Oshkormas funksiyalarni to'la aniqlash
![9I .2. Oshkormas funksiyaning mavjudligi.
1-teorema. Faraz qilaylik, F (x,y) funksiya (x0,y0) nuqtaning biror atrofi
U hk ((x0,y0))= {(x,y)∈ R 2:x0− h< x< x0+ h y0− k< y< y0+ k}
da
(h>0 ,k>0) berilgan bo’lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1)
F (x,y) funksiya U hk ((x0,y0)) da uzluksiz;
2) Har bir tayin
x∈(x0− h ,x0+h) da y o’zgaruvchining funksiyasi sifatida
o’suvchi;
3)
F (x0,y0)= 0 .
U holda
(x0,y0) nuqtaning shunday atrofi
U δε ((x0,y0))= {(x,y)∈ R2:x0− δ< x< x0+δ , y0− ε< y< y0+ ε}
topiladiki,
(0< δ<h , 0< ε<k) ,
a)
∀ x∈(x0− δ,x0+δ) da
F (x,y)= 0
tenglama yagona
y (y∈(y0− ε , y0+ε)) yechimga ega , ya ni ʼ F (x,y)= 0 tenglama
yordamida oshkormas
y= ϕ (x) funksiya aniqlanadi,
b)
ϕ (x0)= y0 bo’ladi
v)
y= ϕ (x) funksiya (x0− δ ,x0+δ) da uzluksiz bo’ladi.
◄
U hk ((x0,y0)) atrofga tegishli bo’lgan
(x0 ,y0− ε) (x0, y0+ε) (0< ε< k)
nuqtalarni olib,
[y0− ε , y0+ε] segmentda
ψ (y)= F (x0,y)](https://docx.uz/documents/96e16bcb-c4cc-45d7-b731-2c596930c347/page_9.png?v=1)
![10funksiyani q araymiz . Teoremaning 2)- shartiga k o’ ra ψ(y) o’ suvchi , 3)- shartiga k o’ ra
ψ (y0)= F (x0,y0)= 0
b o’ ladi . Bunda esa
ψ (y0− ε)= F (x0,y0− ε)<0
,
ψ (y0+ ε)= F (x0,y0+ ε)>0
bo’lishi kelib chiqadi.
Teoremaning 1)-shartiga ko’ra
F(x,y) funksiya U hk ((x0,y0)) da uzluksiz. Unda
uzluksiz funksiyaning xossasiga ko’ra,
x0 nuqtaning shunday (x0− δ , x0+δ) atrofi
(0< δ<h)
topiladiki, ∀ x∈(x0− δ ,x0+δ) da
F (x,y0− ε)<0,
F (x,y0+ε)>0
(3)
bo’ladi.
Endi
(x0,y0) nuqtaning
U δε((x0,y0))= {(x,y)∈ R2:x0− δ< x< x0+ δ , y0− ε< y< y0+ ε}
atrofi da
F (x,y)= 0
tenglama
y ni x ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlashini ko’rsatamiz.
Ixtiyoriy
x¿∈ (x0− δ , x0+δ) nuqtani olib, [y0− ε ,y0+ε] da ushbu
g(y)= F (x¿,y)
funksiyani qaraymiz. Ravshanki, bu funksiya
[y0− ε ,y0+ε] segmentda uzluksiz va
ayni paytda (3) munosabatga binoan
g(y0− ε)= F (x¿,y0− ε)<0 ,
g(y0+ε)= F (x¿,y0+ε)>0
bo’ladi. Unda Bolsano-Koshining teoremasiga ko’ra shunday
y¿∈[y0− ε ,y0+ε]](https://docx.uz/documents/96e16bcb-c4cc-45d7-b731-2c596930c347/page_10.png?v=1)
![11nuqta topiladiki, g(y¿)= F (x¿,y¿)= 0
bo’ladi.
Ayni paytda ,
g(y) funksiya [y0− ε ,y0+ε] da o’suvchi (qat iy o’suvchi) ʼ
bo’lganligi sababli
y shu oraliqqa bittadan ortiq nuqtada nolga aylanmaydi.
Shunday qilib, i xtiyoriy
x∈(x0− δ , x0+δ) uchun yagona y∈(y0− ε , y0+ε)
topiladiki,
F (x,y)= 0
bo’ladi. Bu esa
U δε((x0,y0)) da F (x,y)= 0 tenglama y ni x ning oshkormas
funksiyasi sifatida aniqlashni bildiradi:
y= ϕ (x) : F (x ,ϕ (x))= 0.
