni bilish amaliyotda juda katta ahamiyatga ega. Bu masalalarga
ʼ
bag ishlangan eng asosiy teoremalarni Bernulli va Chebeshevlar yaratgan. Bu
ʼ
teoremalarni isbotlash uchun Chebeshev tengsizligidan foydalaniladi.
Ma’lum shartlar bajarilganda katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi
o’zining tasodifiylik xaraktyerini yo’qotadi. Shu shartlarni ifoda lovchi teoremalar
katta sonlar qonuni haqidagi teoremalar deyiladi.
Bu haqdagi 1-teorema Bernulli tomonidan isbotlangan. Katta sonlar qonuni
haqida teoremani isbotlashda qo’llaniladigan Chebishev tengsizligini keltirib
chiqaramiz. Dastlab, uning umumlashgani bo’lgan Markov tengsizligini isbotlaymiz .
Markov tengsizligi . Agar
ξ tasodifiy miqdorining matematik kutilmasi
mavjud bo’lsa, ixtiyoriy
ε>0 va r>0 uchun
P{|ξ|≥ ε}≤ M |ξ|r
εr
(1)
o’rinli bo’ladi.
13

Isbot: 1) Faraz qilaylik disk ret tasodifiy miqdor bo’lsin. Ya’ni tasodifiy
miqdor x1,x2,...,xn,... qiymatlarni p1,p2,...,pn,... ehtimolliklar bilan qabul qilsin (
∑
n=1
∞
pn=1
).
U holda
P {|ξ|≥ ε}= ∑
k:|xk|≥ ε
pk¿ ¿||x k|¿ ε ¿|¿
¿
¿ ¿
.
2) Endi faraz qilaylik uzluksiz tasodif miqdor
p(x) zichlik funksiyasiga ega
bo’lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsin.
U holda
P {|ξ |≥ ε }= ∫
|xk|≥ ε
p ( x ) dx ≤ ¿||x |≥ ε ¿|¿
¿
¿ ¿
¿1
εr∫−∞
−t
|x|rp(x)dx + 1
εr∫
−t
t
|x|rp(x)dx + 1
εr∫
t
+∞
|x|rp(x)dx = 1
εrM |ξ|r
.
(1) tengsizlik isbotlandi.
{|ξ|≥ε}
va {|ξ|2≥ ε2} hodisalar teng kuchli bo’lganligi uchun ularning
ehtimolliklari teng bo’ladi, va
P {|ξ|≥ ε}= P{|ξ|2≥ ε2}≤ Mξ 2
ε2
.
ni bilan almashtiramiz, u holda
P{|ξ− Mξ |≥ ε}≤ M (ξ− Mξ )2
ε2 ≤ Dξ
ε2
Demak,
14

P{|ξ− Mξ |≤ ε}≤ Dξ
ε2 (2)
Bu tengsizlikka Chebeshev tengsizligi deyiladi.
Agar (2) ga
ε=3σξ deb olsak, u holda
P{|ξ− Mξ |≤3σξ}≤ Dξ
9σξ2= 1
9
bo’ladi.
Agar normal taqsimotga ega bo’lsa, u holda
P{|ξ− Mξ |≤3σ}≤0,0027
bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin.
Bunga
3σ -qoidasi deb ham ataladi.
Natija: Agar tasodif miqdorining dispyerstiyasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy
uchun
P{|ξ− Mξ |<ε}≥1− Dξ
ε2
. (3)
(3) ga ham Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti:
{|ξ− Mξ |<ε}
va {|ξ− Mξ |≥ ε}
o’zaro qarama-qarshi hodisalar bo’lganliklari uchun
P {|ξ− Mξ |<ε}+P{|ξ− Mξ |≥ ε}= 1
va (2) ga asosan
15

