Maktabda o'quvchilarni matematik isbotlashga o'rgatish - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	10000UZS
Размер	1.1MB
Покупки	1
Дата загрузки	20 Февраль 2024
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Maktabda o'quvchilarni matematik isbotlashga o'rgatish

Купить

Maktabda o’quvchilarni matematik isbotlashga
o’rgatish
Mundarija
Kirish
I bob. Umumiy o’rta ta’lim maktablarida matematika fanlarining
maqsadi va vazifalari.
1.1. Umumiy o’rta ta’lim maktablari matematika fanlarining
maqsadi
1.2. Umumiy o’rta ta’lim maktablari matematika fanlarining
strukturasi
II bob Teorema, isbot tushunchalar .
2.1. Teorema va uning turlari
2.2. Isbot va isbotlash usullari
III bob Matematikani o’qitishda o’quvchilarni matematik isbotlashga
o’rgatish metodikasi
3.1. Matematik induksiya metodi asosida isbotlash
3.2. Pifagor teoremasining turli isbotlari
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati

Kirish
1

O’zbеkistоn Rеspublikаsi mustаqillikkа erishgаch mаktаb tа’limigа judа hаm
kаttа e’tibоr bеrildi. Jumlаdаn 1997 yil 29 аvgust kuni O’zbеkistоn оliy mаjlisining
IX sеssiyasidа tа’lim to’g’risidаgi qоnungа аsоslаgаn kаdrlаr tаyyorlаsh milliy
dаsturi qаbul qilindi.
Bu qаbul qilingаn qоnungа ko’rа uzluksiz tа’lim tizimining fаоliyati dаvlаt
tа’lim stаndаrtlаri аsоsidа, o’z ichigа quyidаgi tа’lim turlаrini оlаdi.
Mаktаbgаchа tа’lim, bоshlаng’ich tа’lim, umumiy o’rtа tа’lim, o’rtа mахsus
kаsb-hunаr tа’limi, оliy tа’lim, оliy o’quv yurtidаn kеyingi tа’lim, kаdrlаr mаlаkаsini
оshirish vа ulаrni qаytа tаyyorlаsh, mаktаbdаn tаshqаri tа’lim.
Kаdrlаr tаyyorlаsh milliy mоdеlining o’zigа хоs хususiyati mustаqil rаvishdаgi
to’qqiz yillik umumiy o’rtа tа’lim hаmdа uch yillik o’rtа mахsus, kаsb-hunаr
tа’limini jоriy etishdаn ibоrаtdir.
To ’ qqiz yillik ( I - IX sinflar ) o ’ qishdan iborat umumiy o ’ rta ta ' lim majburiydir .
Ta ' limning bu turi boshlang ' ich ta ' limni ( I - IV sinflar ) qamrab oladi hamda
o ’ quvchilarning fanlar asoslari bo ’ yicha muntazam bilim olishlarini , ularda bilim
o ’ zlashtirish ehtiyojini , asosiy o ’ quv - ilmiy va umummadaniy bilimlarni , milliy va
umumbashariy qadriyatlarga asoslangan ma ' naviy - ahloqiy fazilatlarni , mehnat
ko ’ nikmalarini , ijodiy fikrlash va atrof - muhitga ongli munosabatda bo ’ lishni va
kasb tanlashni shakllantiradi . Umumiy o ’ rta ta ' lim tugallanganidan keyin ta ' lim
fanlari va ular bo ’ yicha olingan baholar ko ’ rsatilgan holda davlat tomonidan
tasdiqlangan namunadagi attestat beriladi .
Bu es а umumiy t а’ lim d а sturl а rid а n o ’ rt а m ах sus , k а sb - hun а r t а’ limi d а sturl а rig а
izchil o ’ tilishini t а’ minl а ydi . Umumiy t а’ lim d а sturl а ri : m а kt а bg а ch а t а’ lim ,
b о shl а ng ’ ich t а’ lim ( I - IV sinfl а r ), umumiy o ’ rt а t а’ lim ( V - IX sinfl а r ), o ’ rt а m ах sus
v а k а sb - hun а r t а’ limini q а mr а b о l а di .
O ’ zbekistonning milliy mafkurasi , ma ’ naviyatini shakllantirishda , qaror
topdirishda xalq ta ’ limi tizimining ahamiyati nihoyatda salmoqlidir .
O ’ zbekiston Respublikasining ― Ta ’ lim to ’ g ’ risida , ―‖ Kadrlar tayyorlash milliy
dasturi
‖ Qonunlari va Vazirlar Mahkamasining ― Uzluksiz ta ’ lim tizimi uchun davlat
2

standartlarini ishlab chiqish va joriy etish to ’ g ’ risida 1998-‖ yil 5- yanvardagi 5- son
hamda ― O ’ zbekiston Respublikasida umumiy o ’ rta ta ’ limni tashkil etish
to ’ g ’ risidagi 1999-
‖ yil Vazirlar Mahkamasi tomonidan 1998-1999 o ’ quv yilida
tajriba sinovdan o ’ tgan ― Umumiy o ’ rta ta ’ lim maktablarining 5-9 sinflari uchun
matematikadan Davlat ta ’ lim standarti
‖ tasdiqlandi . Ushbu qarorda 1999-2000 o ’ quv
yilidan boshlab umumiy o ’ rta ta ’ limning davlat ta ’ lim standartini umumiy o ’ rta
ta ’ lim muassasalarida o ’ quv dasturlari bilan birgalikda quyidagicha bosqichma -
bosqich joriy etish ko ’ rsatildi :
-1999-2000 o’quv yili 5-6 sinflar;
-2000-2001 o’quv yili 7-sinf;
-2001-2002 o’quv yili 8-sinf; -2002-
2003 o’quv yili 9-sinf.
Umumiy o’rta ta’limning davlat ta’lim standart o’quvchilar umumta’lim
tayyorgarligiga qo’yiladigan majburiy minimal darajani belgilab berdi. Bu bilan
o’quv dasturlari, darsliklar, o’quv qo’llanmalar, metodik tavsiyalar va boshqa
o’quv-metodik adabiyotlar uchun asos bo’ladi.
Kurs ishining maqsadi: O’quvchilarning hayotiy tasavvurlari bilan amaliy
faoliyatlarini umumlashtirib borib, matematik tushuncha va munosabatlarni ular
tomonidan ongli o’zlashtirilishiga hamda hayotga tadbiq eta olishga erishish.
O’quvchilarda izchil mantiqiy fikrlashni shakllantirib boorish natijasida ularning
aql-zakovati rivojiga, tabiat va jamiyatdagi muammolarni hal etishning qulay
yo’llarini topa olishga ko’maklashish. Jamiyat taraqqiyotida matematikaning
ahamiyatini his qilgan holda umuminsoniy madaniyatning tarkibiy qismi sifatida
matematika to’g’risidagi tasavvurlarni shakllantirish.
Kurs ishining obyekti: Umumiy o’rta ta’lim maktablarida matematika
fanlarining o’qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti : Umumiy o’rta ta’lim maktablarida matematika
fanlarining o’qitish metodlari, usullari va vositalari .
3

Kurs ishining vazifasi: O’quvchilarning son haqidagi tasavvurlarini
rivojlantirish va hisoblashning inson hayotidagi amaliy ko’nikmalarini va hisoblash
madaniyatini shakllantirish. Algebraik amallarni bajarish ko’nikmalarini
egallashlari, ularni matematika va boshqa sohadagi masalalarni yechishda qo’llash.

