Дата регистрации 14 Февраль 2025
122 ПродажKvadrika tenglamasini kanonik koʻrinishga keltirish kurs ishi
![[Дата]1O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
MATEMATIKA YO‘NALISHI
24.02-GURUH TALABASI
NING
ANALITIK GEOMETRIYA FANIDAN
Kvadrika tenglamasini kanonik ko rinishga keltirish
ʻ
mavzusidagi
KURS ISHI
Ilmiy rahbar:
Farg‘ona-2025](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_1.png?v=1)
![[Дата]2MUNDARIJA
KIRISH……………………… ……………………...3
1.Kvadrika tasnifi……………………………………………………..6
2.Affin fazodagi kvadrikalar………………………………………... .10
3.Kvadrika tenglamasi………………………………………………..15
4 . Uch o‘lchovli Yevklid fazosidagi kvadrikalar…………………….17
5.Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirish………………20
XULOSA…………………………………………….27
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………...28](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_2.png?v=1)
![[Дата]3KIRISH
“Matematika hamma aniq fanlarga asos.Bu fanni
yaxshi bilgan bola aqlli, keng tafakkurli bo‘lib o‘sadi,
istalgan sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi”
Shavkat Mirziyoyev
Ilm o‘rganish har bir inson uchun hayot yo‘llarida asqotadigan, odamlar orasida
uni ajratib turadigan, yolg‘iz qolgan paytlarida yo‘ldosh bo‘lib, tushkunlikka
tushganida doimo madadkor bo‘luvchi yengilmas quroldir.Shu nuqtai nazardan bugun
har birimiz ilm olishimiz, mukammal bilim egallab, kasb-hunar o‘rganishimiz va bu
orqali o‘z kelajagimizni o‘zimiz yaratib, mamlakatimiz gullab yashnashi, ravnaq
topishi uchun o‘z hissamizni qo‘shishimiz zarurdir.
Mamlakatimizda hozirgi paytda yoshlarga ta’lim-tarbiya berishga alohida e’tibor
qaratilmoqda. Ta’lim tarbiya hamisha jamiyat taraqqiyotining asosi bo‘lgan. Chunki,
inson jamiyatdagi barcha munosabatlar, aloqalarning markazida turadi. Fan-texnika
va axborotdagi revolyutsiya inson va uning ilmiy-ma’rifiy potensialini ijtimoiy-
iqtisodiy taraqqiyotning hal qiluvchi omiliga aylantiradi.Kelajakda erishishimiz lozim
bolgan buyuk maqsadlarga erishish uchun avvalo, yuqori malakali, zamon talabiga
javob beradigan mutaxassis kadrlar tayyorlashimiz kerak.
O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi qonuni va “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi” xalqaro ta’lim standartlarini mamlakatimiz oliy ta’lim
tizimiga joriy qilish, yuqori malakali zamonaviy kadrlar tayyorlashda milliy an’ana va
tajribalarimiz bilan birga ilg‘or jahon tajribalaridan keng foydalanish borasida yangi
imkoniyatlar taqdim etayotganligi barchamizga ma’lum.Shu jumladan, yurtimizda
matematikani rivojlantirishga qaratilgan ko‘plab chora- tadbirlar amalga
oshirilayotganligining guvohimiz..
Matematika aniq bir bilim sohasi va turli sohalarga chuqur kirib borayotgan
universal vosita bo‘lib qolmasdan sivilizatsiyaning ajralmas qismi, umuminsoniy
madaniyatning muhim elementi hamda dunyoni ilmiy o‘rganish tilidir. Matematik](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_3.png?v=1)
![[Дата]4bilim hayot sirlarini o‘rganishda, kasb tanlashda muhim bo‘lgani bois fikrlash
madaniyati tarkibidagi qat’iylik, aniqlik, izchillik, mantiqiylik va asoslanish singari
qirralarining shakllanishiga xizmat qiladi. Ulkan iqtisodiy o‘zgarishlar yuz
bеrayotgan hozirgi davrda matеmatikaning ahamiyati yanada oshdi, shuning uchun
ham matеmatik ta'lim katta ijtimoiy ahamiyatga ega. Rеspublikamiz hukumati
yoshlarga ta'lim va tarbiya bеrish tizimini takomillashtirish, ta'lim va tarbiyani
turmushning oshib borayotgan talablari darajasiga yеtkazish vazifasini qo`ydi.