P{|ξ− Mξ |<ε}=1− P{|ξ− Mξ |≥ ε}≥1− Dξ
ε2Bizga tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin,
ketma-ketlikni tuzib olamiz.
Tafsif:
{an} s onlar ketma-ketligi mavjud bo’lib,
o’rinli bo’lsa,
{ξn} tasodifiy miqdorlari ketma-ketligi katta sonlar qonuniga
bo’ysunadi deyiladi.
Amaliyotdako’p hollarda
deb olinadi.
Teorema ( Katta
⁡sonlar ⁡qonuni ⁡haqidagi ⁡Chebishev ⁡teoremasi ). Faraz qilaylik
ξ1,ξ2,...,ξn,...
juft-jufti bilan bog’lanmagan tasodifiy miqdorlar bo’lib, ularning
dispyerstiyalari tekis chegaralangan bo’lsin, ya’ni
Dξ i≤C , C= const , i=1,2 ,...
U holda
{ξn} tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysunadi,
ya’ni ixtiyoriy uchun
lim
n→∞
P{|1
n∑
i=1
n
ξi− 1
n∑
i=1
n
Mξ i|<ε}=1
bo’ladi.
Isboti: Isbotlashda Chebishev tengsizligi (3) dan foydalanamiz.
Unga asosan
16

P{|1
n∑i=1
n
ξi− 1
n∑i=1
n
Mξ i|<ε}≥1−
D(∑i=1
n
ξi)
ε2 (5)
tasodifiy miqdorlar bog’lanmagan bo’lganliklarini inobatga olsak,
D (∑i=1
n
ξi)= 1
n2D (ξ1+ξ2+...+ξn)= 1
n2(Dξ 1+Dξ 2+...+Dξ n)≤ 1
n2n⋅C= C
n
(6)
(6)ni inobatga olsak, (5) quyidagi ko’rinishni oladi.
P{|1
n∑
i=1
n
ξi− 1
n∑
i=1
n
Mξ i|<ε}≥ 1− C
nε 2
va
lim
n→∞
P{|1
n∑
i=1
n
ξi− 1
n∑
i=1
n
Mξ i|<ε}≥1
ehtimollik birdan katta bo’lishi mumkin bo’lmaganligi uchun
lim
n→∞
P{|1
n∑
i=1
n
ξi− 1
n∑
i=1
n
Mξ i|<ε}=1
bo’ladi
Demak, katta sonlar qonuni haqidagi Chebishev teoremasiga asosan katta
sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi tasodifiylik xaraktyerini yo’qotishi uchun ular
o’zaro bog’liqmasl va dispyersiyalar tekis chegaralan bo’lishi kyerak ekan.
Endi bir xil taqsimlangan bog’liqmas tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta
son qonunini ifodalovchi Xinchin teoremasini ko’rib chiqamiz.
Teorema: Agar tasodifiyi miqdorlar ketma-ketligi o’zaro
bog’lanmagan, bir xil taqsimlangan va
Mξ i=a ( i=1,2 ,... ) bo’lsa, u holda son
uchun
lim
n→∞
P{|1
n∑
i=1
n
ξi−a|<ε}=1
(7)
17

o’rinli bo’ladi, ya’ni {ξn} tasodifiyi miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga
bo’ysinadi.
Isboti. Teoremani isbotlash uchun «qirqib olish» usulidan foydalanamiz.
Tayinlangan
δ>0 va k=1,n lar uchun quyidagi yangi tasodifiy miqdorlarni
aniqlaymiz.
Agar
|ξk|≤δn bo’lsa ηk=ξk va ζk= 0 ,
|ξk|>δn
bo’lsa, ζk= ζk , ηn= 0
deb olaymiz.
U holda
ξk= ηk+ζk va ηk uchun matematik kutilma va dispyersiya mavjud
an=∫
δn
δn
xdF (x)≤ ∫
−δn
δn
|x|dF (x)≤∫−∞
∞
|x|dF (x)
, b=∫
−∞
∞
|x|dF (x)
deb olsak
Dη n= ∫
−δn
δn
x2dF (x)− an2≤δbn
n→ ∞
da an→ a uchun, ε>0 qanday bo’lmasin, yetarlicha katta n lar uchun
|an− a|<ε
(8)
bo’ladi.
Chebishev tengsizligiga asosan
P{|1
n ∑k=1
n
ηk− an|≥ ε}≤
D (
1
n ∑k=1
n
ηk)
ε2 =
1
n2∑i=1
n
Dη k
ε2 ≤
1
n2n2δb
ε2 = bδ
ε2
.
(8) ga asosan,
18