Aytaylik,
x= x0 bo’lsin. Unda teoremaning 3) shartiga ko’ra
F (x0,y0)= 0
bo’ladi. Binobarin, aniqlangan oshkormas funksiyaning
x0 nuqtadagi qiymati
ϕ (x0)= y0
bo’ladi.
Modomiki,
∀ x∈(x0− δ ,x0+δ) uchun ϕ (x) ga ko’ra unga mos keladigan
y∈(y0− ε , y0+ε)
bo’lar ekan, unda
|x− x0|<δ ⇒ |y− y0|= |ϕ (x)− ϕ (x0)|<ε
bo’ladi. Demak, oshkormas funksiya
x∘ nuqtada uzluksiz.
Oshkormas funksiyaning
∀ x¿∈(x0− δ ,x0+δ) nuqtada uzluksiz bo’lishini
ko’rsatish bu funksiyaning
x0 nuqtada uzluksiz bo’lishini ko’rsatish kabidir. Demak,
mavjudligi ko’rsatilgan oshkormas funksiya
(x0− δ ,x0+δ) da uzluksiz bo’ladi.►](https://docx.uz/documents/96e16bcb-c4cc-45d7-b731-2c596930c347/page_11.png?v=1)
![16=
F yx
'' (x,y)⋅Fx
'(x,y)− Fx2''(x,y)¿Fy
'(x,y)+[F y2''(x,y)¿F x
'(x,y)− Fxy
''(x,y)¿Fy
'(x,y)]y'
(Fy
'(x,y))
2 bo
’ladi. Bu ifodadagi
y' ning o’rniga
−
Fx
'(x,y)
Fy
'(x,y)
ni qo’yib, oshkormas funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uchun quyidagi
munosabatga (formulaga) kelamiz:
y''=
2F x
'⋅F y
'⋅F xy
''− F y
'2
⋅F x2''− F x
'2
¿F y2''
F y
'2
.
2-eslatma. Oshkormas funksiyaning yuqori tartibli hosilalarini quyidagicha ham
hisoblasa bo’ladi.
Yuqorida
F (x,y)= 0
ni dfferensiallab,
F x
'(x,y)+ F y
'(x,y)⋅y'= 0
bo’lishini topgan edik. Buni yana bir marta differensial - lab topamiz:
[F x
'(x,y)+ F y
'(x,y)⋅y'
]x
'
= (F x
'(x,y))x
'
+ y'⋅(F y
'(x,y))x
'
+F y
'(x,y)⋅y''= 0
Agar (6) munsabatlardan foydalansak , keyingi tenglik ushbu](https://docx.uz/documents/96e16bcb-c4cc-45d7-b731-2c596930c347/page_16.png?v=1)
![20 2- izoh. Argument x ning berilgan qiymatida oshkormas funksiya hosilasining
qiymatini topish uchun x ning berilgan qiymatida y funksiyaning qiymatini ham bilish
zarurligi keltirilgan misollardan kelib chiqadi.
Yuqori tartibli hosilalar
y = f(x) funksiya biror [a, b] kesmada differensiallanuvchi bo'lsin. f'(x) hosilaning
qiymatlari, umuman aytkanda, x ga bog'liq, ya'ni f'(x) hosila ham x ning funksiyasidan
iborat. Bu funksiyani differensiallab, f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deb
ataladigan hosilani topamiz.
Birinchi hosiladan olingan hosila ikkinchi tartibli hosila yoki boshlang'ich
funksiyaning ikkinchi hosilasi deyiladi va y" yoki f"(x) simvol bilan belgilanadi:
y" =(y')'= f(x).
Masalan, y = x 5
bo'lsa, u holda
y' = 5x 4
y"=(5x 4
)' = 20x³.
Ikkinchi hosilaning hosilasi uchinchi tartibli hosila yoki uchinchi hosila deyiladi va y"'
yoki f ''' (x) bilan belgilanadi.
Umuman f(x) funksiyaning n-tartibli hosilasi deb, uning (n-1)-tartibli hosilasining
(birinchi tartibli) hosilasiga aytiladi va y(") yoki f(n) (x) simvol bilan belgilanadi:
y(n) = (y(n-1))' = f(n) (x).
(Hosilaning tartibi daraja ko'rsatkichi deb tushunmasligi uchun qavs ichiga olinadi.)](https://docx.uz/documents/96e16bcb-c4cc-45d7-b731-2c596930c347/page_20.png?v=1)
Oshkormas funksiyalarni to'la aniqlash