Информация о документе

Цена 70000UZS
Размер 1.8MB
Покупки 0
Дата загрузки 25 Октябрь 2024
Расширение doc
Раздел Дипломные работы
Предмет Алгебра

Продавец

Кайрат Нурмаханов

Дата регистрации 24 Октябрь 2024

0 Продаж

Pútin sanlar kópliginde teńlemelerdi sheshiw

Купить
MAZMUN Í KIRISIW .................................................................................................. ...... 3 I–BAP. PÚTIN SANLAR KÓPLIGINDE SHESHILETUG�IN TEŃLEMELER HAQQÍNDA 1 -§. Teńleme . Teńlemeniń túbirleri .............................................................. 5 2- §. Bir belgisizi bar teńlemeler ................................................ ..................... 7 3- §. Eki belgisizi bar birinshi dárejeli teńlemeler ………………………….. 8 4- §. Úsh belgisizi bar ekinshi dárejeli teńlemelerdi sheshiwge tiyisli mısallar ……………………………………………………………….. 1 5 5- §. х 2 – Ау 2 = 1 túrindegi teńlemeniń sheshimlerin tabıw ……….. 1 9 6- §. Eki belgisizi bar dárejesi ekiden kóp teńlemeler …………………….. 2 9 II–BAP. PÚTIN SANLARDA TEŃLEMELERDI SHESHIWDIŃ USILLARI 1 -§. Kóbeytiwshilerge jiklew usılı ................................................................. 3 4 2 -§. Keri qaytarıw usılı ............................................................. ..................... 3 7 3 -§. Dara ja g0daydan ulıwma ja g0day g0a ótiw usılı ........................................... 4 3 4- §. Sınap kóriw usılı ..................................................................................... 46 5- §. Daralıq usılı ............................................................................................ 50 JUWMAQLAW ............................................................................................ 53 PAY D A L AN Í L G�AN ÁDEBIYATLAR.. . ..................................................... 54 KIRISIW Pitkeriw qánigelik jumısınıń mazmunı: Sanlar teoriyası júdá erte dáwirde shıqqan ilim. Onıń tiykarı ullı grek matematigi Evklidtiń ( b . e . sh . ІІІ – ІІ á ) miynetlerinde qalang0an. Sanlar teoriyasınıń tiykar g0ı obiekti sıpatında sanlardıń 1, 2, 3, ... natural qatarı , 0 sanı hám de teris sanlar -1, -2, -3, ... t.b sanlar jazıladı . Bul sanlardıń barlı g0ı pútin sanlar kópligin quraydı . Belgisizi birewden kóp bolatu g0ın pútin koefficientli algebralıq teńlemelerdi pútin sanlar kópliginde sheshiw sanlar teoriyasınıń qıyın máseleleriniń biri. Bunday esaplar menen burın g0ı zamannıń matematikleri , mısalı , grek matematigi Pifagor ( b . z . b . VІ á ) aleksandriyalıq matematik Diofant ( b . z . b . ІІ – ІІІ á ) hám biziń dáwirimizge jaqın ullı matematikler – P . Ferma (ХVII á ), L . Eyler (ХVIІІ á ), Lagranj (ХVIІІ á ) hám ta g0ı basqalar shu g0ıllan g0an . Diofant biziń zamanımızdıń 250 jıllarında Aleksandriyada ómir súrgen . Diofanttıń 13 kitaptan turatu g0ın “ Arifmetika ” dep atalatu g0ın kólemli miynetiniń bizge altawı g0ana jetken . Diofant arifmetikasınıń bayanlaw stiliniń áyyemgi grek matematikleriniń kanonlarınan sapalı túrde eki ózgesheligi bar . Ol teńlemelerdiń sheshiliwin geometriyadan tısqarı taza arifmetikalıq – algebralıq usıllar arqalı júrgizedi . Ekinshiden, Diofant ilim tarıyxında dáslep matematikalıq simvollar ( tańbalar ) tilin paydalandı . Diofanttıń arifmetikasında anıqlanba g0an teńlemelerge keltiriletu g0ın esaplardıń sheshiliwi beriledi, al qa g0ıydalar mısallar arqalı kórsetiledi . Teńlemelerdiń oń pútin hám bólshek sheshimlerin tabiw g0a itibar qaratıladı . Sheshimi teris san bolatu g0ınday teńlemeni ol mánisiz teńleme dep qarap pútinley qarastırılmaydı . Diofant irracional sanlardı qollanbaydı . Eger teńlemeniń koreni irracional bolıp kelse , esaptıń shártindegi berilgenlerdi tańlap otırıp , juwabı racional san g0a keletu g0ınday etip , esaptı qayta quradı. Diofanttıń matematika g0a qosqan tiykar g0ı jańalı g0ı – onıń anıqlanba g0an teńlemelerdi sheshiw usılların tabıwı . Ol 50 – den aslam hár túrli klaslar g0a jatatu g0ın shama menen 130 – dan anıqlanba g0an teńlemelerdiń sheshimin 2 kórsetedi . Anıqlanbag0an teńlemelerdi házir Diofant teńlemeleri dep te ataydı.Ol hár bir teńlemeniń tek bir g0ana sheshimin anıqlawmen sheklenedi . Onda anıqlanba g0an teńlemelerdi ulıwma sheshiw usılları joq . Shıqqan nátiyjeniń durıslı g0ı dálillenbeydi , tek esap shártin qanaatlandırıwı g0ana tikkeley tekseriledi . Diofant teńlemeleriniń ulıwma teoriyasın ХVII ásirdegi francuz matematigi Bashe De Mezarna (1589 – 1638) quradı . О l 1621 jılı Diofanttıń arifmetikasın grek hám latın tillerinde túsiniklemeler jazıp bastırıp shı g0aradı . Ekinshi dárejeli diofant teńlemeleriniń ulıwma teoriyasın jasaw jolında P . Ferma , J . Vallis , L . Eyler , J . Lagranj , К. Gauss sıyaqlı kórnekli matematikler kóp miynet etti . ХVII ósirdegi francuz ullı matematigi Ferma Diofanttıń arifmetikasın oqıp otırıp ayırım teńlemelerdi sheshiwdiń basqa jolların engizdi . Pitkeriw qánigelik jumısı teması aktuallı g�ı: Pútin sanlar kópliginde teńlemelerdi sheshiw tek g0ana eki belgisizli ekinshi dárejeli teńlemeler ushın g 0ana sheshilgen másele. Eki yamasa odan da kóp belgisizli ekinshi dárejeli teńlemelerdiń pútin sanlar kópliginde barlıq sheshimlerin tabıw júdá qıyın . Mektep programmasında pútin sanlar kópliginde teńlemelerdi sheshiwge kóp kóńil bólinbeydi . Biraq olimpiadalıq esaplarda bunday teńlemeler kóp ushırasadı . Pitkeriw qánigelik jumısınıń maqseti: Mektep matematika kursında oqıwshılardı pútin sanlar kópliginde sheshiletu g0ın teńlemeler menen tolıq tanıstırıw . Wazıypaları bolsa tómendegilerden ibarat: - Pútin sanlarda sheshiletu g0ın teńlemelerdi gruppalar g0a bóliw. - Hár gruppanıń teńlemeleri ushın sheshiw usılların úyretiw . - Teńlemelerdiı logikalıq qurastırıw mánisin ajırata biliw . Pitkeriw qánigelik jumısınıń obyekti mektepte matematika pánin tereńletip oqıtıw, predmeti bolsa, mektep matematika kursında pútin sanlarda teńlemelerdi sheshiw usılı Pitkeriw qánigelik jumısı kirisiw, eki bap, bólimler, juwmaq law hám paydalanıl g0an ádebiyatlar diziminen ibarat. 3 I–BAP. PÚTIN SANLAR KÓPLIGINDE SHESHILETUG�IN TEŃLEMELER HAQQÍNDA 1 -§. Teńleme . Teńlemeniń túbirleri Quramında hárip penen belgilegen belgisizi(ózgeriwshisi) bar teńlik teńleme dep ataladı. Mısalı : 5 х + 8 = 18; 6 х + 7 = -5; 3(x+7)=15 - teńlemeler , х - belgisiz. Bunday teńlemelerdi bir belgisizli yamasa bir ózgeriwshisi bar teńlemeler dep ataydı. Bul teńlemediń shep hám oń tárepleri bar. Mısal : 4 х +17 = 19 teńlemesindegi (4 х +17) – teńlemeniń shep tárepi, ал 19 oń tárepi. Teńlemedegi algebral ı q qos ı l ıwshıl ard ıń hár bir a g0zası onıń a g0zaları dep ataladı. Bunda g0ı 4 х – belgisizi bar a g0za , 1 7, 1 9 – bos a g0zalar . Teńleme menen berilgen mısallar menen esaplardı shı g0ar g0anda, onda g0ı hárip penen berilgen belgisizdiń yamasa aynımalınıń san mánisin tabamız. Demek, teńlemeniń túbirin tabamız. Belgisiz sannıń yamasa aynımalınıń teńlemeni tuwra sandı teńlikke aylandıratu g0ın mánisi teńlemeniń túbiri dep ataladı. Te ń lemeni ń sheshimi degenimiz – onin túbir lerin tab ı w yamasa túbir lerini ń joq ekenligin d álillew . Te ń lemeni sheshkende, túbir leri birdey bolat u g0ın te ń lemelerdi mánisles te ń lemeler dep atayd ı . M ı sal , 2 х = 10 te ń lemeni 3 х = 15 h á m 3 х –х = 2,5 ∙ 4 te ń lemeleri mánisles te ń lemelerdi ń , túbir leri birdey х = 5 . Esapqa alatu g 0ı n prosses , ge yde te ń lemelerdi ń túbir i bolmayd ı . Túbir leri bolmayt u g0ın te ń lemeler s á ykes te ń lemeler bol ı p tab ı lad ı . Te ń leme – h á ri b i bar te ń lik bol g 0 anl ı qtan, te ń lemeni ń q á siyetlerine tiykarlan ı p d á l i llew. Te ń lemenin 1 – qasiyeti. Тe ń lemenin eki ja g 0ı nan da birdey san lı yamasa h á rip l i a ń latpan ı qosqanda (azaytqanda) te ń leme uqsas te ń lemege s á wl e lenedi. Mı sal : x + 23 =40 4 x + 23 – 23 = 40 -23 x = 40 -23 x = 17 – te ń lemeni ń túbir i. M ı sallarda te ń lemelerdi ń bul q á siyetin qollan ı w n á tiyjesinde 23 san ı t e ń lemeni ń shep t á repinen qarama – qars ı belgi menen о ń t á repine a lmastırı lad ı. Onda te ń lemelerdi ń 1–q á siyeti boy ı nsha : t e ń lemedegi qos ılıwshınıń belgisin qarama–qars ıg0 a a lma st ı r ı p, on ı te ń lemeni ń bir t á repinen еkinshі t á repine a lma st ı r g 0 anda t е ń leme s á ykes te ń lemege s á wlelenedi. Те ń lemege bunday t ú rlendiriw еngizgen ХI á sirdegi Оrta Аziya al ı m ı Мuxammed pen en Мusa аl Хоrezimiy. “Алгебра” аtaw ı оn ıń “Китаб аль - джебрд валь - мукабала” аt lı sh ı g0 armas ı nan al ı n g 0 an. Те ń lemeni ń 2–q á siyetі. Тe ń lemeni ń еki t á repin de nolden ó zge she birdey san g 0 a k ó beytkende yamasa b ó lgende t е ń leme s á ykes te ń lemege s á wlelenedi Mı sal : 8 х = 56 q ı sqasha : 8 х = 56 8 х : 8 = 56 : 8 х = 56 : 8 х = 7 х = 7. Тe ń lemeni ń us ı q á siyetlerinen paydalan ı p, te ń lemeni ń eki t á repin de belgisizdi ń (ayn ı mal ı ) ko ef fi c entlerine b ó lip , belgisizdi ń san m á ni si n, ya g 0nıy te ń lemeni ń túbir in tabam ı z. Mı sal : 4 х + 3 = х + 9 , 1 – q á siyeti boy ı nsha : 4х – х = 9 – 3. 3 х = 6, 2 – q á siyeti boy ı nsha: х = 2. 2 san ı – berilgen te ń lemeni ń túbir i. Те ń lemeni ń sheshimini ń dur ı s lı g0ı n tekserey i k: 4 ∙ 2 + 3 = 2 + 9, 8 + 3=11. Те ń lemeni ń túbir i te ń lemenі durıs sanl ı t e ń likke aynald ı rad ı . 5 Еki h á m odan da k ó p ó zgeriwshi t е ń lemelerdi аn ı qlanba g0 an t e ń lemeler dep atayd ı . Аn ı qlanba g 0 an t е ń lemelerdi ń sheshimi dep us ı te ń lemeni qanaatland ı ratu g 0ı n ó zgeriwshiler m á nislerini ń barl ı q k ó pligin aytad ı . 2- §. Bir belgisizi bar teńlemeler Bir belgisizi bar birinshi d á rejeli te ń lemelerdi qaray ı q: а 1 х + а 0 = 0 (1) Те ń lemeni ń а 0 , а 1 ko ef fi c entleri p ú tin sanlar bols ı n . Bul te ń lemeni ń sheshimi х = p ú tin san bolad ı , eger de а 0 san ı а 1 san ı na qald ı qs ız b ó linse. Us ı dan sh ı g0 at ı n j u wmaq, (1) te ń lemeni p ú tin sanlar k ó pliginde sheshiw barl ı q waq ı tta or ı nl ı emes. M ı sal ush ı n 3 х – 27 = 0 h á m 5 х + 21 = 0 t е ń lemelerin q ı sqartay ı q. Birinshi te ń lemeni ń sheshimi х = 9, al ekinshi te ń lemeni ń p ú tin sanlar k ó pliginde sheshimi joq. Bunday ja g 0 dayda ekinshi d á rejeli te ń lemelerdi sh ı g0 ar g 0 anda ush ı rasam ı z: х 2 + х – 2 = 0 te ń lemeni ń х 1 = 1, х 2 = -2 p ú tin sheshimleri bar; al х 2 – 4х + 2 = 0 t e ń lemeni ń p ú tin sanlar k ó pliginde sheshimi joq, sebebі o n ıń sheshimi х 1, 2 = iro ci anal san. a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 = 0 (n ≥ 0) (2) t e ń lemedegi p ú tin koefficienti n – shi d á rejeli te ń lemeler a ń sat sheshiledi. Ras ı nda da , х = а te ń lemeni ń p ú tin túbir i bolsin . Sonda a n a n + a n-1 a n-1 + … + a 1 a + a 0 = 0 , a 0 = - а (a n a n-1 + a n-1 a n-2 + … + a 1 ). Keyingi te ń likten a 0 san ı n ı n а san ı na qald ı qs ı z b ó linetu g 0ı n ı k ó rinip tur, bu nn an (2) t e ń lemeni ń há rbir p ú tinni ń túbir i , teńlemeniń bos a g 0 zas ı n ıń b ólegi bolatu g0na isenemiz. ɩ М ɩ sal : х 10 + х 7 + 2х 3 + 2 = 0 h ȃ m х 6 - х 5 + 3х 4 + х 2 – х + 3 = 0 6 Т e nklemelerdi qaray q. Birinshi te nklemeni nk bos a g0zas n nk bólshekleri 1, -1, ,2 ɩ ɩ ɩ h á m -2. Us n nk ishinde tek ɩ ɩ g 0 ana -1 te nklemeni nk sheshimi bolad . Те nklemeni nk ɩ jal g0z ɩ х = -1 sheshimi bar. Us ı usıl menen ekinshi te nklemeni nk p ú tin sanlar j y nd s na sheshimi joq ekenin a nklat w g0a bolad . ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ 3-§. Eki belgisizi bar birinshi dárejeli teńlemeler Eki belg isizi bar b o l g 0 an birinshi dárejeli teńlemeni alaylıq. ax + by + c = 0 (1) Мunda а, b nólden par ql p ɩ ɩ ú t n sanlar, al с – kez – ɩ kelgen p ú tin san . Аl а, b k o e ffi c ent l erin i n k birden basqa ul wma bólimi ɩ joq dep t ú sineyik. Sh n ɩ ında da, us ɩ k o e ffi c ent l erd i n k е nk ú lkeni ul wma bólimi nólden par ql ɩ ɩ ɩ d = (a, b) desek, a = a 1 d , b = b 1 d t e nklemeler or nl bolad . Sonda (1) te nkleme ɩ ɩ ɩ tómendegishe kóriniste bolad : ɩ (a 1 x + b 1 y) d = 0. (2) с san ɩ d san na bólinse g0ana , us te nklemeni nk p ɩ ɩ ú tin sheshimleri bolad . Us ɩ ɩ ja g0dayda d = (a, b) ≠ 1; (2) te nklemeni d san na bólsek, us te nklemeni alam z: ɩ ɩ ɩ a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 c 1 = , us ı jerde a 1 h á m b 1 óz ara á piwa yı sanlar. Е nk birinshi с = 0 bol g0anda g0 kórinisin qaray q. ɩ ɩ O nda (1) t e nkleme us kóriniske ɩ keledi: ax + by = 0 (1' ) Us te nklemeden ɩ х belgisizin tabay q: ɩ х = , х p ú tin m á nisin qab llayd , sonda tek ɩ ɩ g 0 ana, еger у а san na qald qs z bólinse. Al us belgisiz ɩ ɩ ɩ ɩ d i nk p ú tin a nklatpas n us kóriniste jaz w g0a bolad : ɩ ɩ ɩ ɩ у = аt, us da g0 ɩ ɩ t – kez-kelgen p ú tin san (t = 0, 1, 2, … ) у a nklatpas (1') ɩ t e nklemesine qoysaq, bunda х = , biz (1 ' ) te nklemeni ń barl q p ɩ ú tin sheshimlerin quraytu g0n formɩ u la alam z: ɩ 7 х = - bt, y = at (t = 0, 1, 2, … ) Endі с ≠ 0 sh qqan sheshimdi qaraɩ y m z. ɩ (1) t e nklemen nk barl q p ɩ ɩ ú tin sheshimlerin tab w ush ɩ ı n, us n nk tek bir g0ana ɩ ɩ p ú tin a nklatpas n tab w jeterl ɩ ɩ i , so nday – aq a 0 x + b 0 y + c = 0 t e nklemesi ush n ɩ х 0, у 0 p ú tin sanlar n tab w kerek ɩ ɩ . Теorema - 1 a h á m b ózara á piway ı sanlar h á m [ x 0 , y 0 ] ax + by + c = 0 ań latpas bols n: ɩ ɩ x = x 0 – bt, y = y 0 + at (3) t = 0, 1, 2, … bol g 0an da g0 te nklemen nk barl q sheshimlerin a nklatad . ɩ ɩ ɩ ɩ D á l i llew . [ x, y ] - (1) te nklemen nk kez ɩ – kelgen sheshimi bo l s ı n . Sonda ax + by + c = 0 h á m ax 0 + by 0 + c = 0 te nklemesinen sh g0ad ɩ ɩ : ax - ax 0 + by - b 0 = 0, y – y 0 = , us da g0 ɩ ɩ у – у 0 p ú tin sanlar h á m a, b ózara á piway sanlar bol g0anl qtan, ɩ ɩ х 0 –х b san na p ɩ ú tkilley bólin iwi kerek. Sonda х 0 –х us kóriniske keledi ɩ : х – х 0 = bt, bunda g0 ɩ t p ú tin san, х 0 –х a nklatpas n ald n g0 te nklikke apar p qo ɩ ɩ ɩ ɩ y saq: y – y 0 = . Sonda x = x 0 – bt, y = y 0 + at form u lalar n alam z ɩ ɩ . М sal: ɩ 127х – 52у + 1 te nklemesi berilgen. Us te nklemeni sheshiw ush n belgisiz a g0zalard nk ko ɩ ɩ ɩ e ffi c entlerini nk qat nas n ɩ ɩ alay q. E nk ald ɩ ɩ men en 52 127 nadurıs bólshekti nk p ú tin bólegin aj ı rat ı p alay ı q: = Аl dur s bólshegi us kóriniske te nk ɩ ɩ bólshegi men en almas t r p, ɩ ɩ us prossesti ɩ ú zliksiz dawam etsek, tómendegidey kóriniske iye bolam z: ɩ 8 51 1 1 3 1 2 1 2 52127  Us bólshek ɩ d izbeginen bólshegin al p tas ɩ l ay q, taza ɩ á piway ı bólshek alam z: ɩ Sh qqan bólshekti ald n g0 ɩ ɩ ɩ bólshegin q sqartam z: ɩ ɩ - = Te nklikt nk eki t ɩ á repinde 52∙9 san na kóbeytsek, ɩ 127х – 52у + 1 = 0 Te nklemesine s áy kes 127∙9 – 52∙22 + 1 = 0 Te ń ligin alam z. ɩ Us dan ɩ х = 9, у = 22 te nklemesin i n k p ú tin sheshimi bolad ı h á m teorema g0a s á ykes barl q sheshimleri tómendegi ɩ she boladı : х = 9 + 52t, у = 22 + 127 t , t = 0, 1, 2, …. Bunıń nátiyjesinde biz sonday juwmaqqa keldik: Ul wmalast r g0anda ɩ ɩ ax + by + c = 0 teńlemeniń sheshimlerin tabıw ushın, belgisiz a g0zalard nk koefficientlerini nk qatnasın alay q ɩ ɩ . Aqır g0ı bólimlerin shı g0arıp taslan g0annan so nk, tap joqarıda kórsetilgen sıyaqlı etiń. Bul shamanı tastıyıqlaw ushın sheklengen shınjırdıń birpara qásiyetleri kerek boladı. Q sqarmayt n ɩ ɩ bólimin q sqartay q , bunda g0 ɩ ɩ ɩ а san n ɩ b san na ɩ bólgendegi b ó lindi q 1 dep , qald q a g0zas n ɩ ɩ r 2 dep belgileyik, sonda 9 а = q 1 b + r 2 , r 2 < b. Еndi, ar qaray, ɩ b san n ɩ r 2 qald g0na bólgendegi bólindi ɩ ɩ q 2 dep, аlam z, ɩ sonda b = q 2 r 2 + r 3 , r 3 < r 2 . Tap us lay jaylast rsaq: ɩ ɩ r 2 = q 3 r 3 + r 4 , r 4 < r 3 r 3 = q 4 r 4 + r 5 , r 5 < r 4 ......................................... Bul process E vklid algoritmı dep ataladı, q 1 , q 2 , ... ólshemleri tol q emes ɩ tiy indiler h á m r 2 , r 3 qald qlar menen te nksizliklerdi qanaatland rad : ɩ ɩ ɩ ɩ b > r 2 > r 3 > r 4 > … > 0 (4) Us lay teris emes kem ɩ eyiwshi sanlar izbe - izligi qur llad , аl ɩ ɩ r n (4) shi qatarda g0 еnk aq r g0 nólden ózge qald q bol n,bunda ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ r n+1 = 0 h á m a, b sanlar ɩ ush n Evkli ɩ d a lg o ritimi tómendegi kóriniske keledi : а = q 1 b + r 2 b = q 2 r 2 + r 3 r 2 = q 3 r 3 + r 4 ........................ (5) r n-2 = q n-1 r n-1 + r n r n-1 = q n r n . Bul teńliklerdi tómendegishe jazamız.: 10 Birinshi qatardag0 ɩ 2r b bólshegin so g0an te nk ekinshi qatarda so g0an te nk ekinshi qatarda g0 anklatpas men almast rsaq, аl ɩ ɩ ɩ bólshegin ú shinshi qatarda g0 anklatpas ɩ ɩ men en almast r ɩ ıp h á m tap us lay dawam etsek, bunda ɩ bólshegin nk kelesi ɩ bólshek qatar n jiklewin alam z: ɩ ɩ Tuwrı sızıqlar izbe-izliginiń barlıq bólimlerin alıp taslaw nátiyjesinde payda bolatu g0ın ańlatpanı s á y kes bólshek dep ataymız. Birinshi s áykes bólshek bólsheginen baslap barl q a g0zalar n al p sh g0ad : ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ Еkinshi s á ykes bólshek bólsheginen baslap barl q a g0zalar n al p ɩ ɩ ɩ tasla g0anda sh g0ad : ɩ ɩ Tap us lay etip ɩ H á m t. b . d a wam ete beredi . S á ykes bólsheklerd nk kelip sh g0w na baylan sl ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ kelesi te nklemeler or nlanad ɩ ɩ : 1 < 3  < … < 12 k  < , 2  > > … > > S á ykes k  bólshegin us kóriniste jazsaq ɩ : 11 (1 ≤ к ≤ n), S á ykes bólshektnk al m men bólimini nk sheshiliwi us l n tabam z . ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ So nn an so nk , h m ȃ bólsheklerin s á wlelendireyik : = ; P 1 = q 1 , Q 1 = 1; = ; Induksiya usılın paydalansaq , barl q ɩ k ≥3 ush ı n tómendegi te nklemeni nk or nl ekenin d ɩ ɩ á l i lleymiz : P k = P k-1 q k + P k-1 , Q k = Q k-1 q k + Q k-2 (6) Ras nda, (6) te nk ɩ l ik bazı bir k ≥3 ush ı n g0ana or nl bols n. S ɩ ɩ ɩ á ykes bólshekt nkɩ an qlamas na tiykarlan p , ɩ ɩ ɩ k  a nklatpas nda g0 q ɩ ɩ k ólshemin ólshemi men en аlmast rsaq, ɩ s á ykes belgi s á ykes bólshegine aw sad . ɩ ɩ In duksiya usılın qollanay q: ɩ . = us ı lay ekeni belgili bol g0anda , P k+1 = P k q k+1 + P k-1 , Q k+1 = Q k q k+1 + Q k-1 Us ı usılı menen (6) te nklikt i n k k +1 ush n or nl ekenin ɩ ɩ ɩ bildik .Us s yaql ɩ ɩ ɩ h á mme k ≥3 ush ı nd a or nl . ɩ ɩ Еn d i qońsılas 2 s áy kes bólshekt nk ay rmas tómendegi qatnast ɩ ɩ ɩ ɩ qanaatland rat n n kórseteyik: ɩ ɩ ɩ k  - = (к>1) (7) 12 Ras nda, ɩ k  - = - = (6) form u las nan paydalan ɩ ɩ p , bólshekt i n k al m n t ɩ ɩ ú rlendiremiz: = . Аl n g0an shamada g0 us nday t ɩ ɩ ɩ ú rlendiriwdi qayta isletsek, kelesi te nklik d izbegin alam z: ɩ = = = ... = = Us dan so nk ɩ k - = = Eken i n d á l i l l ep bólshegin bólshek d izbegine jiklegende n a g 0 zas bolsa onda ɩ n –shi k  bólshegi men en s á ykes keledi. (7) te nklikti qollan p, ɩ k = n dep jazam z: ɩ - = (8) - Еndi ax + by + c = 0 te nklemesini nk sheshimine kelemiz, (a, b) = 1 . (8) qat nast us kóriniste jazam z: ɩ ɩ ɩ ɩ - = Те nklikti nk 2 t á repin de shamas kóremiz: ɩ aQ n-1 – bP n-1 = (-1) n aQ n-1 + b(-P n-1 ) + (-1) n = 0 Sh qqan te nklikti ɩ (-1) n-1 с с – san na kóbeytemiz ɩ : a [ (-1) n-1 Q n-1 ] + b [ (-1) n c P n-1 ] + c = 0 13 us dan kelip ɩ x 0 = (-1) n c Q n-1 , y 0 = (-1) n c P n-1 (9) t e nklemen i n k sheshimleri bolad h ɩ á m teorema g0a s á ykes barl q sheshimleri ɩ tómendegishe jaz lad : ɩ ɩ x = (-1) n c Q n-1 - bt, y = (-1) n c P n-1 + at , bunda g0 ɩ t = 0, 1, 2, …. Sh qqan n ɩ á tiyje barl q 2 belgisizi bar birinshi d ɩ á rejeli te nklemeni nk barl q ɩ p ú tin sheshimlerin tab w t ɩ u wral s ɩ oraw lard nk sheshimin taw p beredi. ɩ ɩ 4-§. Úsh belgisizi bar ekinshi dárejeli teńlemelerdi sheshiwge tiyisli mısallar M sal ɩ : x 2 + y 2 = z 2 (1) t e nklemesi berilsin . Bul mısald n k geometriyal q sheshimi katet ɩ ɩ l eri х , у gip o ten u zas ɩ z p ú tin san l ar bolat n barl q ɩ ɩ tuwrı múyeshli úshmúyeshliklerdi tab ı w . Us ı da g0 ɩ х, у sanlard nk enk ɩ ú lken ulıwma bólimin d dep belgileyik: d = ( х, у ), sonda x = x 1 d, y = y 1 d j á ne (1) te nkl ik tómendegi t ú rge k e l edi : x 1 2 d 2 + y 1 2 d 2 = z 2 Bul te nklemeden z 2 san n nk ɩ ɩ d 2 san na bólinetini kórinip tur , ya ɩ g 0nıy z = z 1 d . x 1 2 d 2 + y 1 2 d 2 = z 1 2 d 2 Te nklikti nk е ki t á repin de d 2 san na bólip tas ɩ l asaq , x 1 2 + y 1 2 = z 1 2 te nklemesin alam z . Biz ɩ i n k aq r g0 ɩ ɩ t e nklememiz d á slepki te nklemege tuwr ı keledi, b i raq х 1 h á m у 1 sanlard nk birden basqa ul wma bóliwshisi joq. Son nk ushin (1) ɩ ɩ ɩ te nklemeni sheshkende x , y óz ara á piwayi sanlar degen sheshim men en shek leniw ge bolad . Sonda ( ɩ х, у ) = 1 bols n, demek, ɩ х yamasa у a nklatpalar n nk ɩ ɩ d m bolma g0anda birewin taq de ɩ sek bolad ı . Те nklemeni nk o nk t á repin y 2 belgisine ótkereyik: x 2 = z 2 - y 2 , x 2 = ( z+у )( z–у ), (2) 14 d 1 = ( z+у, z -у ) bols ɩ n , sonda z+у = а d 1 , z–у = bd 1 , (3) bundag0 ɩ a , b - ózara á piwayi sanlar . Аl (3) te nklemeni nk a nklatpalar n (2) – ɩ t e nklemege qoysaq: x 2 = a b d 1 2 , a , b san l ar n nk ul ɩ ɩ ı wma bólimi bolma g0an ı ush ı n, us ı te ń lik a , b t ol ı q k v adrat bol g0anda g0ana or nlanad . ɩ ɩ Son nk ush ɩ ı n biz a = u 2 , b = v 2 dep belgileymiz . Bunda x 2 = u 2 v 2 d 1 2 hám x = u v d 1 (4) Endi (3) t е n klikten y h á m z m á nislerin tabay q ɩ : 2z = ad 1 + bd 1 = u 2 d 1 + v 2 d 1 , (5) 2y = ad 1 - bd 1 = u 2 d 1 - v 2 d 1 , (6) х t aq bol g0anl qtan ɩ u , v h á m d 1 sanlar n da taq dep alay q. ɩ ɩ d 1 = 1 bolad , ɩ sebebі: x = u v d 1 h á m t e nkliklerin х h á m y sanlar n nk ul wma ɩ ɩ ɩ bólimi d 1 ≠ 1 desek, bunda olard nk ɩ á piwayi san ekenine qars kelemiz. ɩ Bunda g0 ɩ u h á m v óz ara á piway ɩ a h á m b sanlar ı men en baylan sl , ɩ ɩ sol ush ı n u h á m v óz ara á piway sanlar h ɩ á m (3) t е nklikten b < a ekenligi sheshim tabad , ɩ demek, v < u . Sonda 4 – 6 te nklik l erine d 1 = 1 a nklatpas n qoysaq, tómendegi ɩ fo r m u lan alam z: ɩ ɩ x = u v, , , (7) Bunda g0 ɩ u h á m v óz ara taq sanlar h á m v < u (7) form u lada g0 dɩ á slepki u , v a nkla tp alar kóbinese kóp ush rasat n tómendegi te nkliklerdi qurayd : ɩ ɩ ɩ ɩ 3 2 + 4 2 = 5 2 ( v =1 , u = 3 ), 5 2 + 12 2 = 13 2 ( v =1 , u = 5 ), 15 2 + 8 2 = 17 2 ( v =3 , u = 5 ). (7) formula (1) t е nklemeni nk x , y , z sanlar n nk ul wma bóliwshisi bolma g0anl g0 ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ sheshimlerin beredi. Аl (1) t е nklemeni nk q á legen sheshimleri (7) form u lan ı 15 qurayt n sheshimlerdi ɩ qálegen ulıwma kóbe ytiwshi d san na kóbeytkennen ɩ sh g0ad . ɩ ɩ M sal ɩ : x 2 + 2y 2 = z 2 (8) bul teńleme n iń barlıq sheshimlerin tabamız. x , y , z (8) teńlemeniń sheshimleri bol p , birden basqa ul ɩ ɩ w ma bólimi bolmasa, olar ekewi á piwayi sanlar bolad . Ras nda, еger ɩ ɩ х h á m y á piway ɩ р san na bólinse, ɩ р > 2 , оnda Тe nkligini nk s hep bólegi p ú tin san h á m z р san na bólinetu g0n sh g0ad . Аl ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ х h á m z yamasa y h á m z р san na bólinse de so ɩ nday bolad ɩ . x , y , z с sanlard nk ul wma bóliwshisi 1 ge b ɩ ɩ o l ı w ush n, ɩ х t aq san bol w ɩ ɩ kerek. Ras nda, ɩ х jup bolsa, onda (8) te nklemeni shep t ɩ á repi jup san bolad h ɩ á m z san da jup bolad . B ɩ ɩ ı raq x 2 h á m z 2 4 – ke bólinedi. Demе k , 2y 2 san da 4 – ke bóliniwi ɩ kerek , basqasha aytqanda, у san na jup ɩ bol w ɩ ɩ shárt . Sonıń menen, х taq bol g0an l qtan, ɩ z san da taq bol w ɩ ɩ ɩ kerek . Аl x 2 t е nklemeni nk o nk t á repine ótse 2y 2 = z 2 - x 2 = ( z+x )( z–x ), Те nkligin alam z. B raq ( ɩ ɩ z+x ) h á