I bob. Umumiy o’rta ta’lim maktablari matematika fanlarining
maqsadi va
4

vazifalari
1.1. Umumiy o’rta ta’lim maktablari matematika fanlarining
maqsadi
Umumiy o’rta ta’lim maktablarida matematikani o’qitishdan ko’zlangan
asosiy maqsad uning jamiyat taraqqiyoti va shaxsni shakllantirishdagi o’rni bilan
aniqlanadi. Tarixdan matematikaning, amaliy inson produktiv faoliyati uchun zarur
bo’lgan vositalarni yaratish, qo’llashga va ruhiy inson tafakkuri bilan bog’liq
bo’lgan olamni idrok etish, o’zgartirishga qaratilgan matematik metodlarni
egallashga asoslangan qirralari shakllanib kelgan.
Matematika o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv fani sifatida
keng imkoniyatlarga ega.
Umumiy o’rt а ta’lim m а kt а bl а rd а m а t е m а tik а o’qitishning m а qs а di quyid а gi
uch о mil bil а n b е lgil а n а di:
1. M а t е m а tik а o’qitishning umumt а ’limiy m а qs а di.
2. M а t е m а tik а o’qitishning t а rbiyaviy m а qs а di.
3. M а t е m а tik а o’qitishning а m а liy m а qs а di.
M а t е m а tik а o’qitishning umumt а ’limiy m а qs а di o’z о ldig а quyid а gi v а zif а l а rni
qo’yadi:
а ) O’quvchil а rg а m а ’lum bir d а stur а s о sid а m а t е m а tik biliml а r tizimini b е rish.
Bu biliml а r tizimi m а t е m а tik а f а ni to’g’risid а o’quvchil а rg а е t а rli d а r а j а d а m а ’lum о t
b е rishi, ul а rni m а t е m а tik а f а nining yuq о ri bo’liml а rini o’rg а nishg а t а yyorl а shi
k е r а k. Bund а n t а shq а ri, d а stur а s о sid а o’quvchil а r o’qish j а r а yonid а о lg а n
biliml а rining ish о nchli ek а nligini t е kshir а bilishg а o’rg а nishl а ri, ya’ni isb о tl а sh v а
n а z о r а t qilishning а s о siy m е t о dl а rini eg а ll а shl а ri k е r а k.
b) O’quvchil а rning о g’z а ki v а yozm а m а t е m а tik biliml а rini t а rkib t о ptirish.
M а t е m а tik а ni o’rg а nish o’quvchil а rning o’z о n а till а rid а ха t о siz so’zl а sh, o’z
fikrini а niq, r а vsh а n v а lo’nd а qilib b а yon et а bilish m а l а k а l а rini o’zl а shtirishl а rig а
yord а m b е rishi k е r а k. Bu d е g а n so’z o’quvchil а rning h а r bir m а t е m а tik q о id а ni o’z
о n а till а rid а to’g’ri g а pir а о lishl а rig а erishish h а md а ul а rni а n а shu q о id а ning
5

m а t е m а tik if о d а sini f о rmul а l а r yord а mid а to’g’ri yoz а о lish q о biliyatl а rini а tr о flich а
sh а kll а ntirish d е m а kdir;
v) O’quvchil а rni m а t е m а tik q о nuniyatl а r а s о sid а r еа l h а qiq а tl а rni bilishg а
o’rg а tish. Bu е rd а o’quvchil а rg а r еа l о l а md а yuz b е r а dig а n eng s о dd а h о dis а l а rd а n
t о rtib t о mur а kk а b h о dis а l а rg а ch а h а mm а sining f а z о viy f о rm а l а ri v а ul а r о r а sid а gi
miqd о riy mun о s а b а tl а rni tushunishg а imk о n b е r а dig а n h а jmd а biliml а r b е rish
ko’zd а tutil а di. Bund а y biliml а r b е rish о rq а li es а o’quvchil а rning f а z о viy t а s а vvur
qilishl а ri sh а kll а n а di h а md а m а ntiqiy t а f а kkur qilishl а ri yan а d а riv о jl а n а di.
M а t е m а tik а o’qitishning t а rbiyaviy m а qs а di o’z о ldig а quyid а gil а rni qo’yadi:
а ) O’quvchil а rd а ilmiy dunyoq а r а shni sh а kll а ntirish. Bu g’ о ya bilish
n а z а riyasi а s о sid а а m а lg а о shiril а di.
b) O’quvchil а rd а m а t е m а tik а ni o’rg а nishg а bo’lg а n qiziqishl а rni t а rbiyal а sh.
Bizg а m а ’lumki, m а t е m а tik а d а rsl а rid а o’quvchil а r o’qishning d а stl а bki
kunl а rid а n о q must а qil r а vishd а х ul о s а chiq а rishg а o’rg а n а dil а r. Ul а r а vv а l о
kuz а tishl а r n а tij а sid а , so’ngr а es а m а ntiqiy t а f а kkur qilish n а tij а sid а х ul о s а
chiq а r а dil а r. А n а shu chiq а rilg а n х ul о s а l а r m а t е m а tik q о nuniyatl а r bil а n
t а sdiql а n а di.
M а t е m а tik а o’qituvchisining v а zif а si o’quvchil а rd а must а qil m а ntiqiy fikrl а sh
q о biliyatl а rini sh а kll а ntirish bil а n birg а ul а rd а m а t е m а tik а ning q о nuniyatl а rini
o’rg а nishg а bo’lg а n qiziqishl а rini t а rbiyal а shd а n ib о r а tdir.
v) O’quvchil а rd а m а t е m а tik t а f а kkurni v а m а t е m а tik m а d а niyatni
sh а kll а ntirish. M а t е m а tik а d а rsl а rid а o’rg а nil а dig а n h а r bir m а t е m а tik х ul о s а
q а t’iylikni t а l а b qil а di, bu es а o’z n а vb а tid а jud а ko’p m а t е m а tik tushunch а v а
q о nuniyatl а r bil а n if о d а l а n а di. O’quvchil а r а n а shu q о nuniyatl а rni
b о sqichm а b о sqich o’rg а nishl а ri d а v о mid а ul а rning m а ntiqiy t а f а kkur qilishl а ri
riv о jl а n а di, m а t е m а tik х ul о s а chiq а rish m а d а niyatl а ri sh а kll а n а di. O’quvchil а rni
bir о r m а t е m а tik q о nuniyatni if о d а qilm о qchi bo’lg а n fikrl а rni simv о lik tild а to’g’ri
if о d а l а y о lishl а ri v а а ksinch а simv о lik tild а if о d а qiling а n m а t е m а tik q о nuniyatni
6

o’z о n а till а rid а if о d а qil а о lishl а rig а o’rg а tish о rq а li ul а rd а m а t е m а tik m а d а niyat
sh а kll а ntiril а di.
3. M а t е m а tik а o’qitishning а m а liy m а qs а di o’z о ldig а quyid а gi v а zif а l а rni
qo’yadi:
а ) M а t е m а tik а kursid а о ling а n n а z а riy biliml а rni kund а lik h а yotd а uchr а ydig а n
el е m е nt а r m а s а l а l а rni е chishg а t а dbiq qil а о lishg а o’rg а tish. Bund а
а s о s а no’quvchil а rd а n а z а riy biliml а rni а m а liyotg а b о g’l а y о lish imk о niyatl а rini
t а rkib t о ptirish, ul а rd а turli s о nl а r v а m а t е m а tik if о d а l а r ustid а а m а ll а r b а j а rish
m а l а k а l а rini sh а kll а ntirish v а ul а rni must а hk а ml а sh uchun m ах sus tuzilg а n а m а liy
m а s а l а l а rni h а l qilishg а o’rg а til а di.
b) M а t е m а tik а ni o’qitishd а t ех nik v о sit а v а ko’rg а zm а li qur о ll а rd а n
f о yd а l а nish m а l а k а l а rini sh а kll а ntirish. Bund а o’quvchil а rning m а t е m а tik а
d а rsl а rid а t ех nik а v о sit а l а rid а n, m а t е m а tik ko’rg а zm а li qur о ll а r, j а dv а ll а r v а
his о bl а sh v о sit а l а rid а n f о yd а l а n а о lish m а l а k а l а ri t а rkib t о ptiril а di.
v) O’quvchil а rni must а qil r а vishd а m а t е m а tik biliml а rni eg а ll а shg а o’rg а tish.
Bund а а s о s а n o’quvchil а rni o’quv d а rslikl а rid а n v а ilmiy- о mm а viy m а t е m а tik
kit о bl а rd а n must а qil o’qib o’rg а nish m а l а k а l а rini sh а kll а ntirishd а n ib о r а tdir.
Matematik tafakkur obyektlari va ularni yasash haqida mantiqiy xulosalar
chiqarish, mulohazalarni shakllantirish, asoslash va isbotlash ko’nikmalarini
shakllantiradi va bu asosda mantiqiy tafakkur rivojlanadi. Bundan tashqari
algoritmik tafakkurni shakllantirish ma’lum bir algoritm bo’yicha faoliyat ko’rsatish
va yangilarini ko’rish ko’nikmasini tarbiyalaydi.
Umumiy o’rta ta’lim maktablarida matematikani o’qitishda ko’zlangan maqsadlar:
-o’quvchilarning hayotiy tasavvurlari bilan amaliy faoliyatlarini umumlashtirib
matematik tushuncha va munosabatlarni ular tomonidan ongli o’zlashtirilishiga
hamda hayotga tadbiq eta olishga intilish;
-insoniyat kamoloti, hayotning rivoji, texnika va texnologiyaning
7