Ma’lumki o‘quvchilarning fikrlash qobiliyatlarini rivojlantirish har bir fan
oldidagi muhim masalalardan hisoblanadi. Jumladan umumiy o‘rta ta’lim
maktablarida o‘quvchilarning intellektual qobiliyatlarini rivojlantirish dolzarb
masaladir. Shu bois geometriya o‘qitish jarayonida har bir o‘quvchining intellektual
qobiliyatlarni rivojlantirish muammosi o‘zining strukturasi jihatidan ancha murakkab
bo‘lib, uning tarkibida matematik qonuniyatlar, faktlar, munosabatlar asosida yuzaga
kelishi tabiiy holdir. Shuning uchun ham har bir o‘quvchi geometriya darslarida
geometrik obrazlar bilan ish ko‘radi, chunki undagi o‘lchamlarni, kattaliklarni sezadi
va bu kattaliklar orasidagi mavjud qonuniyatlarni idrok etadi, o‘z tasavvuriga tegishli
geometrik obrazlarni keltirib va bularni mushohada asosida o‘z in’nikosiga o‘tkazadi.
Geometriya kursida geometrik obrazlarni ko‘p holda ideal ko‘rinishda tasavvuriga
keltiriladi, va shunday tafakkur qilinadi, ya’ni nuqta, to‘g‘ri chiziq, tekislik, va
bularning o‘zaro bog‘liqligi, hamda ularning kombinatsiyasidan hosil bo‘ladigan
nuqta, to‘g‘ri chiziqlarning geometrik o‘rnini tasavvur qila olish muhim ahmiyatga
ega. Bu borada ikkinchi tartibli chiziqlarning xossalarini bilish kundalik turmushdagi
muammolarni hal qilishda muhim ahamiyatga egadir. Ayniqsa ikkinchi tartibli
chiziqlarning fokuslari va eksentrisitetiga oid xossalar amaliyotda va texnikada keng
qo‘llaniladi. Jumladan, agar yoritkich parabolaning fokusiga joylashtirilganda undan
chiqqan nurlar parobala devoriga urilib singandan keyin parabola simmetriya o‘qiga
parallel holda yo‘nalishi yoki paraboloid devoriga urilgan to‘lqinlar fokusda yig‘ilishi
shular jumlasidandir.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_4.png?v=1)
![[Дата]5Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab
vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati,
iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim-tarbiya
jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish
o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi. Matematika fani o‘sib
kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga
ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga
soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik
xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri,
go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab
boradi. Ushbu kurs ishi oliy matematika kursining muhim bo‘limlaridan biri bo‘lgan
“Geometriya” fanining “Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirish”
mavzusiga bag‘ishlangan.
Kurs ishining maqsadi: Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirishni
quyidagi bo‘limlar: Kvadrika tenglamsi; Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga
keltirish; Uch o‘lchovli Evklid fazosidagi kvadrikalar orqali o‘rganib ularning
amaliyotdagi tadbiql
Kurs ishining predmeti:
Affin fazosidagi kvadrikalar. Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirish
Kurs ishining vazifasi:
Affin fazosida kvadrikalar;
Kvadrika tenglamalarini kanonik ko‘rinishga keltirish;
Kvadrika markazi;
Kvadrika tasnif](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_5.png?v=1)
![[Дата]6 1.Kvadrika tasnifi
Kvadrikaning tasnifi n o‘lchovli affin fazodagi kvadrikaning ko‘rinishdagi
tenglamasini affin repperni maxsus tanlab olish yo‘li bilan
I.
II. , ≤ 1
, ε
i
= ±
1 (1) III.
(2)
ko‘rinishdagi uchta tenglamaning biriga keltirish mumkin. Hech qanday affin
almashtirish bilan bu tenglamalardan birini ikkinchisiga o‘tkazib bo‘lmaydi, demak,
ular o‘zaro affin ekvivalent sinflar emas:
Shu tenglamalarning har birini ayrim-ayrim ko‘rib chiqaylik
1 . ,
≤1 ,
da .
1 -xol. uchun (3)
hosil
q ilinib, kvadrika ellipsoid deb ataladi ( da A3 dagi ellipsoid).
2-xol. ; bulsa, (1) => da bu tenglamani qanoatlantiruvchi
birorta haqiqiy nu q
ta yo‘ q
, bu xolda (3) tenglama mavxum ellipsoidni ani
q laydi
deymiz.
3- xol. , ; , bu xolda (2) tenglama bilan ani
q
lanadigan kvadrika n ta indeksli giperboloid deb ataladi (n=2 xol yuz bersa, ε
1 = 1,
ε2
= -1 yoki ε
1 = -1,
ε2 =1 da kvadrika tekislikdagi giperbolani ifoda q iladi, da ε
1
,
ε2 , ε3 dan bittasi -1 ga teng bo‘lsa, kvadrika bir pallali giperboloidi, ε1 , ε2 , ε3 dan
ikkitasi -1 ga teng bo‘lsa,
Endi bo‘lgan xolni ko‘raylik.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_6.png?v=1)
![[Дата]7 (4)
Ma’lumki, bu ko‘rinishdagi tenglama simmetriya markazlari
(n-1) o‘lchovli koordinata tekisligidan iborat bo‘lgan sirtni ifoda qiladi, bunday
kvadrikada silindrik sirt deb ataladi.