P{|1
n∑
i=1
n
ηk− an|≥ 2ε}≤ bδ
nε 2
P{ζn≠0}= ∫
|x|≥δn
dF (x)< ∫
|x|>δn
|x|
δn
dF (x)= 1
δn ∫
|x|>δn
|x|dF (x) bo’lganligi va matematik kutilma
mavjud bo’lganligi uchun yetarlicha katta
n lar uchun
P {ζk≠ 0}< δ
n
bo’ladi.
Bundan,
P{∑k=1
n
ζk≠0}≤ ∑k=1
n
P{ζk≠0}≤ δ
kelib chiqadi.
Shuning uchun ham,
P{|1
n ∑
k=1
n
ζk− a|}≤ P{|1
n∑
k=1
n
ζk− a|≥ 2ε}+P {∑
k=1
n
ζk≠ 0}≤ bδ
ε2+δ
ε
va δ larixtiyoriybo ’ lganligisabablioxirgitengsizlikdanteoremaisbotikelibchiqadi .
ChebishevteoremasishartlarinitekshirishorqaliquyidagiBernulliteoremasiniisbotlashmu
mkin .
Teorema ( Bernulliteoremasi ).
μnn
tabog ’ lanmagantajribalardahodisaro ’ yberishlarisoniharbirtajribadahodisaro ’ yberisheht
imolio ’ zgarmasbo ’ lib
p gatengbo ’ lsa , ε>0 uchun
lim
n→∞
P{|
μn
n − p|<ε}=1
bo’ladi.
Biz quyidagi Markov teoremasini isbotsiz keltiramiz.
19

Teorema: tasodifiy miqdorlari ketma-ketligi uchun da 1
n2D(∑k=1
n
ξk)→ 0
bo’lsa,
{ξn} tasodifiy miqdor ketma-ketligi katta sonlar qonuniga
bo’ysunadi
Endi katta sonlar qonuniga bo’ysunish uchun zarur va yetarli shartlarni ifodalovchi
teoremani keltiramiz.
Teorema:
{ξn} tasodifiy miqdor ketma-ketligi uchunkatta sonlar qonuni o’rinli
bo’lishi uchun da
M
(∑k=1
n
(ξk− Mξ k))
2
n2+(∑k=1
n
(ξk− Mξ k))
2→ 0
(9)
munosabatning o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti: Biz (9) bajarilganda katta sonlar qonunli o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz.
belgilashni kiritamiz.
Φn(x)= P{ηn<x} bo’lsin. P{|ηn|≥ε}→n→∞0
ko’rsatish yetarli
U holda
P{|ηn|≥ε}= P{|1
n∑
k=1
n
(ξk− Mξ k)|≥ε}= ∫
|x|≥ε
dΦ n(x)≤ 1+ε2
ε2 ∫
|x|≥ε
x2
1+x2dΦ n(x)≤
¿1+ε2
ε2 ∫−∞
∞ x2
1+x2dΦ n(x)= 1+ε2
ε2 M ηn2
1+ηn2
.
Bundan esa (9) ga asosan
limn→∞ P{|ηn|≥ε}=0 . Teoremaning yetarli qismi isbotlandi.
Endi (9) ning zaruriyligini isbotlaymiz.
20

P{|ηn|≥ε}= ∫
|x|≥ε
dΦ n(x)≥ ∫
|x|≥ε
x2
1+x2dΦ n(x)=∫ x2
1+x2dΦ n(x)− ∫
|x|<ε
x2
1+x2dΦ n(x)≥
¿∫ x2
1+x2dΦ n(x)− ε2= M ηn2
1+ηn2− ε2
ε ni yetalicha kichik, n ni yetarlicha katta tanlab (9) ga ega bo’lamiz.
Katta sonlar qonuni
Tajriba natijasida X tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymati-ni oldindan
aytish mumkin emas, ya’ni u tasodifan qiymat qabul qiladi. Lekin soni katta bo‘lgan
tasodifiy miqdorlar yig‘indisi o‘zining tasodifiylik xususiyatini yo‘qotar ekan.
Amaliyot uchun juda ko‘p taso-difiy sabablarning birgalikdagi ta’siri tasodifga deyarli
bog‘liq bo‘lmay-digan natijaga olib keladigan shartlarni bilish juda muhimdir, chunki
bu tasodifiy hodisalarning qanday rivojlanishini oldindan ko‘ra bilishga imkon beradi.
Faraz qilaylik,
X1,X2,...Xn tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin va
bu tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlari mavjud bo‘lib, ular mos ravishda
a1,a2,...an
bo‘lsin.
Ta’rif. Agar har qanday kichik
ε>0 soni uchun
lim
n→∞
P {|
X 1+X 2+...+X n
n −
a1+a2+...+an
n |<ε}= 1
munosabat bajarilsa,
X1,X2,...Xn tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar
qonuni o‘rinli deyiladi.
Bu ta’rifning ma’nosi quyidagicha: n ning yetarlicha katta qiymatlarida
X=
1
n (X1+X2+...+Xn)
tasodifiy miqdorni tasodifiy bo‘lmagan
21