takomillashib borishi asosida fanlarning o’qitilishiga bo’lgan talablarni hisobga
olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan
uyg’unlashtirish;
-o’quvchilarda izchil mantiqiy fikrlashni shakllantirib boorish natijasida ularning
aql-zakovat rivojiga, tabiat va jamiyatdagi muammolarni hal etishning maqbul
yo’llarini topa olishlariga ko’maklashish;
-vatanparvarlik va milliy g’ururni tarkib topdirish, rivojlantirish, matematika
rivojiga komusiy olimlarimiz qo’shgan hissalaridan o’quvchilarni xabardor qilish;
-jamiyat taraqqiyotida matematikaning ahamiyatini his qilgan holda umuminsoniy
madaniyatning tarkibiy qismi sifatida matematika to’g’risidagi tasavvurlarni
shakllantirish.
Bular natijasida umumiy ta’lim asosida akademik litsey, kasb-hunar kollejlarida
bilim olishni davom ettirish uchun yetarli bo’ladigan matematik bilim va
ko’nikmalar tizimini o’quvchilarning mustahkan va ongli egallashlariga erishiladi.
Matematika o’quvchilarda iroda, diqqatni to’plab olishni, qobiliyat va faollikni,
tasavvurni, shaxsning axloqiy sifatlarini ya’ni qatiyatli bo’lishni, tanqidiy fikrlashni
hamda o’zining qarash va etiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish
ko’nikmalarini rivojlantiradi.
Matematikani o’rganishda o’quvchilar
o’zlarining fikr mulohazalarini aniq va tugal, to’liq, lo’nda va
mazmunli bayon qilishga, matematik yozuvlarni tushunarli, tartibli bajarish
malakalarini egallaydilar.
Matematikadan misol va masalalarni yechish jarayonida tafakkurning ijodiy va
amaliy qirrqlari rivojlanadi. Matematik isbotlardagi tasavvur qilish, ulardagi
simmetriya, qatiy qonuniyatlar asosida go’zallikni ko’ra olishga o’rgatish orqali
o’quvchilarga estetik ta’lim-tarbiya beriladi. Yuqorida qayd etilgan maqsadlardan
umumiy o’rta ta’lim maktablarida matematika o’qitishda vatanga sadoqat, yuksak
axloq, manaviyat va ma’rifat, jamiyatning har bir a’zosining mehnat faoliyati va
8

hayoti uchun zarur bo’lgan matematik bilim, ko’nikma va malakalarni berish kelib
chiqadi.

1.2. Umumiy o’rta ta’lim maktablari matematika fanlarining
strukturasi
Umumiy o’rta ta’lim davlat ta’lim standartining tayanch o’quv rejasida 1-1X
sinflarda matematika darslari uchun haftasiga 5soatdan belgilangan bo’lib,
o’quvchilar tayyorgarlik darajasiga qo’yiladigan majburiy minimal talablarga ko’ra
o’quvchilar matematikadan quyidagi bilim, ko’nikma va malakalarga ega bo’lishlari
kerak.
V-1X sinflarda:
O’ quvchilar matematikaga oid quyidagi bilimlarni egallashlari shart:
- natural, butun, ratsional va haqiqiy sonlar haqida tushunchaga ega bo’ lish va
ularga oid hisoblashlarni bajara olish;
- sonlarning o’ rta arifmetigi, nisbat, proporsiya va foizlarni bilish, ularni qo’
llay olish;
- sonli va harfiy ifodalar haqida tassavvurga ega bo’ lish;
- harfiy ifodalarni, shakl almashtirish qoidalarini bilish va ularni qo’ llay olish;
- darajalar, ko’ phadlar va algebraik kasrlar ustida asosiy amallarni bajarish va
shakl almashtirishda qo’ llay olish;
- ko’ phadlarni standart ko’ rinishga keltira olish;
- kvadrat ildiz qatnashgan sonli va harfiy ifodalarni aynan shakl
almashtirishlarni bajara olish;
- algebraik ifodaning son qiymatini topa olish;
- qisqa ko’ paytirish ayniyatlarini bilish va qo’ llay olish;
- tenglamalar-masalalar yechish apparati ekanligi haqida tasavvurga ega
bo’ lish;
- tenglama, uning ildizi tushunchalarining ma’nosini bilish;
9

- chiziqli, kvadrat va ratsional tenglamalar hamda chiziqli ikki noma’lumli
tenglamalar sistemasini yecha olish;
- bir noma’lumli tengsizliklar va ularning sistemalarini yecha olish;
- funksiya tushunchasiga oid atamalarni bilish va amalda qo’ llay olish;
- funksiyaning jadval, grafik, formula orqali berilish usullarini bilish;
- formula bilan berilgan funksiyani grafik usulda tasvir eta olish;
10

-
son o’ qida va koordinata tekisligida nuqtani ifodalay olish;
- sodda diagrammalarni chiza olish;
- asosiy trigonometrik ayniyatlarni bilish va qo’ llay olish;
- keltirish formulalarini bilish va misollarni yechishga tatbiq eta olish;
- arifmetik va geometrik progressiyalarni bilish, ularning istalgan hadini va
hadlar yig’indisini hisoblay olish;
- asosiy geometrik figuralarga oid tushuncha va atamalarni bilish;
- chizmada berilgan geometrik figuralarni ko’ rsata olish;
- masala shartiga mos keluvchi chizmani chizish, geometrik figuralarni
tekislikda tasvirlay olish;
- teoremalarni isbotlash, masala va misol yechishda mantiqiy mulohaza
yuritishni bilish;
- hisoblash va isbotlashga oid masalalarni yechishda asosiy figurani tanlash,
qo’ shimcha yasashlarni bajara olish;
- yassi geometrik figuralar va geometrik munosabatlar haqidagi tartibga
solingan ma’lumotga ega bo’ lish;
- geometriya kursidan olingan bilimlarni hayotda qo’ llay olish;
- figuralarni tasvir etish uchun burchak kattaligi va kesmalarning uzunligini o’
lchashda geometrik asboblardan foydalana olish;
- Fales va Pifagor teoremalarini bilish va ularni masalalar yechishda qo’ llash;
- uchburchakning tenglik alomatlarini bilish va ularni masalalar yechishda qo’
llay olish;
- yuza haqida tushunchaga ega bo’ lish va ularning asosiy xossalarini bilish;
- ko’ pburchaklarning yuzlarini hisoblash formulalarini bilish va ularni
hisoblash;
- o’ xshash figuralar haqida tushunchaga ega bo’ lish va ularning xossalarini
bilish;
- aylana va doira haqidagi tushunchalarga ega bo’ lish hamda ularning
elementlarini bilish;
11