1- xol (4) tenglama
(5)
k o‘ rinishni oladi va k o‘lchovli tekislikdagi ellipsoidni aniqlab,
An fazoda esa asosi
shu ellipsoiddan, yasovchilari (n-k) o‘lchovli tekislikdan iborat elliptik silindrni
beradi. = 2 da esa da yasovchilari biror koordinata o‘
q iga parallel elliptik
silindrni ani q
laydi.
2-x o l; uchun ; bu tenglama birorta
ham haqiqiy nu
q taga ega bo‘lmagan kvadrikani aniqlab, uni mavxum silindr deyiladi.
3-xol. , uchun
(6)
Bu tenglama k o‘lchovli tekislikda indeksli giperboloidni aniqlab, uning har
bir nuqtasidan o‘lchovli tekislik o‘tadi.
Bunday kvadrikani Ap da indeksli giperbolik t silindr deb
ataladi, uning yasovchilari o‘lchovli tekislikdan iborat
II. .
Bu tenglama bilan aniqlangan kvadrikaning simmetriya markazi koordinatalar
boshida bo‘lib, bu nuqta kvadrikaga tegishlidir. bo‘lsin.
1- x o l bo‘lsa, (6) =►
tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika mavxum konus deb ataladi, bu konus faqat
bitta haqiqiy nuqtaga ega bo‘ladi (koordinatalar boshi O).](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_7.png?v=1)
![[Дата]82- xol.
ε1,ε2,… ,εn ning barchasi bir xil ishorali bo‘lmasa, kvadrika konus deb
ataladi, demak, konus markazli sirtdir.Uning markazi konusning uchi deb ataladi.
Shunisi qiziqki, bu konusga tegishli biror nuqtani olsak, to‘g‘ri chiziqning (O
konusning markazi) barcha nuqtalari ham konusga tegishli bo‘ladi bu to‘g‘ri chiziq
konusning yasovchisi deb ataladi.
Endi xolni tekshiraylik.
1- x o l . (6) tenglama
(7)
Ko‘rinishni oladi bu tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika ham mavxum konus
deb yuritiladi. Lekin bu tenglamani A
n da qarasak, bu kvadrika ( ) o‘lchovli
tekislikning barcha nuqtalarini o‘z ichiga oladi (chunki
ko‘rinishdagi barcha nuqtalarning koordinatalari (7) tenglamani qanoatlantiradi).
Bunday konus uchi o‘lchovli tekislikdan iborat mavxum konus deb
ataladi.
2- x o l . ning barchasi bir xil ishorali bo‘lmasa (masalan, tasi +1
bo‘lsa), u xolda (7) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrikani ( ) indeksli,
uchi ( ) o‘lchovli tekis likdan iborat konus deb ataladi. Ni h oyat, ( 1 ) dagi
uchinchi tenglamani tekshiraylik:
(8)
. 1- xo l . ; (8) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika
elliptik paraboloid deb ataladi ( bo‘lsa, (8) tenglama
ko‘rinishda bo‘lib,
An dagi elliptik paraboloidni ifodalaydi).
2- xol. ning barchasi bir xil ishorali bo‘lmasa (masalan, tasi
+1 bulsa), u xolda (8) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika (8) indeksli
giperbolik paraboloid deb ataladi. ≤
U xolda (8) tenglama O nuqta va](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_8.png?v=1)
![[Дата]9 vektorlar bilan aniqlanadigan tekislikda biror paraboloid ni aniqlaydi.
An
da qarasak, bu kvadrikaga ( ) o‘lchovli tekislik kiradi, aniqrog‘i N
nuqta paraboloidga tegishli bo‘lsa, u xolda boshlari shu nuqtada
vektorlar bilan aniqlanuvchi tekislik shu paraboloid tarkibida bo‘ladi.
Bu xolda ( 8 ) kvadrika yasovchilari ( ) o‘ lchovli tekislikdan iborat parabolik
silindr deb ataladi. Bu kvadrikaning indeksi ( ) bo‘lsa, u mos ravishda ( )
indeksli parabolik silindr deb ataladi.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_9.png?v=1)
![[Дата]102.Affin fazodagi kvadrikalar
bu n o‘lchovli affin fazo bo‘lsin.