a=1
n (a1+a2+...+an)
son bilan almashtirgan bo‘lamiz.
Katta sonlar qonuni qachon o‘rinli bo‘ladi? degan savolga quyidagi teorema
javob beradi.
Chebishev teoremasi
X1,X2,...Xn tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liq bo‘lmay,
ularning har biri C soni bilan chegaralangan dispersiyaga ega bo‘lsa, u holda berilgan
ketma-ketlik uchun katta sonlar qonuni o‘rinli bo‘ladi.
Bernulli teoremasi. n
⁡ ta erkli tajribada A hodisaning ro‘y berishlari soni μ
bo‘lsin, har bir tajribada A hodisa o‘zgarmas P ehtimol bilan ro‘y bersin. U holda,
ixtiyoriy
ε>0 soni uchun
lim
n→∞
P{|μ
n− P|<ε}=1
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Bu teoremaning ma’nosi quyidagicha: n yetarlicha katta bo‘lganda
μ
n ni istalgan
aniqlik bilan P ga teng deb olish mumkin. Ya’ni
μ
n ning qiymatlari P ehtimol atrofida
joylashgan bo‘ladi. Bundan tashqari, bu teorema sinashlar soni yetarlicha katta
bo‘lganda nisbiy chastota nima uchun turg‘unlik xossasiga ega bo‘lishini tushuntiradi
va ehtimolning statistik ta’rifini asoslaydi.
Yuqoridagi teoremalarni isbotlashda Chebishev tengsizligi muhim ahamiyatga
ega:
Chebishev tengsizligi. Birinchi forma: agar X tasodifiy miqdor musbat bo‘lib,
M(X) matematik kutilishiga ega bo‘lsa,
P{X>
α¿<M (X)
α ¿
Ikkinchi forma: agar D(X)
<+ ∞ bo‘lsa, u holda ixtiyoriy ε>0 son uchun
22

P(|X− M (X )|>ε)<D(X )
ε2271-misol.
X1,X2,...Xn tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lib, Xn
tasodifiy miqdor –n,o,n
⁡ qiymatlarini mos ravishda
1
n2,1− 2
n2,1
n2(n>1) ehtimollar bilan
qabul qiladi. Shu tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni o‘rinli
bo‘ladimi?
Yechish: Chebishev teoremasidan foydalanamiz.
M (X n)=− n⋅1
n2+0⋅(1− 2
n2)+n⋅1
n2= 0
D (X n)= M (X n2)− [M (X n)]2= n2⋅1
n2+02⋅(1− 2
n2)+n2⋅1
n2= 2
Ko‘rinib turibdiki, hamma tasodifiy miqdorlarning dispersiyasi bir xil. U holda,
ular yagona son bilan chegaralangan bo‘ladi. Chebishev teoremasining shartlari
bajarilganligi sababli, bu ketma-ketlikka katta sonlar qonunini tatbiq qilsa bo‘ladi.
23