-
- aylana uzunligi va doira yuzini hisoblay olish;
ko’ pburchakka tashqi va ichki chizilgan aylanalar haqida ma’lumotga ega
bo’ lish;
- muntazam ko’ pburchaklar, ularning tomoni bilan ichki va tashqi chizilgan
aylanalar radiuslari orasidagi bog‗lanishni bilish;
- vektor va vektor kattalik haqida tushunchaga ega bo’ lish;
- vektorlar ustida chiziqli amallarni bajara olish;
- vektorlarning skalyar ko’ paytmasi va undan masalalarni yechishda foydalana
olish;
- vektorlarning koordinatalarda ifodasini bilish;
- formulalar yordamida hisoblashlarni bajara olish;
- buyuk allomalarimiz va ularning matematika rivojiga qo’ shgan hissalari
haqida tasavvurga ega bo’ lish.
О ’quvchil а r ushbu kursni о ’rg а nish n а tij а sid а quyid а gi bilim v а k о ’nikm а l а rni
eg а ll а shl а ri l о zim:
Bilimlаr:
Sоn vа hisоblаshlаr:
- о’nli sаnоq sistеmаsi;
- nаturаl sоnlаr vа оddiy kаsrlаr ustidа bаjаrilаdigаn аmаllаrni;
- sоnlаrning 10 gа, 5 gа, 2 gа, 9 gа vа 3 gа bо’linish bеlgilаrini;
- s о nl а rning EKUB v а EKUK i;
- t о ’g’ri, n о t о ’g’ri k а sr nim а ligini;
- kаsrning аsоsiy хоssаsini;
- dаstur dоirаsidа аllоmаlаrimizning mаtеmаtikаgа qо’shgаn hissаlаri hаqidа
mа’lumоtgа egа bо’lish.
Ifоdаlаrni аynаn аlmаshtirish:
- аrifmеtik аmаllаr bо’yusinаdigаn qоnunlаrning hаrfiy yоzuvi;
- sоnli vа hаrfiy ifоdаlаr hаqidа tushunchаgа egа bо’lish; Gеоmеtrik
figurаlаr. Gеоmеtrik kаttаliklаrni о’lchаsh: kеsmа, nur, tо’g’ri chiziq, sоn nuri;
12

-
burchаk vа uning turlаri; tо’g’ri tо’rtburchаk, kvаdrаt, tо’g’ri burchаkli
раrаllеleрiреd vа kub hаqidа tushunchаgа egа bо’lish;
Kо’nikmаlаr:
Sоn vа hisоblаshlаr :
- ikki хоnаli sоnlаrni qо’shish vа аyirishni оg’zаki bаjаrа оlish;
- ikki хоnаli sоnlаrni bir хоnаli sоnlаrgа kо’rаytirish vа bо’lish
аmаllаrini оg’zаki bаjаrа оlish;
- bir nеchа о’nlik хоnаlаri bо’lgаn nаturаl sоnlаrni qо’shish, аyirish,
kо’rаytirish vа bо’lishni erkin bаjаrа оlish;
- sоddа hоllаrdа sоnli vа hаrfiy ifоdаlаrni tuzish;
- sоnlаrning bо’linish bеlgilаrini (10 gа, 5gа, 2 gа, 9 vа 3 gа) qо’llаy
оlish;
- s о nl а rning EKUB v а EKUK ini t о rish;
- s о nning qismini v а qismi b о ’yich а s о nning о ’zini t ора о lish;
- sоnlаrni tаqqоslаsh;
- оddiy kаsrlаr ustidа tо’rt аmаlni erkin bаjаrа оlish;
- аrаlаsh sоnni оddiy kаsrgа аylаntirish;
- 3-5 аrifmеtik аmаlli mаtnli mаsаlаlаrni sаvоllаr tuzib yеchа оlish.
Gеоmеtrik figurаlаr. Gеоmеtrik kаttаliklаrni о’lchаsh:
- kеsmа vа siniq chiziqning uzunligini о’lchаsh;
- bеrilgаn uzunlikdаgi kеsmаlаrni yasаy оlish;
- burchаklаrni trаnsроrtirdаn fоydаlаnib о’lchаsh vа grаdus о’lchоvlаri
bеrilgаn burchаklаrni yasаy оlish;
- аylаnа vа dоirаni bir-biridаn аjrаtа оlish;
- bеrilgаn fоrmulа vа mа’lumоtlаrgа kо’rа kvаdrаt, tо’g’ri tо’rtburchаk,
kub, tо’g’ri burchаkli раrаllеlерiреdning sоnli хаrаktеristikаlаri (tоmоni uzunligi,
реrimеtri, yuzi, hаjmi) ni hisоblаy оlish.
13

-
Matematikadan darslarni rejalashtirish va tashkil etishda o’tilgan mavzularni
amaliy mashg’ulotlar jarayonida o’quvchilar ko’proq anglab olishi va
o’zlashtirishiga qaratish muhim. Buning uchun esa ham nazariyani
14

o’rganishda, ham masalalar yechishda, og’zaki va yozma ko’rinishlardagi ishlarni
ratsional tarzda olib borish lozim.
O’quv tarbiya jarayonini tashkil etishning muhim sharti o’quvchilarning o’qitish usuli
va yo’llarining maqbul tizimini tanlashdan hamda o’quvchilarning yosh xususiyatlari,
ularning matematik tayyorgarlik darajasi, umumiy o’quv ko’nikmalarining
rivojlangganligiga, hal etilayotgan ta’limtarbiyaviy masalalarning o’ziga hos
xususiyatlarini hisbga olgan holda uyg’unlashtirishdan iboratdir.

15

II bob Teorema, isbot tushunchalari.
2.1. Teorema va uning turlari.
Teoremalar matematik hukmlarning eng ko’p ishlatiladigan turi bo’lib, u
aksiomalar yordamida o’rnatilayotgan nazariy natijalarni ifoda etib, isbotlanishni talab
etiladi. Teorema ikki qismdan iborat bo’lib: shart va xulosa va A=>B shaklda
belgilanishi mumkin. M а kt а b m а t е m а tik а kursid а t ео r е m а g а quyid а gich а t а ’rif
b е rilg а n:
"Isb о tl а shni t а l а b et а dig а n m а t е m а tik hukm t ео r е m а d е yil а di".
M а kt а b m а t е m а tik а kursid а t ео r е m а l а rning quyid а gi turl а ri m а vjuddir:
1. To’g’ri tеоrеmа.
2. Tеskаri tеоrеmа.
3. To’g’ri tеоrеmаgа qаrаmа-qаrshi tеоrеmа.
4. Tеskаri tеоrеmаgа qаrаmа-qаrshi tеоrеmа.
To’g’ri vа ungа nisbаtаn tеskаri bo’lgаn tеоrеmа tushunchаlаrini o’quvchilаr
оngidа shаkllаntirishni - VI sinf gеоmеtriya kursining birinchi dаrslаridаn bоshlаb
аmаlgа оshirish kеrаk. Mаsаlаn, quyidаgi ikkitа tushunchаni оlib qаrаylik. 1. Bu figurа
pаrаllеlоgrаmmdir
2. Bu figurа to’rtburchаkdir.
Bеrilgаn bu ikkаlа hukm o’zаrо bоg’liqdir. Bоshqаchа qilib аytgаndа,
birinchisining hаqiqаtligidаn ikkinchining hаqiqаtligi kеlib chiqаdi, аmmо
ikkinchisining mаvjudligidаn birinchisining hаqiqаtligi hаr dоim hаm kеlib
chiqаvеrmаydi. Аgаr bu bоg’lаnishni simvоlik rаvishdа yozаdigаn bo’lsаk u
quyidаgichа bo’lаdi:
pаrаlеlоgrа
mm to’rtburc
hаk
Bu еrdа biz pаrаlеllоgrаmlаr sinfini to’rtburchаklаr sinfigа kiritdik. Yuqоridаgidеk
bоg’lаnishlаr gеоmеtriya kursining birinchi dаrslаridаn bоshlаb tеkshirаyotgаn
mаtеmаtik hukmlаrning ichki o’zаrо bоg’lаnishini оchib bеrаdi. Mаsаlаn, "Ichki
16