Ta’rif : A
n dagi biror repperda quyidagi ikkinchi tartibli algebraik
tenglamani qanoatlantiruvchi A
n ning barcha nuqtalari to‘plami kvadrika (yoki
ikkinchi tartibli sirt) deb ataladi (uni Q bilan belgilaylik):
(1)
(1) bunda bo‘lib, bulardan kamida bittasi noldan farqli. bo‘lgan holda
ning tenglama:
Bu yerda , desak, tenglama hosil
qilinib, u affin tekislikda ikkinchi tartibli chiziqning tenglamasidir. Demak, affin
tekislikda kvadrika ikkinchi tartibli chiziqdir. da (1) tenglama uch o‘zgaruvchili
bo‘lib, , , desak,
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu esa uch o‘lchovli affin fazodagi ikkinchi tartibli sirtning
tenglamasidir.
(1) tenglamani qisqaroq quyidagicha yozib olaylik:
(2)
Bunda bo‘lib, kvadratik forma, esa chiziqli formadir.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_10.png?v=1)
![[Дата]11Shuni ham ta’kidlaymizki, A dagi kvadrika tushunchasi koordinatalar sistemasini
almashtirishga nisbatan invariantdir, bir repperda berilgan ikkinchi darajali tenglama
boshqa repperda yozilganda ham ikkinchi darajali tenglama boshqa repperda
yozilganda ham ikkinchi darajali tenglamadan iborat bo‘ladi (chunki bir affin
repperda ikkinchi affin repperga o‘tishda tenglamaning darajasi oshmaydi va
kamaymaydi).
Endi (2) tenglamani soddalashtirish bilan shug‘ullanaylik. Bu tenglamaning chap
tomonidagi ifoda birinchi qo‘shiluvchi kvadratik formadan iboratligi sababli, uni
alohida yozib olib, 43-& da ko‘rsatilgan usul bilan kanonik ko‘rinishga keltiramiz;
faraz qilaylik u quyidagi ko‘rinishga kelsin:
(3)
U holda shu (3) kvadratik forma yozilgan repperda (2) ni yozaylik:
(4)
ravshanki, yangi repperga o‘tilganda chiziqli formaning ham koeiffitsientlari
o‘zgaradi, ularni biz deb belgiladik. (4) dagi hadlarni guruhlab, to‘la
kvadratga keltiramiz:
Yoki](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_11.png?v=1)
![[Дата]12Endi quyidagi formulalar orqali yangi repperga o‘tamiz:
hamda belgilashni kiritamiz, natijada:
(5)
ko‘rinishda bo‘ladi.
bu o‘lchovli affin fazo bo‘lsin.
Ta’rif. dagi biror repperda quyidagi ikkinchi tartibli algebraik
tenglamani qanoatlantiruvchi ning barcha nuqtalari to‘plami kvadrika (yoki
ikkinchi tartibli sirt) deb ataladi (uni Q bilan belgilaymiz).
Shuni ham ta’kidlaymizki, A dagi kvadrika tushunchasi koordinatalar sistemasini
almashtirishga nisbatan invariantdir, bir repperda berilgan ikkinchi darajali tenglama
boshqa hisoblanadi.
Kesmaning o‘rta nuqtasi affin almashtirishda shu kesma obrazi ning o‘rta nuqtasiga
o‘tadi, shunga asoslanib
An da kvadrikaning simmetriya markazi tushunchasini kiritish
mumkin.
Ta‘rif. Kvadrikaning har bir nuqtasiga uning biror nuqtaga nisbatan simmetrik
nuqtasi mavjud bo‘lsa, nuqta kvadrikaning simmetriya markazi deb ataladi.
Masalan, dagi re pp erda kanonik tenglamasi bilan berilgan ellipsoid, bir va ikki
palla li gip e rboloidlar uchun koordinatalar boshi simmetriya markazidir.
Kvadrika (6) tenglama bilan berilsa, uning simmetriya markazi koordinatalar boshida
bo‘lsa, uning tenglamasi shu repperda (6) lar boshidan iborat va aksinha,
kvadrikaning markazi koordinata ko‘rinishda bo‘ladi. Xaqiqatdan ham,](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_12.png?v=1)
![[Дата]13 (6)
kesmaning o‘rta nuqtasi dir, chunki kesmaning uchlari uning
o‘rta nuqtasiga nisbatan simmetrik joylashgan. Bundan, tenglamalari
dan iborat ( ) o‘lchovli tekislikning barcha nu
q talari
(1) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrikaning simmetriya markazi bo‘ladi deb
chiq aramiz . Xususiy xolda bo‘lsa, simmetriya markazlari to‘plami n o‘lchovli
tekislik bo‘lib, faqat bitta nuqtadan, u ham bo‘lsa, koordinatalar boshidan iborat.
U vaqtda kvadrika faqat bitta simmetriya markaziga ega bo‘lib, u markazli kvadrika
deb ataladi.