m ( z–x ) sanlar n nk e nk ɩ ɩ ú lken ul wma bóliwshisi ɩ d bols n. S ɩ ond а z+x = k d , z–x = ld , bunda g0ɩ k , l - p ú tin sanlar . Е k і te nklikti qossaq h á m a l saq tómendegi te nklikler kelip sh g0ad : ɩ ɩ 2 z = d ( к+l ), 2x = d ( к-l ), х h á m z t аq h á m óz ara á piway sanlar, son ɩ l qtan ɩ 2х h á m 2z san l ar n nk enk ɩ ɩ ú lken ul wma b ɩ ó liwshisi 2 bolad , y ɩ a g0nıy d = 2 . Us ɩ men en , yamasa taq bolad .Son nk ush n ɩ ɩ ɩ z+x h á m óz ara á piway , yamasa ɩ h á m z–x óz ara á piway sanlar. ɩ Birinshi ja g0dayda, ɩ te nkliginen z+x = n 2 , z–x = 2m 2 еkenligi sh g0ad . ɩ ɩ 16 Еkinshi jag0dayda, t e nkliginen z+x =2m 2 , z–x = n 2 sh g0ad , bunda ɩ ɩ m h á m n p ú tin sanlar, m - t aq sanlar h á m n > 0 , m > 0 . Аl х ań latpas n tabam z: ɩ ɩ , yamasa . Е k і form u lan biriktirip, ɩ x , y , z sheshimlerin tómendegishe jaz w g0a bolad : ɩ ɩ B unda g0 ɩ m - taq san, x , z - p ú tin sanlar bol w ush ɩ ɩ ı n, n jup bol w kerek. ɩ ɩ n = 2b , m = a desek, (8) t е nklemeni nk barl q sheshimlerin beretin aq r g0 formulan ɩ ɩ ɩ ɩ alam z: ɩ x = ± ( a 2 – 2b 2 ), у = 2ab , z 2 = a 2 + 2b 2 , ( 8' ) bunda g0 ɩ a , b óz ara á piway o nk san h ɩ á m а t aq san, Sonıń menen birge a , b m á nisleri х o nk bolat n nday saylan p al nad . (8') form ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ u las (8) ɩ t e nklemesini nk x , y , z ú shewide óz ara á piwayi о nk sanlar bolat nl ɩ ɩ g 0ı barl q sheshimlerin a nklatad . ɩ ɩ 5-§. х 2 – Ау 2 = 1 túrindegi teńlemeniń barlıq sheshimlerin tabıw х 2 – Ау 2 = 1 eki belgisizi bar ekinshi dárejeli teńleme, b unda А qálegen tol q kvadrat еmes p ɩ ú tin o nk san. Us ı da te nklemelerdi nk sheshiliwi jol n tol q ɩ ɩ t ab w ɩ ushin, аld ɩ men en kórin i sindegi ir racional sanlard nk ɩ ú zl i ksiz bólsheklerge jiklewde qaray q. Еvklid ɩ a lg o ritimi boy nsha ɩ qálegen ra ci onal sand sheklewli ɩ qatarlar t ú rinde jaz w g0a, al ir ɩ rac ional sand sheklewsiz dizbek t ɩ ú rinde jaz w g0a ɩ boladı . М sal ush ɩ ı n san n ɩ ú zliksiz b ó lshek t ú rinde jazay q. Оl ush ɩ ı n tó mendegidey tártipte – te nk t ú rlendiri w in paydalana m z: ɩ ( - 1)( + 1) = 1, - 1 = , 17 - 1 = . B ó lshek bólimi n degi - 1 ay rmannk a nklatpas us g0an te nk ɩ ɩ ɩ ɩ shamas ɩ men en almast ram z da, ɩ ɩ k еyin: - 1 = , = Ta g0 bir mɩ á rte almast r w jasasaq, ɩ ɩ tómendegi bólshek tizbegin alam z . ɩ = Bul process t i dawam ettirip, biz úzliksiz tiyin dilerdi payda etemiz: = (1) te nkligine negizlenip, joqarıda kórsetilgen tiyin dilerdi bólimlerge ajıratıw usılı hár qanday irra c ional ushın isletilm e ydi, sebebi ol tolıq A = m2 + 1 kórinisinde berilgen bolsa d a isletiliwi múmkin, bul jerde m - birpara pútkil sanlar hám m ≠ 0. Keli ń , (1) ushın kerekli bólimler kompleksin dúzemiz, ya g0nıy δ1, δ2, δ3... δ 1 = 1, δ 1 < . δ 2 = , δ 2 > , (2) δ 3 = , δ 3 < δ 4 = … = , δ 4 > . B ólimlerdi jaratıw usılı ,δ 1 < δ 3 < … < 18 δ 2 > δ 4 > … > t еnksizlikti sh g0arad ɩ ɩ . Ulıwma al g0anda, hár qanday - irra ci onal α1 sanın sheksiz bólshekler shınjırına ajıratıw kerek. Onda tómendegi teńlik sáykes keledi: δ 1 < δ 3 < … < δ 2k+1 < … < α < …< δ 2k < …< δ 4 < δ 2 (3) δ k s á ykes bólshegin Kórinisinde jazay q. ɩ Aldın g0ı temada (1. 3 - 6 ) sanlı bóleksheler ushın isletilingen koefficient: P k = P k-1 q k + P k-2 , Q k = Q k-1 q k + Q k-2 Bólshek dizbekleri ushin jasalad ı . k  - = (4) (4) qat nas ɩ ı = Endi bul t e n ksizliklerdi nk orn na ɩ 0 < < (5) Ras nda, bul te nklemeni nk s ɩ hep t á repi (3) t е nksizlikke s ú yensek, tez s hı g 0ad : ɩ . (5) teńsizliktiń unamlı bólegin tastıyıqlaw qıyın emes: , Te nkligin δ k lay ql ɩ ɩ ı bólshegin bólshegi men en alnast ı ray q: ɩ - α < 19 Bul teńsizlikti Q 2 k ge kó beytsek , biz k ú tgen nátiyjege erisemiz: < . x 2 - 2y 2 = (х - у)( х + у), x = P 2k h á m y = Q 2k dep tusineyik, Bul jerde P 2k hám Q 2k sanları tiy indilerge bólingen tiy indilerdiń aralıg0ı na da bólindi. S onda P 2k 2 - 2 Q 2k 2 = (P 2k - Q 2k )( P 2k + Q 2k ) , (7) Bul teńliktiń shep hám oń bólimleri de pútin sanlar bolıp tabıladı.. Bul noldan úlken, lekin eki d en kishi pútkil san. . Demek, bul san birge te nk. Ol ush ı n α = m á nisin (5) t е nksizli k ke apar ı p qoyay ı q: 0 < < (8) Bul teńsizlikten (7) t е nklikti nk o nk tarepin 2 к ó beytkishti nk da o nk ekenin k ó remiz , . Basqasha aytqanda < , h á m δ 2k = > , < , + < 2 Sonıń menen (7) te nksizlikti nk o nk t á repind e gi kóbeytiwshiler ush ı n k e yingi te nklik or nlanad : ɩ ɩ < < Sh qqan te nksizlikler tómendegini a nklatad ɩ ɩ < 20 < H á m barl q ɩ k≥1 ush ı n ≤ Sonda < + < 2 Usi usıl menen qálegen k ≥1 ush ı n P ú tin san 0 < ɩ < 2 тe nksizlikti qanaatland rat ɩ u g0 nɩ ın d á l i lledik. = 1 bol g 0 anl ɩ qtan , х = P 2k , у = Q 2k sand ɩ q á legen k≥1 ush ı n x 2 - 2y 2 = 1 te n k lemeni n k sheshimlerin bered і. Biz waq t nsha, ɩ ɩ t ab l g0an sheshimler (6) ɩ t е nklemelerdi nk barl q sheshimleri bolama, bilmeymiz. Endi bizge А > 0 ( ɩ pútin ) h á m (ir raci onal) bol g0anda x 2 - Аy 2 = 1 (9) bul teńlemeniń pútkil sanlar kompleksindegi barlıq x hám y sheshimlerin qanday tabıw múmkinligin kórsetedi. E ger biz (9 ) teńlemesiniń hesh bolma g0anda bir sheshimin bilsek, qal g0an sheshimlerdi kóriwimiz múmkin . Bul teńlemelerdiń sheshimi bar ekenin (6 ) teńlemeden m sallar kórdi. Biz endi (9) ɩ t е nklemeni nk bir sheshimi tab lsa qal g0an ɩ sheshimlerin qalay tab ɩ w g 0a bolat ɩ nı t u wral s ɩ oraw g0 a kóshemiz, Eger birinshi sheshimdi eń kishi sheshim dep tán alsaq, (9 ) teńlemesiniń x = 1, ol x = 0 sheshimlerinen tısqarı barlıq pútkil sanlar kompleksinde keminde bir sheshim bola ma?. (9) t e nklemeni ń [ x 0 , y 0 ], x 0 > 0, y 0 >0 dur s sheshimi bols n ɩ ɩ H á m x 0 2 – Аy 0 2 = 1 (10) Biz bul [ x 0 , y 0 ] sheshimin e nk kishi dep alam ı z, eger x 0 = 0 h á m y 0 = 0 ush ı n eki a g0zalıq barl q bol wi m ɩ ɩ ú mkin bol g0an m á nislerini nk e nk kishi ólshemge iye bolmayd ı . 21 М sal , (6) tenklemeni nk ɩ ɩ x = 3 , y = 2 e nk kishi sheshimi bolad , sol s ɩ ı yaql ɩ us m ɩ á nislerde e nk kishi ólshemge iye h á m (6) t е nklemeni nk basqa kishi sheshimleri bolmayd ɩ . Ras nda, (6) ɩ t e nklemeni nk ke yingi sheshimleri х = 17, у = 12 bols n h ɩ á m us nday bolat n kórinip tur, demek, eki birdey eki sheshimi ɩ ɩ ɩ bolad . ɩ K erisinshe a nkla tay q, ɩ eki a g0zas na birdey m ɩ á nis beretu g0n [ɩ x 1 , y 1 ] h á m [ x 2 , y 2 ] sheshimleri bols ı n, (11) B raq ɩ – i r ra c ional san , а l x 1 , y 1 , x 2 , y 2 – p ú tin sanlar . А l (11) te n klikten Еkenligi sh g0ad , bu ɩ ɩ nd ay bol w ɩ ı m ú mkin emes, sebebi: – p ú tin san, – p út in sann nk ir ɩ rac ional san g0a kóbeytkende, аl p ú tin san i r ra c ional san bola alma y d ɩ . Qarama – qars l q tan tad ɩ ɩ ɩ ɩ , е ger x 1 = x 2 h á m y 1 = y 2 bolsa , basqasha aytqanda , biz h á rt ú rli eki sheshimdi emes , bir sheshimdi alsaq . Еndi (9) t е nklemeni nk e nk bas l bóleg ɩ i men en tan say ɩ ɩ q , [ x 1 , y 1 ] (9) t е nklemeni nk sheshimi bols n ɩ yamasa (12) Endі (12) t е nklikti nk 2 ja g0nda pɩ ú tin n d á rejege kó bey teyik: (13) Binomd d ɩ á reje si boy nsha d ɩ á rejege sh g0aram z: ɩ ɩ (14) x n hám y n pútkil sanlar boladı, sebebi olardıń birinshi, úshinshi hám tuwrı sanları pútkil sanlar boladı hám olardıń jup sanları pútkil sanlar boladı. Eger barlıq kó be yt iws hil e r d i hám kóbeyiwshilerin bólek j ynasaq, biz (14) ga iye bolamız ɩ hám x n hám y n sanları (9 ) dıń sheshimi ekenligin tastıyıqlaymız 22 Haqıyqatında, eger biz (14) dıń - belgisin ózgertirs e k, tómendegi teńlikti alamız : (15) (14) h á m (15) t enklikti a g0zama - a g0za k ó beytsek, (16) Тe nkligin alam z, [ ɩ x n , y n ] (9) us n nk sheshimi. So ɩ ɩ nn an so nk biz (9) tiyisli negizgi te nklemeni nk sheshiminen teoreman d ɩ á l il l eyik . Теоremа x 2 - Аy 2 = 1 t е nklemesini nk barl q sheshimi A > 0 h ɩ á m (ir racio nal) bol g 0 anda [± x n , ± y n ] kóriniste jaz lad , bunda g0 ɩ ɩ ı . (17) а l [ x 0 , y 0 ] – e n k kishi sheshimi . D á l i llew . Keri qaytay q, (9) ɩ t е nklemeni nk o nk túbirin sanlar aras nda [ ɩ x', y' ], sheshim bols n, ɩ (18) Тe nkligi h esh qanday p ú tin o nk n san ı ush ı n or nlan ɩ b as n. Tómendegi sanlar ɩ qatar nda qarast ray q: ɩ ɩ ɩ , x 0 ≥ 0 , y 0 ≥ 0 hám bol g0anl qtan, sheksiz kóbeyiwshi sanlar izbe - ɩ izligi. E nk kishi sheshimini nk an qlamas boy nsha: ɩ ɩ ɩ [ x 0 , y 0 ] – е n k kishi sheshim , son nk ush ɩ ın há r da yı m p ú tin n ≥ 1 t а b lad ɩ ɩ , (19) , Son nk ush ɩ ı n (19) t е nklikti nk barlıq a g0zas n birdey ɩ p ú tin o nk san na ɩ kóbeytsek, t е nklik ta nkbalar saqlan p qalad h ɩ ɩ ɩ á m tómendegi te nklikke erisemiz: 23 (20) (21) Bolg0an ush ɩ ı n, (22) bolad . Budan bólek ɩ (23) Bunda g0 ɩ h m ȃ p ú tin sanlar , а l = (21 – 22 ) qat naslar h ɩ ɩ á m (20) t e nksizlikti paydalansaq, tómendegi te nksizlik payda bolad : ɩ (24) h á m sanlar jub (9) ɩ t е nklemeni nk sheshimleri bolatu g0n n kóreyik.