аlmаshinuvchi burchаklаr o’zаrо tеng" dеgаn hukmni simvоlik hоldа quyidаgichа
yozish mumkin:
Ichki аlmаshinuvchi
burchаklаr Tеng
burchаklаr
Bu еrgа аgаr ichki аlmаshinuvchi burchаklаr mаvjud bo’lsа, u hоldа ulаr tеng
bo’lаdi, dеgаn fikrni tаsdiqlаyapmiz. Аgаr yo’nаlish tеskаri tоmоngа qo’yilsа, bundаy
mulоhаzа hоsil bo’lаdi: "Аgаr burchаklаr tеng bo’lsа, u hоldа ulаr ichki аlmаshinuvchi
burchаklаrdir". Аgаr biz tеоrеmаdаgi shаrt vа хulоsаning o’zаrо bоg’liqligini "аgаr",
"u hоldа" so’zlаri bilаn bоg’lаsаk, bundа o’quvchilаr tеоrеmаning shаrti, nаtijаsi vа
ulаr оrаsidаgi bоg’lаnish hаqidа chuqurrоq tаsаvvurgа egа bo’lаdilаr. Mаsаlаn, аgаr bir
uchburchаkni ikki tоmоni ikkinchi uchburchаkning ikki tоmоnigа mоs rаvishdа tеng
bo’lsа, bundаy uchburchаklаr tеng bo’lаdi. Bu аytilgаn tеоrеmаning shаrtidаn uning
хulоsаsi kеlib chiqmаydi, аmmо uning хulоsаsidаn shаrti hаr dоim kеlib chiqаdi.
Shuning uchun uni simvоlik rаvishdа bundаy yozish mumkin:
Bir uchburchаkning ikki tоmоni
ikkinchi
uchburchаkning ikki tоmоnigа mоs rаvishdа
tеng bo’lsа uchburchаklаr
tеng
Mаktаb gеоmеtriya kursidа shundаy tеоrеmаlаr bоrki, ulаrning shаrtidаn
хulоsаsining to’g’riligi vа аksinchа, хulоsаsidаn shаrtining to’g’riligi kеlib chiqаdi.
Mаsаlаn:
1. Аgаr to’g’ri chiziq burchаk bissеktrisаsi bo’lsа, u bеrilgаn burchаkni tеng
ikkigа bo’lаdi.
Bungа tеskаri bo’lgаn tеоrеmа hаm o’rinlidir: "Аgаr to’g’ri chiziq burchаkni tеng
ikkigа bo’lsа, bu to’g’ri chiziq shu burchаkning bissеktrisаsidir". Bu аytilgаnlаrni
simvоlik rаvishdа bundаy yozish mumkin:
Аgаr to’g’ri chiziq burchаk bissеktrisаsi
bo’lsа Burchаk tеng
ikkigа
bo’linаdi
17

Bundаn ko’rinаdiki, tеоrеmа shаrtining mаvjudligidаn uning хulоsаsining
hаqiqiyligi kеlib chiqsа vа аksinchа, uning хulоsаsining mаvjudligidаn hаqiqаtligi
kеlib chiqsа, tеоrеmаning shаrt vа хulоsаlаridа qаtnаshаyotgаn "аgаr" vа "u hоldа"
bоg’lоvchilаrining o’rinlаri o’zgаrаdi.
Аgаr biz shаrtli rаvishdа bеrilgаn tеоrеmаni to’g’ri tеоrеmа dеsаk, bu tеоrеmаdаgi
shаrt vа хulоsаlаrning o’rinlаrini аlmаshtirish nаtijаsidа hоsil qilingаn tеоrеmаni
tеskаri tеоrеmа dеb аtаymiz.
Endi to’g’ri vа tеskаri tеоrеmаlаrning bеrilishi hаmdа ulаrni isbоtlаsh uslubiyatini
ko’rib chiqаylik.
1. To’ g’ r i tеоrеmа: "Аgаr uchburchаkning birоr tоmоni kаttа bo’lsа, u hоldа аnа
shu kаttа tоmоn qаrshisidа kаttа burchаk yotаdi".
С D B
A
1-Chizma.
B е rilg а n: АВС , ВС > АВ .
Icb о t qilish k е r а k: А > С .
I s b о t i. ABC uchburch а kning BC t о m о nid а А B t о m о ng а t е ng BD=AB k е sm а ni
o’lch а b, а n а shu D nuqt а ni А nuqt а bil а n birl а shtir а miz (1-chizm а ), n а tij а d а ABD t е ng
yonli uchburch а k h о sil bo’l а di. ABD uchburch а k t е ng yonli bo’lg а ni uchun BAD=
BDA. BDA burch а k ADC burch а kning t а shqi burch а gi bo’lg а ni uchun BAD= С +
DAC bo’l а di, bund а n BAD> С ek а ni k е lib chiq а di. Bu е rd а gi BAD burch а k А
burch а kning bir qismi хо l о s. Shuning uchun А
> С .
T е sk а ri t ео r е m а : Agar uchburch‖ а kning bir о r burchagi k а tt а bo’ls а , u h о ld а а n а
shu k а tt а burch а k q а rshisid а k а tt а t о m о n yot а di".
I s b о t q i l i sh k е r а k: ВС > AB.
18

I s b о t i. 1) АВ C uchburch а kning AB t о m о ni h е ch q а ch о n ВС t о m о nid а n k а tt а
bo’l а о lm а ydi, chunki to’g’ri t ео r е m а d а biz k а tt а t о m о n q а rshisid а k а tt а burch а k
yot а di, d е b isb о t qildik, а ks h о ld а C> А ligi k е lib chiq а di, bu es а t ео r е m а sh а rtig а
ziddir.
2) AB t о m о n ВС t о m о ng а t е ng h а m bo’l а о lm а ydi, chunki АВС t е ng yonli
em а s, а g а r t е ng yonli bo’lg а nd а edi С > А t е nglik o’rinli bo’lib, bu h а m t ео r е m а
sh а rtig а zid bo’l а r edi.
3) А g а r AB t о m о n ВС t о m о nd а n k а tt а bo’lm а s а yoki ung а t е ng bo’lm а s а , u
h о ld а ВС AB ligi k е lib chiq а di.
2. To’g’ri t ео r е m а . А g а r uchburch а kning t о m о nl а ri t е ng bo’ls а , u h о ld а bu
С
A B C 2-Chizma. 3-Chizma.
t о m о nl а r q а rshisid а t е ng burch а kl а r yot а di.
B е rilg а n: АВ C, АС = СВ .
Isb о t qilish k е r а k: A = B.
I s b о t i. АВС а s о si АВ bo’lg а n t е ng yonli uchburch а k bo’lsin. А = В ek а nligini
isb о tl а ymiz. Uchburch а kl а r t е ngligini birinchi а l о m а tig а ko’r а CAB burch а k СВА
burch а kk а t е ng bo’l а di, chunki СА = СВ v а С = С . Bu uchburch а kl а rning t е ngligid а n:
A= B.
T е sk а ri t ео r е m а . А g а r uchburch а kning burch а kl а ri o’z а r о t е ng bo’ls а , u h о ld а bu
burch а kl а r q а rshisid а t е ng t о m о nl а r yot а di (3 - chizm а ).
B е rilg а n: АВС , А = С .
I s b о t q i l i sh k е r а k: ВС = АВ .
I s b о t i. 1) ВС t о m о n АВ t о m о nd а n k а tt а bo’l а о lm а ydi, а ks h о ld а а vv а lgi isb о t
qiling а n t ео r е m а g а ko’r а А > С bo’l а r edi, bu es а t ео r е m а sh а rtig а ziddir.
19