Endi kvadrikaning tenglamasi
(7)
Ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, bu kvadrika markazining mavjudligi masalasiga
to‘xtaylik.
Kvadrika
(8)
ko‘rinishdagi (bunda φ
2 ifoda n o‘zgaruvchili kvadratik forma) tenglama bilan
berilsa, uning simmetriya markazi koordinatalar boshidan iborat.
Endi (7) ko‘rinishga mos xolni ko‘raylik. Faraz qilaylik, nuqta (7)
kvadrikaning simmetriya markazi bo‘lsin, Repper boshini shu nuqtaga ko‘chiramiz,
bazis vektorlarning yo‘nalishini esa saqlab qolamiz:
(9)](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_13.png?v=1)
![[Дата]14Bularni (7) ga qo‘yib, soddalashtirsak,
(10)
bunda ifoda o‘zgaruvchili kvadratik forma,
α' - barcha ozod
sonlarning algebraik yig‘indisi. Koordinatalar boshi kvadrikaning simmetriya markazi
bo‘lishi uchun (10) tenglama (8) ko‘rinishni olishi kerak, ya’ni birinchi darajali
xadlarning barcha koeffitsientlari bir va
q tda nolga teng bo‘lishi yetarli va zarurdir:
(11)](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_14.png?v=1)
![[Дата]153.Kvadrika tenglamasi
Kesmaning o‘rta nuqtasi affin almashtirishda shu kesma obrazi ning o‘rta
nuqtasiga o‘tadi, shunga asoslanib da kvadrikaning simmetriya markazi
tushunchasini kiritish mumkin.
Ta‘rif . Kvadrikaning har bir nuqtasiga uning biror nuqtaga nisbatan simmetrik
nuqtasi mavjud bo‘lsa, nuqta kvadrikaning simmetriya markazi deb ataladi.
Masalan, dagi re pp erda kanonik tenglamasi bilan beril gan ellipsoid, bir va
ikki pallal i gip e rboloidlar uchun koordinatalar boshi simmetriya markazidir.
Kvadrika (1) tenglama bilan berilsa, uning simmetriya markazi koordinatalar boshida
bo‘lsa, uning tenglamasi shu repperda (1) lar boshidan iborat va aksincha,
kvadrikaning markazi koordinata ko‘rinishda bo‘ladi. Xaqiqatan ham
(21)
M M' kesmaning o‘rta nuqtasi dir, chunki kesmaning uchlari uning o‘rta
nuqtasiga nisbatan simmetrik joylashgan. Bundan, tenglamalari ixtiyoriy ,
dan iborat o‘lchovli tekislikning barcha nu q
talari (1)
tenglama bilan aniqlanadigan kvadrikaning simmetriya markazi bo‘ladi deb chi q
aramiz . Xususiy xolda bo‘lsa, simmetriya markazlari to‘plami nol o‘lchovli
tekislik bo‘lib, faqat bitta nuqtadan, u ham bo‘lsa, koordinatalar boshidan iborat. U
vaqtda kvadrika faqat bitta simmetriya markaziga ega bo‘lib, u markazli kvadrika deb
ataladi.
Endi kvadrikaning tenglamasi ( 2)ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, bu
kvadrika markazining mavjudligi masalasiga to‘xtalaylik.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_15.png?v=1)
![[Дата]16Kvadrika (3) ko‘rinishdagi (bunda
φ2 ifoda n o‘zgaruvchili kvadratik
forma) tenglama bilan berilsa, uning simmetriya markazi koordinatalar boshidan
iborat.
Endi (2) ko‘rinishga mos xolni ko‘raylik. Faraz
q ilayli k , S ( x
1 0
, x
2 0
,…, xn0 ) nuqta
(2) kvadrikaning simmetriya markazi bo‘lsin, Repper boshini shu nuqtaga
ko‘chiramiz, bazis vektorlarning yo‘nalishini esa saqlab qolamiz
(4)
Bularni (2) ga qo‘yib, soddalashtirsak,
(5)
bunda
φ2' ifoda o‘zgaruvchili kvadratik forma, α '
-barcha ozod
sonlarning algebraik yigindisi. Koordinatalar boshi kvadrikaning simmetriya markazi
bo‘lishi uchun (5) tenglama (3) ko‘rinishni olishi kerak, ya’ni birinchi darajali
xadlarning barcha koeffitsientlari bir vaqtda nolga teng bo‘lishi yetarli va zarurdir:
Demak, kvadrika simmetriya markazining koordinatalari ni
qanoatlantirishi kerak, demak, kvadrika markazining mavjudligi masalasi
sistemaning yechimiga bog‘liq quyidagi determinantni qaraylik;
1. (6) sistema yagona yechimga ega, kvadrika bitta simmetriya markaziga ega
markazli deb atalgan kvadrika xosil qilinadi.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_16.png?v=1)
![[Дата]172. va (6) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lsa, kvadrikaning simmetriya
markazlari ham cheksiz ko‘p bo‘ladi (bunday nuqtalar to‘plami k o‘lchovli tekislik
bo‘ladi).