Xulosa
Men bu kurs ishini qilishda Katta sonlar qonuni ⁡ mavzusidan foydalandim.
Birinchi rejamda Cherbishev teoremasi haqida ma’lumot kiritib o’tilgan. Ko‘plab
jarayonlarning kechishi oddiy tenglamalar bilan tavsiflanadi. Bu tenglamalar
cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lsada, tegishli jarayon bitta yechim bilan
aniqlanadi va u ma’lum bir boshlang‘ich ma’lumotlarga mos keladi. Boshlang‘ich
qiymatlar sal o‘zgarganda hosil bo‘luvchi yechim vaqt o‘tishi bilan dastlabki
yechimga yaqinligicha qoladimi (turg‘un yechim) yoki undan uzoqlashib ketadimi
(noturg‘un yechim)? degan savolningjavobinibilish juda katta amaliy ahamiyatga
ega. Chunki odatda boshlang‘ich qiymatlar xatolikka ega bo‘luvchi o‘lchashlar,
taqribiy hisoblashlar orqali aniqlanadi va bu qiymatlarning sal o‘zgarishining
yechimga ta’sirini bilish nihoyatda muhimdir.
Ikkinchi rejamda esa Teorema Xinchin haqida ma’lumot berib o’tilgan. Bu
paragrafda ushbu Katta sonlar qonunining turli ta’riflarini Puasson, Lagranj,
Lyapunov va boshqalar kiritishgan.
Bundan tashqari Bernulli teoremasi shartlar bajarilgan va bajarilmagan hollarda
o’rganildi va yetarlicha ko`nikma hosil qilindi. Shuningdek bu kurs ishini yozish
jarayonida turli xil misol va masalalar orqali mavzuni yoritib ko`nikma hosil qilishga
harakat qilindi. Turli xil adabiyotlar orqali mavzuning mohiyatini yoritib berildi.
Men bu fanni o’qib juda ko’p terminlar va shu orqali yechim topishlarni
o’rgandim. Katta sonlar qonunini yechishning qulay usullari mavjuligini ham shu
asnoda o’rgandim.
Agar C
n ⊂ C ( K )
chekli n -o’lchovli qism fazo bo’lib, uning ixtiyoriy aynan
noldan farqli elementi
K kompaktning n−1 dan oshmaydigan nuqtalarida nolga
aylansa, u holda u Chebishev qism fazosi deyiladi.

C[a,b] fazoning elementlari uchun n -o’lchovli Chebishev qism-fazosidagi eng
yaxshi yaqinlashtirish ko`phadining alomati haqidagi Chebishev teoremasi.
24

C [ a , b ]
fazo uchun bunday qism fazo sifatida darajasi n−1 dan oshmaydigan
barcha algebraik ko`phadlar fazosini ( P
n − 1 ni) olishimiz mumkin. Bunga ishonch hosil
qiling!
Teorema 5.1. (Chebishev). Faraz qilaylik, C
n − C [ a , b ]
fazoning
n -o`lchovli
Chebishev qism fazosi bo`lsin.
φ∈Cn ko`phadning [a,b] da uzluksiz f∈Cn
funksiyaning eng yaxshi yaqinlashtirish ko`phadi bo`lishi uchun a ≤ x
1 < x
2 < … < x
n + 1 ≤ b
day
x1,x2,… ,xn+1 nuqtalar sistemasi mavjud bo`lib,
1)
| f ( x
i ) − φ ( x
i )| = ‖ f − φ ‖
( i = 1 , n + 1 )
;
2) f
( x
i ) − φ ( x
i ) ishora almashinuvchi qiymatlar qabul qilishi zarur va yetarlidir.
Yuqorida keltirilgan xossalarga ega { x
i }
( i = 1 , n + 1 )
nuqtalar to’plami Chebishev
alternansi deyiladi.
Faraz qilaylik,
Pn darajasi n dan oshmaydigan barcha algebraik ko`phadlar fazosi
bo`lsin. Ravshanki, uning o`lchovi n + 1
ga teng. f
funksiyaning g ∈ P
n ko`phadlar bilan
eng yaxshi yaqinlashtirishlarini
En(f) kabi belgilaymiz , ya`ni
E
n
( f ) = inf ⁡ { ‖ f − g ‖
C [ a , b ] : g ∈ P
n }
.
2006 yilda A.Ya.ning asosiy asarlari. Xinchin raqamlar nazariyasi
bo'yicha Ularning aksariyati diofant yaqinlashuvlari nazariyasiga, xususan, ko'p
o'lchovli diofant yaqinlashuvlariga bag'ishlangan. Shubhasiz, bu sohada asosiy asari
[6], 1926 yilda nashr etilgan. Unda, embrionda, amalda mavjud keyinchalik
Xinchinning o'zi va boshqa matematiklar tomonidan ishlab chiqilgan chiziqli bir hil va
bir hil bo'lmagan diofant yaqinlashuvlarining butun nazariyasi - masalan, V. Yarnik,
K. Mahler, J. Kassels. Biroq, ko'plab klassik natijalar Xinchin (shuningdek, uning
izdoshlari) unutilgan va hatto qayta-qayta boshqa olimlar tomonidan tasdiqlangan. Bu
ishda biz Xinchinning matritsa xossasining muntazam va matritsa xossasining
Chebishev matritsasining ekvivalentligi haqidagi dastlabki natijasini solishtiramizning
asosiy natijasi) va uning Kasselsning "Diofantin yaqinlashuvlari" kitobidagi
ekspozitsiyasi. Ma'lum bo'lishicha, Xinchinning formulasi va Kasselning formulasi
boshqacha, ular ekvivalent bo'lsa ham. Bu quyida 1 va 4-bandlarda muhokama
qilinadi. Bundan tashqari, biz Xinchinning teoremalar bo'yicha natijalari qanday
bog'liqligi haqidagi savolga aniqlik kiritamiz bir hil va bir xil bo'lmagan masalalar
25