2) ВС t о m о n АВ t о m о nd а n kichik h а m bo’l а о lm а ydi, а ks h о ld а а vv а lgi isb о t
qiling а n t ео r е m а g а ko’r а С > А bo’l а r edi, bu es а t ео r е m а sh а rtig а ziddir.
D е m а k, ВС = АВ .
А g а r biz to’g’ri t ео r е m а ning sh а rtini р v а uning х ul о s а sini q d е s а k, u h о ld а
yuq о rid а gi t ео r е m а turl а ri uchun quyid а gi simv о lik if о d а l а r o’rinlidir:
1) р => q (to’g’ri t ео r е m а );
2) q => р (tеskаri tеоrеmа);
3) p => q (to’g’ri tеоrеmаgа qаrаmа-qаrshi tеоrеmа);
4) q => p (tеskаri tеоrеmаgа qаrаmа-qаrshi tеоrеmа).
 Teoremaning sharti va uning xulosasi nimadan iborat ekanligini to’la
tushunib olishlari kerak.
 Ana shu teoremani shart va xulosasida qatnashayotgan har bir matematik
tushunchaning ma’nosini bilishlari kerak.
 Teoremaning shart va xulosa qismlarini matematik simvollar orqali
ifodalashlari kerak.
 Teoremaning shartida qatnashayotgan ma’lum parametrlar teorema
xulosasidagi noma’lumni aniqlay oladimi yoki yo’qmi ekanligini bilishlari kerak.
 Teoremani isbotlash jarayonida teoremadagi shartlardan teorema
xulosasining to’g’riligini ko’rsatuvchi natijalar keltirib chiqarishi kerak.
 Teoremani isbotlash jarayonidagi mantiqiy mulohazalarda teoremaning
shartidan to’la foydalanishlari kerak.
 Teorema isbot qilib bo’lingach, isbotlashda qo’llanilgan metodni ko’zdan
kechirish va imkoni bo’lsa, isbotlashning boshqa usullarini qidirib topish kerak.
Matematika kursidagi teoremalarni isbotlash uch xil usulda amalga oshiriladi.
 Bevosita isbotlash usuli (to’g’ri isbotlash usuli);
 Bilvosita isbotlash usuli (teskarisidan faraz qilish usuli);
 Matematik induksiya prinsipi orqali isbotlash usuli; Bevosita isbotlash
usuli o’zi ikki xil usulda isbotlanadi.
1) Teoremaning sharti va xulosasiga ko’ra.
20

T е о r е m а . А g а r a, b, c ABC uchbukch а kning t о m о nl а ri v а р uning yarim
p е rim е tri bo’ls а , u h о ld а bu uchburch а kning yuzi S p (p a) (p b) (p c) g а t е ng bo’l а di.
1. T ео r е m а ning sh а rti: " а g а r а , b, с АВС uchburch а kning t о m о nl а ri v а R
uning yarim p е rim е tri bo’ls а ", t ео r е m а ning х ul о s а si: "u h о ld а bu uchburch а kning yuzi
S p (p a )(p b)(p c) g а t е ng bo’l а di".
2. T ео r е m а ning sh а rt v а х ul о s а qisml а rid а uchburch а k, uchburch а kning
t о m о nl а ri, uning p е rim е tri v а yarim p е rim е tri h а md а uning yuzi k а bi tushunch а l а r
q а tn а sh а yapti.

3. Bеr il gаn: АВC, АВ = с, ВС = а, АС = b,
p
2
I s b о t q i l i sh k е r a k:
4. Tеоrеmа shаrtidа bеrilgаn uchburchаk, uning tоmоnlаri, yarim pеrimеtri
kаbi tushunchаlаr uning хulоsаsidа tаlаb qilinаyotgаn S p (p a) (p b) (p c) nоmа’lumni
tоpish uchun еtаrlidir.
5. T е о r е m а n i n g i s b о t i . А BS d а C А b , АВ с, ВС а d е b о l а miz .
Rasmd а n:
S ah
a (1)
2-rasm.
b sinc2)
21
cba

))()(( cpbpappS
2 - rasm 1 - rasm
ABC
21
hc
bh
ADC
aa
€sin

(2) ni (1) gа qo’ysаk:

| a||b|cosс€ ifоdа a
vа b vеktоrlаrning skаlyar
ko’pаytmаsidir.
c a b bo’lаdi, bu ifоdаning hаr ikki tоmоnini kvаdrаtgа
ko’tаrsаk,

(4)

2) Teoremaning zarurliligi va yetarliligiga ko’ra.

3-Chizma.
Z а r u r l i k n i n g i s b о t i. F а r а z qil а ylik р v а q to’g’ri chiziql а r o’z а r о p а r а ll е l
bo’lsin, l es а р v а q l а rni k е suvchi to’g’ri chiziq bo’lsin, u h о ll а biz 2= 4 ek а nini isb о t
qilishimiz k е r а k. р v а q to’g’ri chiziql а rd а C v а D nuqt а l а rni о l а miz. О nuqt а B
22

)3()(
21 )
€cos||
||(
21
€cos
21 €cos1
21
€sin
21
€sin
21
222 22222 22
22
baba cbabacabab cabcabcabS
ABC
ni (3) g(4)
а qo`ys
а k: .
2 ,2
22222 22222
cba
ba babac

nuqt а l а rg а nisb а t а n simm е triya m а rk а zi d е s а k, u h о ld а quyid а gi mun о s а b а tl а r o’rinli
bo’l а di:
1) [АО] [ВО]. 2) [AC] [BD]. 3) lАС.
Chizmаdа 2= lAC chunki ulаr vеrtikаl burchаklаrdir. Shuning uchun 2= 4
ek а ni k е lib chiq а di.
Е t а rlilikning isb о ti. F а r а z qil а ylik, l р v а q to’g’ri chiziql а rni k е sib o’tuvchi to’g’ri
chiziq, 2= 4 bo’lsin. U h о ld а р || q ek а nligini isb о t qilishimiz k е r а k. р l = А , q l = В .
F а r а z qil а ylik, р v а q to’g’ri chiziql а r o’z а r о p а r а ll е l bo’lm а sin, u h о ld а р q= С . U h о ld а
2 ABC uchburch а kning t а shqi burch а gi bo’l а di. Bund а n 2> B= 4 ek а nligi k е lib
chiq а di, bu es а yuq о rid а qo’yilg а n 2= 4 sh а rtg а ziddir, d е m а k, q || р ek а n.

 Ta„rif. Agar q mulohazadan r mulohazaning to’g’riligi kelib chiqsa, ya’ni
q=>r bo’lsa, u holda r mulohaza q mulohaza uchun zaruriy shart bo’lib, q mulohaza esa
r mulohaza uchun etarli shart deyiladi.

 Bilvosita isbotlash usuli (teskarisidan faraz qilish usuli);
Ta rif.‟ Teoremaning xulosasidagi no’malumlarni topish unga zid bo’lgan jumlani
inkor qilish orqali amalga oshirilgan bo’lsa, uni bilvosita isbotlash usuli deyiladi.

Yuqoridagi ta’rifdan ko’rinadiki, isbotlashning bilvosita usulida biz oldin teorema
tasdiqlagan fikrga qarama-qarshi fikrni to’g’ri deb faraz qilamiz: shundan keyin
aksiomalar va oldin isbotlangan teoremalarga asoslanib mulohazalar yuritish yo’li bilan
teorema shartiga zid keladigan yoki biror aksiomaga yoki ilgari isbotlangan biror
teoremaga zid keladigan xulosaga kelamiz. Shunga ko’ra farazimiz noto’g’ri bo’ladi.