ɩ ɩ Ha q yqat nda, (23) te nklikti ɩ ɩ (25) A g0zama – a g0za kóbeytsek: , (26) Bunda g0 [ɩ ] h á m [ x 0 , y 0 ] - (9) t е nklemeni nk sheshimleri. Еndi >0, > 0 е k enin d á l i lleyik. Е nk ald ɩ men en ≠ 0 еkenligin an qlaym z. ɩ ɩ Ha q yqat nda, ɩ ɩ еger = 0, оnda (26) t е nklikten tómendegi te nklik sh g0ad : ɩ ɩ A > 0 bol g0anl g0 ush n, bunday bol w m ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ ú mkin emes. , keyin 0 bolsa о , b raq (24) ɩ t е nksizlikten >0 bolat u g 0 ı nl qtan, bulay bol w m ɩ ɩ ɩ ú mkin emes. So nknda bizge ɩ h m ȃ belgileri bir d ey bol w kerek. ɩ ɩ Ha q yqat ndа, еger ɩ ɩ h m ȃ t а nkbalar h ɩ á r q yl dep qarasaq ɩ ɩ h m ȃ birdey belgige iye bolad . Eger biz ɩ hám sanlar n nk аbsol ɩ ɩ y ut shamalar n sal st rsaq, birewini nk absal ɩ ɩ ɩ y ut shamas еkinshisinen kishi bol w ɩ ɩ ɩ 24 kerek, sebebi birinshisind e birdey tankbal eki san qo ɩ ll a n lad , al ekinshisinde ɩ ɩ kemeyedi. Sonda biz Е kenligin a nklaym z ɩ , demek , absal y ut shamas ɩ 1 – den ú lken . B raq ɩ = Bol g0anl qtan, biz qarama – qars l qqa keldik, Bird ɩ ɩ ɩ e n úlken bol g0an eki sannıń kóbeymesi de birdan úlken bolıwı kerek. Sonıń menen h m ȃ t а nkbalar ɩ birdey ≠ 0, ≠ 0. (24) t e nksizlikten >0, > 0 еkenligi a nklat lad . ɩ ɩ Sodan so nk, , A > 0 t e nklemesin nk [ ɩ ] sheshimleri bar dep alsaq, h á m (18) te nklikte h eshqanday о nk n ush ı n sheshimge iye emes dep, biz bul te nklemeni nk [ , ] sheshimlerin tapt q, ɩ h á m (24) te nksizlikti qanaatland rat n h ɩ ɩ á m [ x 0 , y 0 ] е nk kishi sheshimlerin an qlaw g0a qarama – qars ɩ ɩ bolatu g0n pɩ ú tin o nk sanlar. Us lay etip biz (9) ɩ t е nklemeni nk barlıq sheshimlerin (18) form u ladan paydalanat n n d ɩ ɩ á l i lledik. Sodan so nk, (9) t е nklemeni nk h á r bir [ x, y ] sheshimi tómendegi qatnasta bolad : ɩ , n ≥ 0 Bunda g0 [ɩ x 0 , y 0 ] – e nk kishi sheshim. Aq r g0 te nkliktegi ɩ ɩ belgisine ózgertsek , Те n kligin alam z ɩ . Bul te nkliklerdi nk е ki t á repin qos p azaytsaq ɩ , Form u lalar n alam z ɩ ɩ . М sal , ald n kórip ótkendey, ɩ ɩ ɩ t е nklemeni nk enk kishi sheshimі x = 3, y = 2 bolad ɩ , sonda bul t е n klemeni nk qal g0an sheshimleri tómendegi form u la j á rdeminde an qlanad ɩ ɩ : 25 n = 1, 2, 3 us sheshimlerdi alsaqɩ : [3, 2], [7, 12], [99, 70]. (9) t e ń lemeni nk , о nd а bil teńlemeniń eń kishi sheshimi boladı yar m sheshimi ɩ b o lsa h á m on nk basqa sheshimleri (17) form ɩ u ladan kelip sh g0ad . ɩ ɩ te nklemeni nk A > 0 h á m α > ir raci onall g0ɩ ı n tol q ɩ l ay izertleyik . Еger A > 0 há m α > – p ú tin san bolsa, tómendegi kóriniste jaz w g0a bolad ɩ ɩ : Bunda a x 0 hám y 0 pútin sanlar boladı. E ki p ú tin sann nk kóbeymesi ɩ 1 – ge te nk bolad ɩ , sonda jal g0z g0ana ɩ , us sanlard nk h ɩ ɩ á r q ays s ɩ ɩ jeke - jeke +1 yamasa -1 sanlar na te nk bolsa ɩ . Sonda , yamasa , x 0 h m ȃ y 0 еki belgisizi bar eki te nklemeden qural g0an te nklemeler ssistemas n nk ɩ ekewi de belgisiz sheshimler sistems na iye ɩ : . Sonıń menen, (9) t e nklemeni nk А p ú tin sann ı k v ad rat na te nk bol g0anda, p ɩ ɩ ú tin sanlar j y n ɩ ɩ dısın da tek belgisiz sheshimler bar: . А p ú tin h á m teris bol g0anda (9) belgisiz te nkleme kelip sh g0ad ɩ ɩ . Аl А = 1 bol g0andada, siymetriyal bolad : ɩ ɩ 6-§. Eki belgisizi bar dárejesi ekiden kóp teńlemeler Еki belgisizi bar birinshi d á rejeli ekiden kóp te nklemeler sistemas belgili ɩ sebep bolmasa , h á rday m ɩ х h á m у p ú tin san la r sistemas ı nda tek g 0 ana shekli sanlar sheshimine iye. Ald ɩ men en tómendegi te nklemeni qara y q ɩ : (1) B unda n – е kiden eseli p ú tin san , – p ú tin sanlar . 26 Eram ı zg0a shekem gi I ásirdiń basında A. Tue d á l i lledi , bunday teńleme x hám y pútkil sanlar jıyındısında sheklengen sanlı sheshimge iye boladı, tek birpara ja g0daylarda bunday bolmaydı, mısalı, eger teńleme n iń shep birdey bólegi birinshi dárejeli birdey ekilik dárejesi bolsa.. Aqır g0ı ja g0dayda teńleme tómendegi eki túrden birine iye: , hám birinshi yamasa ekinshi dárejeli teńlemege s a l ı nadi. Biz A. Tue metodınıń quramalılı g0ı, onı q o llawdıń ılajı joq ekenligi hám (1) teńleme n iń sheshimleri sheklengenligin tastıyıqlaytu g0ın birpara eskertiwler menen shegaralanamız. (1) t е nklemeni nk eki t á repinde san na bóleyik: ɩ , (2) (3) So nn an so nk, bul teńleme n iń barlıq túbirleri túrlishe hám a 0 ∙ a n ≠ 0 emes, bálki pútkil koefficientlerge iye bol g0an teńleme n iń túbiri de bolıwı múmkin emes. Joqarıda g0ı algebrada hár bir algebraik teńleme n iń keminde bir túbiri bar ekenligi tastıyıqlanadı, hár bir kóp sanlı pútkil (z - α) bir sanlı pútkilge bólinedi, eger α – оn nk ɩ túbiri bolsa. Кóp a g0zal n kóbeyt ɩ ɩ iwshi kórinisinde jazsaq: (4) bunda α 1 , α 2 , …, α n – berilgen k ó p a g0zal n nk ɩ ɩ barlıq n túbir leri. Кóp a g0zal n nk ɩ ɩ kóbey mes inde jaz l g0a ɩ n a nklatpas nan paydalan p, (2) te nklemeni nk a nklatpas n ɩ ɩ ɩ tómendegidey jaz ɩ w g 0a bolad : ɩ (5) (5) teńleme n iń pútkil sanlar kompleksindegi san sız kóp sheshimi [x k , y k ] bols n. ɩ Sonday eken, biziń sheshimlerimiz ulıwma y-den úlken. Eger bizde san-sansız juplıqlar bolsa hám olardıń sanı x k den úlken bolsa, ol ja g0dayda x k ushın teńleme n iń shep tárepi de úlken boladı, lekin bunday bolmaydı. Endi, eger y j ú d á úlken bolsa, teńleme n iń ońı kishilew boladı, sol sebepli onıń shep tárepi de kishilew bolıwı kerek. Biraq teńlemeniń shep tárepi pútkil hám birdan kishi bolma g0an a 0 sanın óz ishine al g0an n kó beytiwshiniń kó beytiws hisi bolıp tabıladı. 