3. va (6) sistema birgalikda bo‘lmasa, kvadrika bitta ham simmetriya markaziga
ega emas. Keyingi ikki xolda kvadrika markazsiz deb ataladi.
Eslatma.(6) sistemaning birinchi tenglamasiga diqqat bilan
q arasak,u :
(7) tenglamadan buyicha (
q olgan larni doimiy deb olinsa) olingan
xosiladan, ikkinchi tenglama es a ( 7 ) dan bo‘yicha olingan.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_17.png?v=1)
![[Дата]18 4. Uch o‘lchovli Yevklid fazosidagi kvadrikalar
Uch o‘lchovli Yevklid fazosidagi kvadrikalar p o‘lchovli affin fazodagi
kvadrikalar tasnifi bilan yaxshiroq tanishdik. Uch o‘lchovli affin fazoda 17 xil
kvadrikaning borligini oshkor qilish osondir. (8) dagi tenglamalarda ni 1,2,3
sonlar deb olinsa 17 ta har xil tenglama xosil qilamiz.Shu kvadrikalarni uch
o‘lchovli Evklid fazosida qarasak, Dekart repperini qulay tanlab olish yo‘li bilan
ularning tenglamalarini quyidagi jadvalda ko‘rsatilgandek qilib yozish mumkin
(o‘zgaruvchilarni bilan emas, balki eskicha belgilashimizga mos ravishda
deb olamiz
№ К v adrikaning sodda tenglamasi Kvadrikaning nomi
1 E llipsoid
2 mаvxum ellipsoid
3 bir pаllаli giperboloid
4 ikki pаllаli giperboloid .
5 mаvxum konus
6 uchi koordinаtаlаr boshidа b o ‘lgаn
konus](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_18.png?v=1)
![[Дата]197 elliptik silindr
8 mаvxum silindr
9 mаvxum silindr
10 O z o ‘ q b o ‘yichа kesishuvchi 2 tа
mаvxum tekisl ik
№ Kvаdrikаning soddа
tenglаmаsi Kvаdrikаning nomi
11 ikkitа kesishuvchi tekislik
12 ikki o‘z а ro p а r а llel tekislik
13 ikki mаvxum o ‘zаro pаrаllel
tekislik
14
x 2
=0 ikki ustma-ust tushuvchi togri
chiziqlar.
15 x 2
a 2 +
y2
b2 =2z
Eliptik paraboloid](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_19.png?v=1)
![[Дата]2016 Giperbolik paraboloid.
17 Parabolik silindr.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_20.png?v=1)
![[Дата]21 5. Kvadrika tenglamasini kanonik ko ‘ rinishga keltirish
Avvalgi paragriflarda n o‘lchovli affin fazoda kvadratik formani kanonik
ko‘rinishga, hatto normal ko‘rinishga keltirishni ko‘rib, uning n o‘lchovli affin
fazodagi kvadrikalar uchun tadbiqini aniqladik. Endi kvadratik formani n o‘lchovli (
) Yevkilid fazosida qarasak, uning dagi xossalari saqlanib, ushbu xossalar
qatoriga yangi metrik harakterdagi xossalari qo‘shiladi.
Avval, ba’zi yangi tushunchalarni kiritaylik (bu tushunchalar “Algebra va sonlar
nazariyasi” kursida batafsil o‘rganilgani sababli ular haqidagi ba’zi teoramalarni
isbotsiz keltirib o‘taman).
1 o
. Xos vektorlar va harakteristik sonlar.
Quyidagi chiziqli almashtirishlarni qaraylik:
(2.2.1)
Bu chiziqli almashtirishlarning matritsasi
(2.2.2)
aynimagan bo‘lsin.
Agar (2.2.1) ning chap tomonidagi ni biror vektorning repperga
nisbatan koordinatalari desak, xuddi shunday o‘xshash, o‘ng tomondagi ni
ham shu repperga nisbatan biror vektorning koordinatalari deb qarash mumkin,
u holda (2.2.1) almashtirish har bir vektorga aniq bitta vektorni mos
keltiradi, buni quyidagicha yozaylik:](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_21.png?v=1)
![[Дата]22 (2.2.3)
Bu vaqtda chiziqli operator deb ham yuritiladi.