 Matematik induksiya metodining mohiyati quyidagicha:
Agar tasdiqlash ketma-ketligi mavjud bo’lsa, birinchi tasdiq to’g’ri va har bir
to’g’ri tasdidan so’ng to’g’ri tasdiq mavjud bo’lsa, ketma-ketlikdagi barcha tasdiq
to’g’ri hisoblanadi.
23
4

Shunday qilib, matematik induksiya metodi yordamida isbotlash ikkita
teoremadan iborat.
1-teorema. n = 1 uchun tasdiq to’g’ri.
2-teorema. Ixtiyoriy n=k uchun tasdiq to’g’ri deb faraz qilinsa, u holda,
navbatdagi n=k+1 natural son uchun tasdiq to’g’ri deb hisoblanadi. Agar ikkala ushbu
teoremalar isbotlangan bo’lsa, matematik induksiya tamoyiliga asoslangan holda, tasdiq
ixtiyoriy n natural son uchun to’g’ri deb xulosa qilinadi.
Eslatma. Barcha natural sonlar uchun emas, balki n dan katta yoki teng m natural
sonlar uchun induksiya bo’yicha tasdiqni isbotlash zarur bo’ladi. Bunday holda
isbotlash quyidagicha bajariladi.
1-teorema. n = m da tasdiq to’g’ri.
2-teorema. n=k da tasdiq to’g’ri berilgan, k ≥ m. n = k +1 da tasdiq o’rinli
ekanligini isbotlash lozim.
III bob Matematikani o’qitishda o’quvchilarni matematik isbotlashga
o’rgatish metodikasi.
3.1. Matematik induksiya metodi asosida isbotlash.
Xususiy tasdiqdan umumiy tasdiqga o’tish induksiya deyiladi. Induksiya ham
to’g’ri, ham noto’g’ri natijaga olib kelishi mumkin. Induksiya metodi matematikada
keng qo’llaniladi, lekin undan to’g’ri foydalanish lozim.
Tasdiq: Quyidagi uch xonali sonlar: 140, 150, 250 5 ga bo’linadi.
Xulosa: 1) Barcha nol raqami bilan tugallanuvchi sonlar 5 ga bo’linadi
(to’g’ri), 2) barcha uch xonali sonlar 5 ga bo’linadi (noto’g’ri).
Matematik induksiya metodini misollarda ko’rib chiqamiz.
Berilgan. Kitob javonida kitoblar quidagicha joylashtirilgan: 1) eng chekka
qismida joylashgan kitob qizil muqovada. 2) Qizil muqovali kitobning o’ng tomonida
qizil muqovali kitob joylashgan.
Xulosa. Kitob javonida joylashgan barcha kitoblar qizil muqovada. ―Javonda
barcha kitoblar qizil muqovada xulosasi haqiqatdan ham to’g’ri hosoblanadi. Lekin,‖
24

agar eng chekkadagi kitob qizil muqovaliligi ma’lum bo’lsa, ―javondagi barcha
kitoblar qizil muqovali ― degan xulosa chiqarish uchun etarli darajada emas.
Qizil muqovali kitobning o’ng tomonida joylashgan kitob qizil muqovali degan
xulosa chiqarishga etarli emas (Chap ttomondagi birinchi kitob yashil muqovada ham
bo’lishi mumkin). Shuning uchun, xulosa to’g’ri bo’lishi uchun ikkala shrt ham
bajarilishi lozim. Matematika ensiklopediyasida quyidagi tushunchalar berilgan.
Matematik induksiya – matematik induksiya prinsipiga asoslangan matematik tasdiqni
isbotlovchi metod:
Agar A (1) isbotlangan bo’lsa, x natural parametrga bo’g’liq A(x) tasdiq
isbotlangan deb hisoblanadi va ixtiyoriy n natural son uchun A (n) to’g’ri deb faraz
qilinsa, n+1 uchun A (n+1) to’g’ri hisoblanadi.
A (1) tasdiqning isbotlanishi induksiyaning birinchi qadami hisoblanadi,
A(n) uchun farazdan A ( n+1 ) ning isbotlanishi induksiyali o’tish deyiladi. Bunda
induksiya parametri deyiladi, A(n+1) ni isbotlashda A(n) ni faraz qilish induktivli faraz
deyiladi.
Matematik induksiya metodining mohiyati quyidagicha:
Agar tasdiqlash ketma-ketligi mavjud bo’lsa, birinchi tasdiq to’g’ri va har bir
to’g’ri tasdidan so’ng to’g’ri tasdiq mavjud bo’lsa, ketma-ketlikdagi barcha tasdiq
to’g’ri hisoblanadi.
Shunday qilib, matematik induksiya metodi yordamida isbotlash ikkita
teoremadan iborat.
1-teorema. n = 1 uchun tasdiq to’g’ri.
2-teorema. Ixtiyoriy n=k uchun tasdiq to’g’ri deb faraz qilinsa, u holda, navbatdagi
n=k+1 natural son uchun tasdiq to’g’ri deb hisoblanadi. Agar ikkala ushbu
teoremalar isbotlangan bo’lsa, matematik induksiya tamoyiliga asoslangan holda,
tasdiq ixtiyoriy n natural son uchun to’g’ri deb xulosa qilinadi.
Eslatma. Barcha natural sonlar uchun emas, balki n dan katta yoki teng m natural
sonlar uchun induksiya bo’yicha tasdiqni isbotlash zarur bo’ladi. Bunday holda
isbotlash quyidagicha bajariladi.
25

1-teorema. n = m da tasdiq to’g’ri.
2-teorema. n=k da tasdiq to’g’ri berilgan, k ≥ m. n = k +1 da tasdiq o’rinli ekanligini
isbotlash lozim.
Tengliklarni isbotlash.

1.misol.
Tenglikni isbotlang:
, (1.1) n
Isboti. , orqali belgilaymiz. n
Birinchi. n = 1 da ga ega bo’lamiz.
Ikkinchi. n=k. tenglik bajariladi, deb faraz qilaylik;

. Quyidagi tenglikning o’rinli ekanligini (1.2)
k tenglik uchun n=k+1 uchun isbotlash
lozim:
, k +1

Haqiqatda; =
n
= =2cos
xirgi tenglik to’g’ri, chunki
0< < ikki bosqich isbotlandi. 1- va 2-
bosqichlardan (1.1) tenglikning ixtiyoriyn n natural son uchun bajarilishi kelib
chiqadi.

26
=2
=
= =2
= =
= =2
= = =

3.2. Pifagor teoremasining turli isbotlari
Geometriyaning fan siftida tarkib topishida Pifagor va maktabi kata hissa
qo’shgan. Quyidagi keltiriladigan teorima Pifagor nomi bilan yuritiladi. Uning
mazmuni quyidagicha;
Teorma: (Pifagor teorimasi.) To’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasining
kvadrati uning katetlarini kvadratining yig’indisiga teng.
Bu teorima to’g’ri burchakli uchburchakka oid bo’lib, uchburchak tomonlariga teng
kvadrat yuzalari orasidagi munosabatni ko’rsatadi, Pifagor bu teorimani nazariy
isbotini Pifagor keltirgan. Pifagor teorimasi bilan aniqlangan geometric
munosabatning xususiy hollalari Pifagor oldin ham turli xalqlarda ma’lum edi.
ammo teorimaning umumiy shakli Pifagor maktabiga nisbatan beriladi
.