27 Keyin, shep tárepdegi kishi ólshem, tolıq ólshemde, tómendegi ólshemlerden qay-qaysısı kishi bolsa, sonnan kelip shıg0adı : Bul ay ram ɩ waqıtları k ishi bolad ɩ , tek g 0 ana , α m ras nda ɩ , t e nkl i ginen or n almasa ɩ . Keri ja g0dayda, modulı kishi bolıwı múmkin emes, sebebi: (5) t eńleme n iń shep tárepindegi eki kó be yt iws hini ń parqı modulında kishi bolıwı múmkin emes, sebebi: (6) α m san n nk aras nda birdeylik joq. Eger bi ɩ ɩ ɩ r ayn mal modul yamasa absal ɩ ɩ y ut shama boy nsha ɩ аy rmas nan kishi bolsa, budan basqa ɩ ɩ аy rmadan ɩ ú lken bol w kerek Sonday etip, barlıq ɩ ɩ α m sanları bir-birinen parıq etedi, sol sebepli olardıń tolıq ma`nisi, ya g0nıy modul da g0ı eń kishi ayırmashılıqları noldan úlken (m ≠ S). yamasa (7) Bunda kóbeyt iwshin i nk absal y ut shamas kóbeyt ɩ iwshi lerdi nk shamas na te nk ɩ ekenligi (5)tómendegi te nklemeden a nklaym z: ɩ (8) B raq, bul te nklikte h ɩ á r bir ay rman ɩ ı d a nklatpas n nk e nk kishi ɩ ɩ ólshemimin, аl san n bir ɩ men en almas ɩ r rsaq, san dan kishi p ɩ ú tin san 28 bolmayd , bunda (8) tenklikti nk shep t repi о nk t ɩ ȃ á repinen kishi bolad budan kelip ɩ sh g0p biz tómendegi te nklikti alam z: ɩ ɩ ɩ yamasa (9) Те nkligin alam ı z, bunda g0 с ɩ x n h á m y n sanlar na ɩ g 0árezli emes. Son nk ush ɩ ı n, qandayda bir an qlan g0an ɩ m bar bolad ,us g0an s ɩ ɩ á ykes α m ush ı n (9) t е nksizlik kóp sheshimge iye bolad . Ul wmalast r p aytqanda, еger (1) ɩ ɩ ɩ ɩ t е nklemeni nk p ú tin sanlar kópliginde sheksiz kóp sheshimi bolsa, onda bul ko ef fi c ienti (3) algebral q ɩ te nk lik di nk α túbir i bolad h ɩ á m q qanshelli ú lken bolsadа, tómendegi te nksizlik or nlanad : ɩ ɩ , (10) Bunda g0 ɩ А – p, q sanlar na turaql , p, q – p ɩ ɩ ú tin sanlar, al n – α san n ɩ qanaatland rat n te nk ɩ ɩ lik di nk d á rejesi. Еger α qálegen anıq san bolsa, onda bun ɩ (10) t e nksizlikti nk p hám q p ú tin sanlar kópligine sheksiz kóp sheshim bolat u g 0 ı nday q l p ta nklaw g0a bolad . Bizi nk ja g0dayda α p ɩ ɩ ɩ ú tin koe fficie nti algebral q te nklemeni nk ɩ túbir i, bunda sanlar algebral q dep atalad h ɩ ɩ á m belgili bir q á siyetke iye. Algebral q sann n� d ɩ ɩ á rejesi degenimiz – us sand ɩ ı qanaatland rat n kishi ɩ ɩ d á rejeli p ú tin koefficienti аlgebral q te n�lemeni n� d ɩ á rejesi. А. Тud d á l i llewindey n – shі d á rejeli α аlgebral q san ush ɩ ɩ ı n (11) Te nksizligini nk p h á m q pútin sanlar kópligi аrqal sanlar sheshimi bol w ɩ ɩ ɩ m ú mkin. B i raq bol g0anda, (10) t e nksizlikti nk o nk t á repi jeterli ú lken q ush ı n (11) t е nksizlikti nk o nk t á repinen k іshi bol p qalad , ɩ ɩ sebebi ; . Son nk ush ɩ ı n еger (11) t е nksizlikti nk p h á m q p út in sanlar kópliginde t еk aq r g0 sheshimi bar ɩ ɩ bolsa , оnda (10) t е nksizlikte aq r g0 sheshimge iye. Deme ɩ ɩ k , (3) t е nklemeni nk 29 h á mme túbir leri n – nen k ishi d á rejeli pú tin ko ef fici e nti tenklemeni nk túbir i bola alma g0anl qtan , (1) ɩ t eńleme p ú tin sanlar j y n nda tek ɩ ɩ ɩ g 0 ana aq r ɩ g 0 sheshimge iye.ɩ Аl n = 2 ush ı n (10) t eńsizlik h aq yqat nda, ɩ ɩ qálegen А ush ı n p hám q sanlar k ó pliginde sheksiz kóp sheshimi bar ekenin kóriwge bolad . ɩ P(x, y) qálegen х hám у ańlatpas ın a tiyisli p ú tin ko e ffici e nti kóp a g0zal ı bols ı n , Bunda g0 ɩ - p ú tin sanlar. Bul kóp a g0zal ını qaytar lmaytu g*n ɩ ɩ dep ataym ı z, eger de on p ɩ ú tin ko ef fici e nti eki kóp a g 0 zal n ń kóbeymesi t ɩ ɩ ú rinde ańlat ı w g0a bolad . ɩ Quramalı usıl menen К. Z igel dál i llegen : P(x, y) = 0 Teńlemeniń х hám у p ú tin sanlar kópliginde sheksiz kóp sheshim bolad , ɩ sonda jal g0z g0ana, sanlar bar bolsa: ɩ a n , a n-1 ,… , a 0 , a -1 , … , a -n hám b n , b n-1 ,… , b 0 , b -1 , … , b -n Olard х hám у mánislerin orn na qoy g0anda , t parametirine ɩ ɩ tiyisli t eńligin alam z. Bunda n – p ɩ ú tin san, P(x, y) - dárejesi ekenligi jiklenbeytu g0nɩ kóp a g0zal . ɩ 30 II–BAP. PÚTIN SANLARDA TEŃLEMELERDI SHESHIWDIŃ USILLARI 1 -§. Kóbeytiwshilerge jiklew usılı Joqar dag0 dárejeli teńlemesi kóbeytiwshilerge jiklew arqal sheshiń ɩ ɩ ɩ : Sheshimi: Bol g0anl g0 ush ɩ ɩ ı n berilgen teńleme hám teńlemeni j yna g0 sáykes bolad ɩ ɩ ı . Birinshi te ń lemeniń túbir i , аl еkinshi teńlemesiniń túbir i p ú tin sanlar j y n ɩ ɩ dıs nda sheshim bolma g0an ɩ l qtan, berilgen ɩ t eń l emeniń jal g0z pɩ út in sheshimi bar: -2. 2. teńlemesiniń p ú tin sheshimlerin ta bı w kerek, bunda g0 ɩ hám ápiway ı sanlar. Sheshiwi: Berilgen teńleme túbirinde jazam z. ɩ san l ar n ń taq yamasa jupta g0 h ɩ ɩ ɩ á r q yl hám ɩ ɩ bol g0anl qtan, ɩ bolad . Sonıń menen qatar, ɩ san ɩ -qa bóliniwi kerek, аl san ɩ -qa bólingenlikten ( - ápiway san), ɩ san ɩ -qa bóliniwi kerek. Аl bul qatnas g0ana оr nlanad . Sonıń menen ɩ ɩ -ápiway ı san hám yamasa . Bul teńlik hám bol g0anda g0ana or nlanad . Оnda ɩ ɩ hám =3. 3. teńlemesiniń barl q p ɩ ú tin túbir lerin tab w kerek . ɩ Sheshimi : Berilgen teńlemeni t ú rlendiriw : Aq r g0 teńlikten ɩ ɩ hám 10 san n ń ból ɩ ɩ iwshi leri ekenligi sh g0ad . Аl 10 ɩ ɩ san n ń 8 ból ɩ ɩ iwshis i bar: Us dan 8 teńlemeler sistemas ɩ ɩ sh g0ad : ɩ ɩ 31 Теńlemeler sistemas n sheshsek, berilgen teńlemeniń 8 pɩ ú tin sheshimi bar ekenin kóremiz: (-2,12); (-4,-8); (-1,7); (-5,-3); (2,4); (7,3); (-8,0); (-13,1). 4 . teńlemesin p ú tin sanlar kópliginde sheshiw kerek, bunda g0ɩ - ápiwayi san . Sheshimi : desek , Теńlemesi sh g0ad . Аl ɩ ɩ - ápiway ı san bol g0anl qtan , ɩ san n ń 6 ɩ ɩ ból iwshis i bar: Sonıń menen 5 t еńlemeler sistemas sh g0ad : ɩ ɩ ɩ Teńlemeler sistemas n sheshsek, berilgen teńlemeniń 5 ɩ sheshimi bar ekenin ańlaym z ɩ : ; ; ; . 5. t eńlemesin nat u ral sanlar kópliginde sheshiw kerek . Sheshimі: Тeńlemeni tómendegi kóriniste jaz p alay q: ɩ ɩ , sanlar ɩ san n ń ból ɩ ɩ iwshi leri bol p tab lad , sonday - aq ɩ ɩ ɩ hám , bunda g 0 ɩ . Son ı ń ush ı n . Sodan kelip sh g0p, ɩ ɩ (bolmasa t аq san 2 san n ń ɩ ɩ ɩ ból iw shi si bolar edi), son ń ush ɩ ı n hám , sonday - aq . Tekseriwde jal g0z ɩ ańlatpas tek ɩ g 0 ana bol g0anda teńlemeni qanaatland ratu g0n sheshimlerin ańlatad . ɩ ɩ ɩ 6. teńlemeni qanaatland ratu g0n ɩ ɩ barlıq p ú tin hám sanlard tab w kerek. ɩ ɩ Sheshimі : Teńlemeniń еki tárepin de 4- ke artt r p, ɩ ɩ o g 0an 1- di qossaq, Teńligin alam z. Еger ɩ - p ú tin hám -1,0,1,2 sanlar na ɩ t eń bolmasa, оndа hám , us ɩ men en qatar . 32 Bul teńlemeler san n ń teńles еki san n ń kɩ ɩ ɩ ɩ v adratlar n ń ɩ ɩ ay rmas nda bar ekenligin ańlatad , аl p ɩ ɩ ɩ ú tin san ush ɩ ı n bunday bol w m ɩ ɩ ú mkin emes. Теńlemege =-1, =0, =2 ańlatpalar n qossaq, esapt ń sheshimlerin ɩ ɩ alam z: ɩ (0,-1); (0,0); (-1,-1); (-1,0); (5,2); (-6,2). 7. t еńlemesin nat u ral sanlar kópliginde sheshiw kerek. Sheshimі: sheshimleri nat u ral sanlar bol g0anl g0 ush ɩ ɩ ı n, , demek , bunda g0ɩ . Теńlemeniń оń tárepin kó beyt iw sh i lerge jikleyik: , , . Еger aq r g0 k ɩ ɩ v ad r at teńlemesin sheshsek, еkenligi kelip sh g0ad , son ń ɩ ɩ ɩ ush ı n 1, 2, 3 mánislerin qoysaq, k eyingi t eńlemeni sheshemiz: , Birinshi teńlemeden , sheshimin alam z. Аl ekinshi teńlemeniń ɩ p ú tin sheshimleri joq, ú shinshi teńlemeniń diskkriminant teris san. ɩ Berilgen teńlemeniń , sheshimi bar . 8. 33 t eńlemesi p ú tin sanlar kópliginde sheshiw kerek. Sheshimі: Тeńlemeniń shep tárepin kób e ytkishlerge jikleyik: . Berilgen teńlemeniń p ú tin sheshimi bar dep oy lay q ɩ . Bunda g0ɩ , sebebi: . Еger , ondа , + , - , + 2 , -2 sanlar óz ɩ ara basqa sanlar. Son ń ush ɩ ı n 33 san n 5 kóbeyt ɩ iwshi lerge jiklew kerek, b i raq 33 san óz ara bólek eń kóbi 4 kób ɩ e yt iwshig e jiklenedi: 33 Demek, bul teńlemen i ń sheshimleri joq. 2-§. Keri qaytarıw usılı 1. t еńlemesi p ú tin sanlar kópliginde sheshiw kerek. Sheshim: Berilgen teńlemeniń (0,0,0)-den basqa sheshimleri joq ekenin dál i lleyik. а) , , ; sanlar n ń eń ɩ ɩ ú lken ulıwma bóli w shi bols n. Demek, ɩ , , hám - óz ara keri sanlar bolad . Al n g0an mán ɩ ɩ is leri belgisizlerdiń оrn na qoysaq, tómendegi ɩ teńleme kelip sh g0ad : ɩ ɩ , (1) Bunda g0 ɩ , - ju p sanlar bol g0anl g0 ush ɩ ɩ ı n, -jup sanlar bolad . ɩ Demek, - jup san, bolad . Аl ɩ almast r w ɩ ɩ ı men en (1) teńlemege qoy p , tómendegi sheshimge iye bolam z: ɩ ɩ . (2) - bol g0anl g0 ush ɩ ɩ ı n, bolad , (2) ɩ t еńlemege qoysaq, t еńleme tómendegi de y sheshimge iye bol a d : ɩ . (3) - jup bol g0anl g0 ush ɩ ɩ ı n, má ni sin (3) t еńlemege qoysaq, bunda teńleme us ɩ she shimge keledi: Demek, sanlar n ń ul wma bóliwshisi 2 ekenligi kórinip tur hám ɩ ɩ ɩ óz ara ápiway ı sanlar ekenligi nad urı s. b ) sanlar n ń birewi nólge teń bols ɩ ɩ ı n. М sal , ɩ ɩ , оnda t e ńlemesin alam z. Еger ɩ sanlar n ń birewi nólge teń bolsa, еkinshiside ɩ ɩ nólge teń b o lad . Еger ɩ hám nólge teń bolmas n dep qarast rsaq, а ɩ ɩ ańlatpas n ń qarama – qars l g0na kelemiz. D ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ emek , berilgen teńlememizdiń biraq sheshimi bar : (0,0,0). 