Ta’rif . Agar (2.2.1) chiziqli almashtirishda vektor va unga mos vektorni
bog‘lovchi
(2.2.4)
munosabat (bunda o‘rinli bo‘lsa, vektor chiziqli operatorning xos vektori
deb ataladi. Agar (2.2.4) o‘rinli bo‘lsa bo‘lib, bu
qiymatlarni (2.2.1) ga qo‘ysak,
(2.2.5)
(2.2.6)
Ma’lumki, bu bir jinsli tenglamalar sistemasi nol bo‘lmagan yechimga ega
bo‘lishi uchun uning bosh determinanti nolga teng bo‘lishi kerak:
(2.2.7)
Demak, chiziqli operatorning istalgan xos qiymati (ya’ni ) (2.2.7) tenglamani
qanoatlantirishi kerak va aksincha, ning (2.2.7) tenglamani qanoatlantiruvchi har
qanday haqiqiy qiymati ning xos qiymati bo‘ladi: (2.2.7) ning chap tomonidagi
determinantni yoyib, o‘xshash hadlarni ixchamlab chiqsak, ga nisbatan n- darajali](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_22.png?v=1)
![[Дата]23ko‘phad hosil qilinadi. Bu ko‘phad harakteristik ko‘phad, (3.7) bo‘lsa harakteristik
tenglama deb ataladi.
Quyidagi teoremalar o‘rinlidir.
1-teorema. Boshqa biror bazisga o‘tishda chiziqli operatorning matritsasi albatta
o‘zgaradi, lekin harakteristik ko‘phadning koefitsientlari va ildizlari o‘zgarmaydi.
2-teorema . Tayin bir xos qiymatga mos keluvchi xos vektorlarning har qanday
chiziqli kombinatsiyasi shu xos qiymatga mos keluvchi xos vektor bo‘ladi.
Agar bazis vektorlar biror chiziqli operatorning xos vektorlari bo‘lib,
ularga mos kelgan xos qiymatlar mos ravishda bo‘lsa, (2.2.1) tenglama
quyidagi ko‘rinishni oladi:
(2.2.8)
U holda bu almashtirishning matritsasi diagonal ko‘rinishda bo‘ladi:
(2.2.9)
( )ichida bir-biriga tenglar bo‘lishi mumkin, chunki harakteristik tenglama
karrali ildizga ega bo‘lgan hol ham yuz berishi mumkin).
3-teorema. Biror dekart bazisiga nisbatan kvadratik forma va chiziqli operator
bir xil matritsaga ega bo‘lsa, ular boshqa har qanday dekart bazisida bir xil matritsaga
ega bo‘ladi.
4-teorema. Har qanday kvadratik formaning o‘zgaruvchilarini ortogonal
almashtirish yordamida bu formani kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_23.png?v=1)
![[Дата]24Isbot: kvadratik forma berilgan bo‘lsin. Biror dekart bazisida
kvadratik forma simmetrik matritsaga ega bo‘lsin. Biz xuddi shu
matritsali chiziqli operatorni jo‘raylik. Bu chiziqli operatorning harakteristik
tenglamasi (2.2.7) ga asosan
(2.2.10)
Bu tenglamaning ildizlarini desak, 7-teoremadan chiqqan natijaga asosan
shunday dekart bazisi mavjudki, unda yuqoridagi operator matritsasi diagonal
ko‘rinishga keladi va uning diagonal elementlari bo‘ladi. U holda
kvadratik forma quyidagi ko‘rinishni oladi:
(2.2.11)
(bunda lar necha karrali ildiz bo‘lsa, ular (2.2.11) da shuncha marta qatnashadi).
U holda yangi bazis vektorlar eski bazis vektorlari orqali
Ko‘rinishda ifodalab, o‘tish matritsasi ortogonaldir. Demak kvadratik formani
kanonik ko‘rinishda yozish uchun (2.2.7) harakteristik tenglamani tuzib, uning
ildizlarini topish kifoya. Endi yangi Dekart bazisini topish va kvadratik formani
kanonik ko‘rinishga keltiradigan ortogonal almashtirishni izlash usulini ko‘rsatamiz.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_24.png?v=1)
![[Дата]25 harakteristik tenglamaning bir karrali Ildizi. Bu ni (2.2.6) dagi ning
o‘rniga qo‘yib ekanini nazarda tutsak,
(2.2.12)
Bundan ga mos keluvchi xos vektorning koordinatalarini topamiz (ya’ni
(2.2.12) sistemani ga nisbatan yechib, nol bo‘lmagan yechimlarini
topamiz); topilgan vektorni moduliga bo‘lish natijasida birlik vektor hosil qilamiz.