Katetlari a va b, gipotenuzasi c bo’lgan to’g’ri burchakli ABC uchburchak berilgan
bo’lsin, u holda Pifagor teorimasi

Formula bilan ifodalanadi, bunda tomonlari, a, b, c
bo’lgan kvadratning yuzalariga teng.
27
= +

Shuning uchun bu tenglik tomoni gipotenuzaning uzunligiga teng kvadratning yuzi
tomonlari katetlari teng kvadratning yuzalari yig’indisiga teng ekanini ko’rsatadi.
Agar a,b va s butun musbat sonlar uchun + tenglik bajarilsa, bu
sonlar,Pifagor sonlari yoki ,Pifagor uchliklari deb ataladi. Agar to’g’ri burchakli
uchburchak katetlari va gipotenuzasi ning uzuliklari butun sonlar bilan ifodalansa,
bu sonlar uchligini hosil qiladi. Bunday uchlikka 3, 4 va 5 sonlari misol oladi.
Haqiqatdan + =. Tononlari 3, 4 va 5 ga teng bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchak
yasashdan Misrda yer ustida to’g’ri burchak yasash uchun foydalanilgan. Shuning
uchun bunday uchburchak ko’pincha ―misr uchburchagi deb ataladi. ‖
Pifagor teoremasi to’g’ri burchakli uchburchakning istalgan ikki tomoniga ko’ra
uchunchi tomonini topish imkonini beradi.
Pifagor teorimasining tatbig’iga misol tariqasida tomoni 1 birlikka teng bo’lgan
kvadratning diagonalini topamiz. Kvadratning diagonali har bir kateti 1 birlikdan
bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasidan iborat. Pifagor
teorimasiga asosan diagonalning kvadrati + = , bundan esa
diagonalning uzunligi ga teng bo’ladi.
Bu teoremaning ikkinchi tatbig’I sifatida uzunligi ga teng bo’lgan kesma
yasash usulini ko’rsatamiz, bunda n – ixtiyoriy natural son. Biror to’g’ri chiziqning
O nuqtasini olib, unda uzunligi 1 ga teng OA kesma ajratamiz, A nuqtadan bu
to’g’ri chiziqqa perpendikular o’tkazamiz va unda AB =1 kesma ajratamiz. B
nuqtani O nuqta bilan tutashtirib,BO= = kesmani hosil qilamiz.
B nuqtadan OB ga perpendikular o’tkazamiz va bu
perpendikularda BC=1 kesmani
ajratamiz. C va O nuqtalarni tutashtirib, CO=kesmani hosil
qilamiz va shunday yasashni davom ettirib va h.k.ga teng
kesmalarni hosil qilamiz.
kesmalar uzunlik birligi uchun qabul qilingan OA kesma
bilan umumiy o’lchovsiz ekanini qayd qilamiz, chunki ularning uzunliklari
irratsional sonlar bilan ifodalanadi.
28
, =
=2 , ,

Pifagor teoremasining ba’zi isbotlari
Isbot : Bizga ABC-To’g’ri burchakli uchburchak berilgan va
bo’lsin. U holda ekanligini isbotlaymiz.
Buning uchun burchak kosinusiga ko’ra = = . Bundan
AB*AD= (1.) kelib chiqadi. Endi burchak kosinusini ga
nisbatan qo’llaymiz va
kelib
3-Isbot: Vektor orqali.
Bizga Vektorlar berilgan bo’lsin va
vektorlarning uzunliklari
ravishda =a va =c. U holda
vektorlarni qo’sish qonuniga ko’ra, () =
tenglik o’rinli bo’ladi. Tenglikning har ikkala tomonini kvadratga
29

b,quyidagiga ega
bo‘lamiz. = = .
Bundan AB*BD= (2.)
chiqadi. Hosil bo’lgan (1) (2)
tengliklarni had -
had qo‘shib,
AB*AD+AB*BD. AB(AD+DB), AD+DB=AB ekanini hisobga
olsak,
ga ega bo‘lamiz. Teorema
isbotlandi.
mos

ko’tarib, =

+

i fagor teoremasining ba ’ zi natijalari .
Pifagor teoremasining natijalari ichidan ikkitasini ko ’ rib chiqamiz .
1- natija : To ’ g ’ ri burchakli uchburchakda katetlardan istalgani gipotenuzadan
kichikdir .
Isbot. - to’g’ri burchakli, unda bo’lsin. To’g’ri burchakli
uchburchakning istalgan kateti gipotenuzasidan kichik bo’lishini isbotlaymiz.
Haqiqatan ham, Pifagor teoremasiga ko’ra katetlar uchun:
Munosabatlar o’rinli. Bundan
.

2-natija: (gipotenuzasi va bitta katetiga ko’ra tenglik alomati) To’g’ri burchakli bir
uchburchakning gipotenuzasi va bir kateti ikkinchi to’g’ri burchakli uchb bir katetiga
teng bo’lsa, bu uchburchaklar teng bo’ladi. Ushbu rasmdan va
ekanidan kelib chiqadi. Shuning uchun b=
Shunday qilib, uchburchaklarning tengligini uchunchi alomatiga ko’ra, ABC va
uchburchaklar teng ekan.

30
+2 + =
= va = =
. Ga ko‘ra, =0 +0+ = Bundan esa
+ = tenglik kelib chiqadi.
= -
= va
va . Demak, va

bo‘ladi.

Xulosa
Umumiy o’rta ta’lim maktablarida o’quvchilarni matematik isbotlashga
o’rgatishda ulug’ allomalarimiz Al-Xorazmiy, Abu Rayhon Beruniy, Abu Ali ibn Sino,
Abu Nosir Farobiy, Mirzo Ulug’beklarning matematikaga qo’shgan hissalarini
o’rganish jarayonida ularni vatanparvarlik, milliy iftixor ruhida tarbiyalanadi.
Matematik isbotlardagi aniqlik, ravon fikr yuritish, geometrik shakllarni tasavvur qilish,
ulardagi qat’iy qonuniyatlar orqali o’quvchilarga estetik ta’lim-tarbiya beriladi,
matematikadan misollar va masalalarni yechish jarayonida tafakkurning ijodiy va
amaliy qirralari rivojlanadi.
Maktab o’quvchilarini matematik isbotlashga o’rgatish mavzusidan yana xulosa‖ ‖
qilib aytadigan bo’lsak, matematika, ASN, geometriya va alimpiadaga oid ko’pgina
misollarni, (tenglama, tengsizlik, har xil sonlarning umumiy yig’indisi,
ko’pburchakning ichki burchaklar yigi’ndisi vah. k) biz matematik induksiya prinsipini
qo’llab osongina hal qilishimiz mumkin ekanligini bundan tashqari bu isbotlashning
qanday paydo bo’lganligi yorqin dalili bo’lamiz. Bu kurs ishini yozib, mashhur
allomamiz Pifagor teorimasining turli isbotlaridan voqif bo’ldik va hatto uning
teorimasi orqali yuqorida takidlaganimizdek, hayotda ham keng miqyosda
foydalanishimizni guvohi bo’lishimiz mumkin. Yuqorida ko’rsatilgandek, Pifagor
teorimasini geometrik, vektorlarni qo’shish va birlik aylana orqali isbotlarini ketma
-ketlikda o’quvchilarga o’rgatilsa, o’quvchilarda bu teorima haqida yanada keng
tassavvur hosil bo’lishi mumkin ekan.

32

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati
1. A. Rahimqoriyev ―8-sinf geometriyasi TOSHKENT‖ « YANGIYO’ L
POLIGRAPH SERVICE » 2010
2. O’zbekiston Respublikasi ―Kadrlar tayyorlash milliy dasturi . T.: ― Sharq
‖ ‖
nashriyot -1997 y.
3. Abdurahmonov ―Matematik induksiya metodi Toshkent -2008 yil.
‖
4. O’zbekiston Respublikasi ―Ta’lim to’g’risidagi qonuni .
‖ T.: ―Sharq ‖
nashriyoti1997 yil.
5. A. Rahimqoriyev ―8-sinf geometriyasi TOSHKENT
‖ « YANGIYO’ L
POLIGRAPH SERVICE » 2010
Internet saytlari.
1. www.bilim.uz
2. www.google.uz www.tdpu.uz www.pedagog.uz

33

Maktabda o'quvchilarni matematik isbotlashga o'rgatish

Купить