34 2. t е ńlemesin p ú tin sanlar kópliginde sheshiw kerek . Sheshimi: sanlar teńlemeni qanaɩ a tland rs n ɩ ɩ , sonda Bunda g0 ɩ . eger , onda . Demek, san eki teńles nat ɩ u ral sanlard ń k ɩ v adratlar n ń aras ɩ ɩ ı nda jaylas w kerek, b ɩ ɩ i raq bulay bol w m ɩ ɩ ú mkin emes. Son ń ush ɩ ı n t еńsizligin еkenligi sh g0ad . А ɩ ɩ l -8,...,1 Mánislerine qoysaq, san p ɩ út in san n ń k ɩ ɩ v adrat bolad , ɩ ɩ еger de us sanlar teń bolsa: -9,-8,-7,-4,-1,0,1. Us lay berilgen teńlemeniń ɩ ɩ barlıq sheshimleri n taba alam z: (-9,12); (-9,-12); (-8,0); (-7,0); (-4,12) (-4,-12); ɩ (-1,0); (0,0); (1,12); (1,-12). 3. teńlemelerin p ú tin sanlar kópliginde sheshiw kerek. Shes hi mі: Теńlemeni sanlar sheshimin qanaatland rs n , ɩ ɩ . Sonda , demek, san p ɩ ú tin bola almayd , sebebі: ɩ . Us nda ɩ y qarama – qa r s l qqa ɩ ɩ bol g0anda ush ra ɩ t am z. Ras nda, bul ɩ ɩ ja g0dayda , demek, , Us dan sh g0atu g0n qatnas hesh ɩ ɩ ɩ q anda y p ú tin ush ı n or nlanbad . Ar ɩ ɩ ɩ qaray, bol g0anda teńleme t eńligine a lmasa d . Aq r nda, ɩ ɩ ɩ ush ı n t еńligin alam z. Теńlemeniń sheshimi: ɩ , . 4. t eńlemesin p ú tin sanlar kópliginde sheshiw kerek. Sheshimi: Qanday da bir sanlar teńligin qanaatland rs n. Ald men ɩ ɩ ɩ dep qaray q, sonda ɩ . 35 Son ń ushɩ ı n , hám , , Bol g0anl g0 ush ɩ ɩ ı n , аl san mán ɩ is les еki sann ń aras nda jatpayd . ɩ ɩ ɩ Еndi desek, sonda , sanlar jub ı dáslepki t eńlemelerdi qanaatland rs n : ɩ ɩ . Biraq bul dál i llewler desek,q á telik bolad . Son ń ush ɩ ɩ ı n -2 dep belgileymiz, us dan teńlemeniń jal g0z sheshimin alam z: ɩ ɩ ɩ , . 5. t eńlemesiniń nat u ral sanlar kópligi sheshimlerі shekli bolat n n dál ɩ ɩ i lleyik. Sheshimі: Berilgen teńlemeniń sheshimi bols n, ɩ М sal ɩ ɩ , . Endi, tiykar g0 teńlemesi hám ɩ t еńsizligin qanaatland rat n ɩ ɩ sanlar izbe izliginiń shekli kópligi bar bols n. ɩ , , Us dan kelip, ɩ t еńsizligi sh g0ad . Son ń ush ɩ ɩ ɩ ı n bizge shamas ɩ san nan eseli mánis qab llayd . H ɩ ɩ ɩ árbir shama sı ush ı n , Us ı dan Hám belgisiz shamas ɩ san nan aspad ɩ ɩ . Еger de hám belgili bolsa, bunda belgisiz shamas ɩ t е ńlemeniń mánisin a ń latad ɩ . Demek, sh á r ti n qanaatland ratu g0n ɩ ɩ san nan aspayd . ɩ ɩ 6. t еńlemesin p ú tin sanlar kópliginde sheshiw kerek. Sheshimі: sanlar izbe - izligi t eńlemeniń sheshimi bolad ı . Endi teńlemeniń basqada sheshimleri bolad dep qarast rsaq. Оlard ń sheshimleri ɩ ɩ ɩ sonday izbe izligine erisemiz, 36 Shamas eń kishi mánini ańlatat nday. ɩ ɩ Hárbir ush ı n or nl ɩ ɩ : , , sonda (mod 4). Son ń ush ɩ ı n san n 4-ke bólgendegi qald q (ne 0-ge ɩ ɩ t eń, ne 1, ne 2), san n 4-ke bólgendegi qald q ɩ ɩ pen en (ne 0-gе, nе 3-ke teń) sáykes kelemiz, sonda tek sonda g0ana, еger há r bir sanlar jup bolsa. ɩ Solay-аq , , , b unda g0 ɩ . Dáslepki t еńlemege qoysaq, bolad . Sonıń menen qatar ɩ Shamas ɩ shártin qanaatland rsa, ɩ bul sanlar dizbegi teris. Son ń ush ɩ ı n berilgen teńlemeniń jal g0zɩ sheshimi bar . 7. t еńlemesiniń nat u ral san l ar kópliginde sheshimleri joq ekenligin dál i llew kerek Sheshimі: sanlar teńlemeniń sheshimlerin qanaatland rad . ɩ ɩ ɩ Sonda bizdiń us ı kóriniste: . Sonıń menen qatar hám óz ara ápiway sanlar yamas ɩ a taq sanlar . Son ń ush ɩ ı n , Теńlikti qanaatland rat n ɩ ɩ sanlard qab llayd hám ɩ ɩ ɩ , . Us dan ɩ Те ńligin alam z ɩ . Endi esapt ń shártin dál ɩ i lleyik . 8. Qálegen , u shı n 37 Тeńlemesiniń nat ural sanlar kópliginiń sheshimi joq ekenligi dál i lleyik. Sheshimі: G еybir , mánislerinde berilgen teńleme dur ı s teńlikke a lma ss n. Аl ɩ dep belgilesek, , endi (mod ) Теńligin alam z. Son ń ush ɩ ɩ ı n jup san, аl ush ı n t aq bol g0anda (mod ) bol w kerek, bunda ɩ ɩ hám , bulay bolmayd . ɩ Аr qaray, Niyton binom nan paydalansaq , ɩ ɩ jup bol g 0 anda sal st r w or nl : ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ (mod ), (mod ). Usıdan kelip (mod ), sh g0ad . Sh qqan teńlik ɩ ɩ ɩ hám sanlar na bólsek ɩ , Qat nas n alam z. Basqa tárepinen Bernulli teń ɩ ɩ ɩ s izligine s ú yensek, Тeńsizligin alam z. ɩ 9. t еńlemesini ń p ú tin sanlar kópliginde sheshimi joq ekenin dál i llew kerek. Sheshimі: G еybir sanlar teńliginde jup san bolad ɩ . Keri ja g0da y da (mod 4), Us dan ɩ (mod 4) Bol w ɩ ı m ú mkin emes . А l san n ń teńligin ɩ ɩ (mod 4) Еkenligi sh g0ad , son ń ush ɩ ɩ ɩ ı n (mod 4). 38 Е ndi , , Dep belgileyik , sonda teńlemeniń us kórinisin alam zɩ ɩ : , Us dan ɩ , bunda g0 ɩ (mod 4)., san n ń ápiway ɩ ɩ ı bólshekleriniń biriniń tú rinde, bunda g0 ɩ . Ras nda , ɩ san taq bol g0anl g0 ush ɩ ɩ ɩ ı n, оn ń hámme ápiway ɩ ı bólshekleri taq bolad . ɩ (mod ), Son ń ush ɩ ı n (mod ) hám (mod ). Biz Ferma t eoremas na qars keldik, ɩ ɩ t еorema b o y nsha ɩ (mod ) Bol w kerek edi. Еsapt ń shárti dál ɩ ɩ ɩ i llendi. 3-§. Dara ja g�daydan ulıwma ja g�day g�a ótiw usılı 1. t е ńlemesi nat u ral sanlar kópliginde sheshiw kerek . Sheshimі: (0,0)- t eńlemesiniń sheshimi. Еger teńlemeniń sol tárepinde bir koren belgisi bolsa onda teńleme men en túbir i us kóriniste bolad : ɩ ɩ yamasa , . Sheshimi : , bunda g0ɩ . Е ger sol tárepinde 2 k o ren belgisi bolsa , tómendegi teńlikti alsaq : , (1) , (2) . Demek, - nat u ral san, , . m á nisin (2) t eńlemege qoysaq, t eńligi kelip sh ı g 0ad ɩ . B i raq , Son ń ush ɩ ı n 39 boladɩ . А l bul b u lay bolmayd ɩ . Us sebepli ɩ (1) t е ńlemeniń 1 sheshimi bar : (0,0). Еger teńlemeniń sol tárepi 3 koren belgisi bolsa, tómendegi teńlikti alam z: ɩ , (3) , , . (4) (4) te ńleme (1) t eńleme uqsas, son ń ush ɩ ı n (3) t eńlemeniń de 1 sheshimi bar : (0,0). Аr qaray us lay dawam ettirsek, berilgen teńlemeniń jal g0z (0,0) sheshimi ɩ ɩ ɩ bar dep oylaym z. ɩ 2. Qálegen ańlatpas ush ɩ ı n Теńlemeniń nat u ral sanlar kópligi ni ń sheshimi bar ekenin dál i llew kerek. Sheshimі: Induksiya u s ı l ı men en dál i llesek: Qáleg en ush ı n Sanlar bar bols n hám ɩ ɩ t aq san ɩ Теńligin qanaatland rs n. ɩ ɩ ush ı n bul or nl , ɩ ɩ dep al w jeterli. ɩ Keyin mánisi ush ı n dál i llensin. sanlar kópligin qarast ray q ɩ ɩ hám , Dep esapqa alay q. Bunda g0 ɩ ɩ taq hám , hám bolad . ɩ Sonda Sanlar kópligi ush ı n , (mod 2), 40 Теńlik or ı nl bolg0an ush ɩ ɩ ı n, tuj r mlaw ɩ ɩ ush ı n de dur s. ɩ 3. sanlar berilsin, hár - bir ɩ mánisi ushin hám sanlar óz – ara ápiway bolad . ɩ ɩ ɩ Теńlemesiniń nat u ral sanlar kópliginde sheksiz kóp sheshimi bar ekenligin dálilllew kerek. Sheshimі: Еger bolsa, onda hárbir mánisi ush ı n , Sanlar jub te ɩ ń lemeni qanaatland rs n. Аl endi ɩ ɩ bolsa, qa tar lar teorema g0a s á ykes, sheksiz kóp sanlar bar bolad hám tómendegi shárt ɩ ɩ or nlanad : ɩ ɩ (mod ) hám (mod ). Sonıń menen san n ń hár bir mánisi ɩ ɩ , natu ral sanlar hám olar kez l esedi , Belgisizler izbe - izligin qurad . ɩ Al n g0an hárbir izbe ɩ - izlik teńlemesin qan a atlan d rad , sebebi: ɩ ɩ . Hárbir máni ush ı n, hár q yl ɩ ɩ mánislerine hár qıylı izbe - izligi s á yk e s keledi. Son ń ush ɩ ı n berilgen teńlemeniń nat u ral sanlar kópliginde sheksiz kóp sheshimi bar. 4-§. Sınap kóriw usılı 1. t eńlemeni nat u ral sanlar kópliginde sheshiw kerek. Sheshim і: Е ń ald men ɩ dep qaras t rsaq ɩ . Kóriw sheshimlerdi qarast ray q: ɩ ɩ 41 а) bolg0anda, t eńlemeniń sheshimi joq ekenin kóremiz: . b ) bol g0anda , . А l bol g0anl g0 ush ɩ ɩ ı n, teńlemeniń 2 sheshimi bar: (2,3,6); (2,4,4). v ) bol g0anda , sáykesle sti riwden soń teńligin alam z. Еger ɩ , оnda . Us dan (3,3,3) sheshimlerin tabam z. ɩ ɩ Еger , onda . U s dan ɩ Teńsizlik sheshimi sh g0ad . B ɩ ɩ i raq bul teńsizlik or nl emes. ɩ ɩ g ) ush ı n hám , Sonıń menen birge tómendegi teńsizlik or nl : ɩ ɩ Bol w m ɩ ɩ ú mkin emes . Sonıń menen ush ı n teńlemeniń 3 sheshimi bar : (2,3,6); (2,4,4); (3,3,3). Endi bul us ldan paydalanbay, qal g0an 8 ɩ sheshimin tabam z ɩ : (4,2,4); (4,4,2); (2,6,3); (3,2,6); (2,4,4); (3,6,2); (6,2,3); (6,3,2). 