uchun transfer va Jarnikning tegishli natijalari. Biz bu haqda sharhimizda allaqachon
yozgan edik. ga urg'u berilgan Xinchinning 1948 yildagi asosiy natijasi aslida
allaqachon mavjud edi Jarnik tomonidan kam ma'lum bo'lgan maqola va uning
keyingi versiyasida. Haqiqatan ham shuning uchun, lekin, afsuski, da savolning
taqdimoti chalkash bo'lib chiqdi va har doim ham to'g'ri emas. Ushbu maqolaning 2-
bo'limida biz kerakli teoremalarni so'zma-so'z bayon qilamiz. Bizga ma lumkiʼ
tasodifiy miqdorlarni qabul qilishi mumkin bo lgan qiymatlari juda ko p tasodifiy
ʼ ʼ
sabablarga bog liqdir. Аslini olganda ularni qonuniyatlari sinashlar soni ortishi bilan
ʼ
namoyon bo ladi. Lekin ba zi shartlarni qo yish natijasida tasodifiy miqdorlar
ʼ ʼ ʼ
yig indilari qonuniyatga ega bo ladi. Аna shunday qonuniyatlarni va ularga
ʼ ʼ
qo yiladigan shartlarni bilish amaliyotda juda katta ahamiyatga ega. Bu masalalarga
ʼ
bag ishlangan eng asosiy teoremalarni Bernulli va Chebeshevlar yaratgan. Bu
ʼ
teoremalarni isbotlash uchun Chebeshev tengsizligidan foydalaniladi.
Ma’lum shartlar bajarilganda katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi
o’zining tasodifiylik xaraktyerini yo’qotadi. Shu shartlarni ifoda lovchi teoremalar
katta sonlar qonuni haqidagi teoremalar deyiladi.
Bu haqdagi 1-teorema Bernulli tomonidan isbotlangan. Katta sonlar qonuni
haqida teoremani isbotlashda qo’llaniladigan Chebishev tengsizligini keltirib
chiqaramiz. Dastlab, uning umumlashgani bo’lgan Markov tengsizligini isbotlaymiz .
Markov tengsizligi . Agar
ξ tasodifiy miqdorining matematik kutilmasi
mavjud bo’lsa, ixtiyoriy
ε>0 va r>0 uchun
P{|ξ|≥ ε}≤ M |ξ|r
εr

o’rinli bo’ladi.
Agar yechim vaqt (t) o‘tishi bilan dastlabkisidan uzoqlashib ketsa,
o‘rganilayotgan jarayonning tabiatini kattalarda oldindan aytib bo‘lmaydi.
26

27FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
1. G.M.Fiхtengols. “Matematik analiz asoslari” 1 – jild, “O’qituvchi”, Toshkent 1970
yil.
2. N.S.Piskunov. Differensial va integral hisob. 1 – jild, “O’qituvchi”, Toshkent 1972
yil.
3. T.Jo’raev va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 1 – qism, “O’zbekiston”, Toshkent
1995 yil.
4. B.A. Abdalimov. Oliy matematika, “O’qituvchi” Toshkent 1994 yil.
5. Sh.I.Tojiev. Oliy matematikadan masalalar yechish. “O’zbekiston”, Toshkent 2002
yil.
6 . I.A.Maron.Differensialnoe i integralnoe ischislenie v primeraх i zadachaх “Nauka”,
M.1973.
7. T.Sharifova, E.Yo’ldoshev. Matematik analizdan misol va masalalar yechish
“O’qituvchi”, Toshkent 1996 yil.
8. Xojixonov U. Analitik geometriya. Namangan. 2005
Elektron resurslar
1. https://uz.wikipedia.org/wiki/Termiz
2. https://www.google.com
3. www.ziyonet.uz

KURS ISHI TALABALAR UCHUN

Купить

Похожие документы
Funksiya tushunchasi
Boshlang`ich funksiya va aniqmas integral
Makroiqtisodiyot test savollari
Iqtisodiy siyosatga kirish test savollari
Biznes test savollari