Endi son harakteristik tenglamaning karrali ildizi bo‘lsin. Bu vaqtda ham
ning qiymatini (2.2.6) dagi ning o‘rniga qo‘ysak, (2.2.12) ga o‘xshash Sistema
hosil bo‘ladi. Bu sisitemaning m ta yechimini shunday tanlab olamizki, koordinatalari
shu yechimlardan iborat m ta vektorning har biri birlik vektor bo‘lib, o‘zaro ortogonal
bo‘lsin. Ravshanki, bu vektorlar m o‘lchovli vektorli Yevkilid fazosining bazisi
bo‘ladi, shu vektorlarni ning ham bazis vektorlari sifatida qabul qilamiz. Shunga
o‘xshash muhokamani har bir uchun yuritamiz. Barcha larning soni n ta
bo‘lgani uchun (karraligi va karralik soni bilan olinadi) jami n ta o‘zaro ortogonal va
birlik vektordan iborat dekart bazisi hosil qilinadi.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_25.png?v=1)
![[Дата]26XULOSA
Ushbu kurs ishida Affin fazosidagi kvadrikalar. Kvadrika tenglamasini
kanonik ko‘rinishga keltirish haqida fikr yuritildi. Hozirgi paytda ta`lim muassalarida
matematikani o‘qitishning asosiy vazifasi o‘quvchilarni har tomonlama yetuk insonlar
qilib tarbiyalash hisoblanadi. Bunda ularda geometriya bo‘yicha bilimlar berish bilan
birga ularga o‘rganilayotgan bilimlarni asosli va puxta bo‘lishini ta’minlash, ularni
qo‘llay olish ko‘nikma va malakalarini shakllantirish muhim ahamiyatga ega.
Ayniqsa, o‘quvchilarda geometrik dunyoqarashni shakllantirish matematik ta’limning
asosiy vazifalaridan biri. Shu nuqtai nazardan bo‘lajak pedagoglarga oliy ta’limda
geometriyadan chuqur bilimlar berish ahamiyatlidir. Ayniqsa, geometriyaning chiziqli
va kvadratik formalarini chuqur o‘rgatish masalasi ko‘ndalang qo‘yilishi kerak.
Matematikadan bilimlarning uzilish nuqtalari aynan shu mavzularda bo‘lib qolayapti.
G eometriyada c hiziqli va kvadratik formalar o‘ziga xos xususiyatlarga ega, ularni
ta’lim mazmuni va o‘rganilayotgan tushunchalar mohiyatini ochib berishda
foydalanish, o‘zaro aloqadorlikda va o‘quvchilar amaliy faoliyati tajribasi bilan
qo‘shgan holda o‘qitish, fundamental bilimlar asosida ta'lim berish dolzarb
masalalardan hisoblanadi. Bu usullarni ishlab chiqish va amalda qo‘llash o‘qitish sifat
va samaradorligini oshirishga xizmat qiladi. Geometriyani o‘qitishning asosiy
maqsadlaridan biri ham o‘quvchilar intellektual tafakkurini shakllantirish asosida
o‘quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish hisoblanadi.
Ta‘lim jarayonini tashkil etishda geometrik bilimlarni chuqurlashtirish haqida
fikr yuritilar ekan, geometriyani o‘qitishda c hiziqli va kvadratik formalar haqida
bilimlar berish ahamiyatli jihatlardandir.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_26.png?v=1)
![[Дата]27FOYDALANILADIGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
Asosiy adabiyotlar:
1. Н.Д.Додажонов, М.Ш.Жўраева. Геометрия. 1-қисм, Тошкент. «Ўқитувчи»,
1996 й. (ўқув қўлланма)
2. X.X.Назаров, X.O.Oчиловa, Е.Г.Подгорнова. Геометриядан масалалар
тўплами. 1 ва 2 қисм. Тошкент «Ўқитувчи» 1993, 1997. (ўқув қўлланма)
Qo‘shimcha adabiyotlar:
y.
2. K.X. Aбдуллаев и другие Геометрия 1-часть. Тошкент,
«Ўқитувчи» 2002й.
3. K . X . A бдуллаев и другие. Сборник задач по геометрии. Тошкент,
“Ўқитувчи”
2004 г.
4. PARALLEL COORDINATES : VISUAL Multidimensional Geometry and its
Applications Alfred Inselberg (2004)
5. Dadajonov N.D., Yunusmetov R., Abdullayev T. Geometriya. Toshkent
1989 y
6. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995
“O zbеkiston
ʻ](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_27.png?v=1)
![[Дата]28Ele k tron ta’lim resurslari
1 . www /Ziyo. Net
2. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
3. http://www.allmath.ru/
4. http://www.pedagog.uz/
5. http://www.ziyonet.uz/
6. http://window.edu.ru/window/
7. http://www.Nur.uz
8. http://www.school . edu. ru.](https://docx.uz/documents/6ea756c4-b0df-4ceb-b870-19812205c220/page_28.png?v=1)
Kvadrika tenglamasini kanonik koʻrinishga keltirish kurs ishi