2. Bunday na tu ral san l ar sáykesligin tapsaq, hárqay sısınıń qas nda 1 bol p ɩ ɩ ol ekinshi san g0a bólinedi . Sheshimі: Аld men ɩ dep alsaq. Es a pt ı ń shárti boy nsha, ɩ hám sanlar na sáykes ɩ hám sanlar na bólinedi. ɩ Demek, bulard ń kóbeymesi ɩ sanlar da ɩ san na ɩ bólinedi. Us dan ɩ san n ń da ɩ ɩ san ı na bólgende sh g0ad , yamasa ɩ ɩ , , . 42 Аl hám bolg0anl g0 ush ɩ ɩ ı n, tómendegi teńlikti or nlaym z: ɩ ɩ . Us dan ɩ p ú tin san mánisi 3 mánisini ń birewin qab llayd ɩ ɩ : 1,2,3. а ) bol g0anda Теńlemeniń sheshimі: (1,1). b ) ; . Sheshimi joq. v ) ; . Теńlemeniń (2,3) sheshimi bolad . Us men birge ɩ ɩ teńlemeniń 3 sheshimi bar: (1,1); (2,3); (3,2). 3. teńsizligin qanaatland rsa ɩ qále gen ańlatpas ush ɩ ı n Sistemas n ń teris emes p ɩ ɩ ú tin sanlar kópliginde sheshimi bar ekenligin d á l i llew kerek. Sheshimі : sanlar ɩ t еńsizligi qanaatland rs n. Аl ɩ ɩ dep alsaq, shamas men ɩ en kó p liginen sheshimler qab llay ɩ alad : ɩ . Keyingi teńlik : Paydalan p tómendegi sheshimdi qab llaym z: ɩ ɩ ɩ . Еger bolsa , , sondа . Аl bolsa , , , sonda , sonday - aq yamasa . Е ger bolsa 43 , , , , boladɩ . А l 3 bolsa , sonda , sonday - aq . Е ndi 4 bol g0anda , , , sonda , sonday - aq . Us lay ɩ , biz i zertlegen hárbir sheshim Sanlar ın tómendegi teńlikti qan a atland rad : ɩ ɩ , , demek, berilgen sisteman da qanaatland rad . ɩ ɩ ɩ 4. Hárqanday ápiway ı san ı ush ı n Т eńlemesiniń sheshimleri joq ekenligin dál i llew kerek . Sheshimі: Eger san ush ɩ ı n San p ɩ ú tin bols n, sonda bul san 5- ɩ t en aspayd yamasa quramal san ɩ ɩ bolad . ɩ Ha q yqat nda, еger ɩ ɩ bolsa san p ɩ ú tin san emes. Аr qaray, ɩ hám ush ı n , . Еger , bolsa, Quramal bolmayd , on ɩ ɩ ı ń hárbir kóbey tiw shi si 1-den ú lken, а l bol g0anda . Demek, еger ápiway san bolsa ɩ teńligi ush ı n or nlanbayd . ɩ ɩ 5-§. Daralıq usılı 44 1. Те ńlemesi n nat u ral sanlar kópliginde sheshiw kerek . Sheshimі: Bul jerdegi nat u ral san, K oshi teńsizliginen paydalansaq k е yingi teńlikti alam z: ɩ (1) (2) ............................... ( ) Sh qqan teńsizlikler ɩ , , mánislerinde teńlikke a lma sad . ɩ Sistemalar na a g0zama - a g0za kóbeytsek, tómendegi teńsizlik payda bolad : ɩ ɩ . Demek, , , еkenligi kelip sh g0ad . Son ń ush ɩ ɩ ɩ ı n berilgen teńlemeniń tek bir sheshimi bol a d : ɩ . 2. Qále gen , mánisleri ush ı n Теńlemesiniń p ú tin sanlar sistemas nda ɩ t órtten kóp sheshimi bolmaytu g0n n dálɩ ɩ i lleyik. Qanday da mánisleri ush ı n sheshimleri bolat u g 0 ı n n dál ɩ i llew kerek. Sheshimi: bol g0anl g0 ush ɩ ɩ ı n, Те ńlemesi Тeńlemeler sistemas na sáykes, bunda g0 ɩ ɩ , t е ńlemesin qanaatland rad ɩ ɩ . Bunday sistem a n ń 1-kóp sheshimi bol w m ɩ ɩ ɩ ú mkin emes, sebebi: belgisizdiń ańla t palar ı bul sitem a dan anıq sheshim qab llayd : ɩ ɩ Hár q yl ɩ ɩ jub tórtew: (1,2); (-1,-2); (2,1); (-2,-1). Son ń ush ɩ ɩ i n hár q yl ɩ ɩ sanlar sáykesligine belgisiz hár q yl ɩ ɩ juplar sáykes keledi. ɩ Demek, bizdi teńlememizdiń tórtten k óp sheshimi bolad , Sonıń menen birge ɩ 45 sheshimler san ɩ t órtew bolad , sonda tek sonda g0ana, ɩ túbir leri hárbir san p ú tin bolsa hám . Оl ush ı n bul sheshim: P ú tin bol w kerek ɩ ɩ , Sonıń menen qatar 2 . Еger , оnda san p ɩ ú tin bolad , sonda tek g0ana, ɩ san taq bolsa. Те ɩ ńlemeni ń 4 sheshimi bolad ɩ , е ger de k e yingi sh á rtl e r bolsa : yamasa hám , . З. t еńlemesin p ú tin sanlar kópliginde sheshiw kerek . Sheshimі: Е ger jup bolsa , hám (mod 16), Е ger de t а q bolsa , о nda 16 san na bólinedi, sonday - aq ɩ (mod 16). Теńlemeniń s hep tárepin 16- g0a bólgendegi qald q ɩ d іzbeginiń taq sanlar na teń, sonday - aq 14- ten aspayd . Basqasha qarast ram z ɩ ɩ ɩ ɩ 1599=1600-1=15 (mod 16), demek, t eńlemeniń оń hám s hep tárepindegi t еńlik belgisizlerdiń h еshqanday p ú tin mánisleri joq. 4. t еńlemesin p ú tin sanlar kópliginde sheshiw kerek . Sheshimі: t еńlemeniń sheshimi bolad ı . Тeńlemeniń ta g0ɩ basqa sheshimi bar dep qaray q. Sonda оń t ɩ á repi 4 ke bólinedі. Keri ja g0dayda , hám t aq sanlar, оdan (mod 4), (mod 4), (mod 4) yamasa ush ı n (mod 4) Теńligі, а l t аq bol g0anda (mod 4) 46 Теńligi keli p shg0ad , sonday - aq ɩ ɩ m ú mkin emes . Теńlemeniń s hep tárepi 4-ke bólinedi, sonda tek, еger san l ar n ń ɩ ɩ hár qıylısı jup bolsa (yamasa sol tárepin 4-ke bólgendegi qald q ɩ d іzbegindegi taq sanlar sheshimine teń), son ń ush ɩ ı n , , , Sonıń menen birge . So ń g 0 teńlemeniń shep tárepi 4- ke bólinedі, us dan analogiyal q tɩ ɩ ɩ ú ri arqal ɩ , , hám Тeńlemesin alam z , Us lay d ɩ ɩ aw am etsek p ú tin sanlar izbe izligin alam z ɩ : , , , bunda . B i raq basqa h eshqanday p ú tin san еkenin qále gen dárejesine bóline almayd , son ń ush ɩ ɩ ı n sanlard ń hámmesi nólge teń. Demek, ɩ t еńlemeniń t еk g 0 ana bir sheshimi bolad . ɩ 47 JUWMAQLAW Há zirgi waq tta joqarg0 bilim beriw t n ms z iz ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ li-izinde , óziniń sana sezimin jan jaqlam a artt rad , dóretiwshi hám miynetkesh jaslardı tárbiyalaw, ɩ ɩ olardıń kásiplik rezervin tap d raw g0a ɩ ɩ ı lay q bol g0an, jám ɩ iy ettiń rawajlanıwda bazar m ú n á s i betleriniń ózg eriwsheń siyasat ı na tez iykemlese alatu g0ın, bilimli hám maman qánigelerdi tayarlawdı maqset etedi. Sol sebepli jaslardıń tálim alıwları ushın barlıq sh á rayatlar jaratıl g0an hám olar ushın jáhán olimpiadalarına shı g0ıw jolı ashıq. Soń g0ı payıtlarda matematika olimpiadaları hám ilimiy joybarlardı qor g0aw g0a úlken itibar qaratılıp atır. Jıl dawamında túrli xalıq aralıq dárejedegi matematikalıq jarıslar ótkeriledi. Bul jarısta qatnasıw ushın oqıwshılardıń tayarlıq dárejesi joqarı bolıwı kerek. Usınıń menen birge, zamanagóy mektep matematikası oqıw procesiniń nátiyjesin asırıw ushın oqıwshılar g0a óz bilimlerin ámeliyatqa qollanıw etiwdi úyretiw kerek. Mektep programmasında olimpiada esabın jaratıw ushın júdá kem usıllar bar. Bul jarıslarda tez-tez ush ı raytu g0ın máselelerden biri bul teńlemelerdiń pútkil sanlar kompleksinde sheshiliwi. Bul jumıstıń tiykar g0ı bóleginde biz teńlemelerdi sheshiwdiń ulıwma teoriyası, usılları hám usılların ashıp berdik. Diplom jum st ń оq wsh lard ń bilim sapas n artt r w ush ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ ɩ ı n, оlimpiyada da g 0 tayarl qɩ ɩ kurslar ush ɩ ı n t i yimli ekenine i senemiz. 48 PAYLANAN Í LG�AN ÁDEBIYATLAR 1. Никифорович В. А. В мире уравнений. – Москва: Наука, 1987. 2. Моралишвили Т. Д. Современные поблемы методики преподавания математики. – М.: Просвещение, 1985. 3. Гельфонд А. О. Популярные лекций по атематике. – Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1983. 4. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад. – Москва: Наука, 1988. 5. Коягин С. Д., Тоноян Г. А., Шарыгин И. Ф., Копылов И. А. И др. Зарубежные математические олимпиады. – М.: Наука, 1987. 6. Симонов А. Я и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991. 7. Куланин Е. Д., Норин В. П., Федин С. Н., Шевченко Ю. А. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 2000. 8. Лурье М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений. – М: наука, 1990. 9. Олехник С. Н. И др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. – М.: МГУ, 1991. 10. Пойа Д. Как решать задачу. Вып.І. – Львов: Квантор, 1991. 11. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников: Пособие для учителей. – Москва: Просвещение, 1982. 12. Журнал “Математика в школе” отдел задачи за 1986 – 2004 годы. 49

Pútin sanlar kópliginde teńlemelerdi sheshiw tek ǵana eki belgisizli ekinshi dárejeli teńlemeler ushın ǵana sheshilgen másele. Eki yamasa odan da kóp belgisizli ekinshi dárejeli teńlemelerdiń pútin sanlar kópliginde barlıq    sheshimlerin tabıw júdá qıyın. Mektep programmasında pútin sanlar kópliginde teńlemelerdi sheshiwge kóp kóńil bólinbeydi. Biraq olimpiadalıq esaplarda bunday teńlemeler kóp ushırasadı.

Купить