Rushe teoremasi va teskari funksiyalar

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	74.7KB
Покупки	0
Дата загрузки	12 Июнь 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Surayyo Qurbondurdiyeva

Дата регистрации 04 Февраль 2025

24 Продаж

Rushe teoremasi va teskari funksiyalar

Купить

3 Kirish
Mavzuning dolzarbligi :Rushe teoremasi va teskari funksiyalarni o‘rganish,
nafaqat matematika nazariyasiga, balki ko‘plab amaliy sohalarga ham katta ta’sir
ko‘rsatadi. Ushbu mavzu dolzarbligi shundan iboratki, u matematik analizning asosiy
tushunchalaridan biri sifatida, funksiyalarni tahlil qilish, ularning xususiyatlarini
tushunish va funksiyalarning teskari versiyalarini topish kabi muhim amaliy
masalalarni hal qilishda keng qo‘llaniladi.
Rushe teoremasi, ayniqsa, ko‘plab ilmiy va muhandislik masalalarida asosiy nazariy
vosita bo‘lib, u funksiyalarning differensialini va teskari funksiyasini hisoblashga
yordam beradi. Bu teorema yordamida, masalan, differensial tenglamalar,
optimizatsiya, kompyuter grafikasi va tizimlar modellari kabi sohalarda yuqori
samaradorlikka erishish mumkin. Ayniqsa, kompyuter ilm-fanida va sun’iy intellekt
sohasida, tizimlar va algoritmlarni yaratishda funksiyalarning teskari versiyalarini
topish juda muhimdir.
Shuningdek, iqtisodiyot, fizika va biotexnologiya kabi amaliy sohalarda ham Rushe
teoremasi va teskari funksiyalar o‘rganilishi zarur bo‘lgan tushunchalardan biridir.
Masalan, iqtisodiy modellarni yaratishda, optimizatsiya masalalarini yechishda va
iqtisodiy ko‘rsatkichlarni tahlil qilishda bu nazariyalar ko‘p qo‘llaniladi. Buning
natijasida, teskari funksiyalarni tushunish va ulardan foydalana olish nafaqat
matematikaviy bilimlarni, balki bu bilimlarni amaliy sohalarga qo‘llashni ham
osonlashtiradi.
Mavzuning maqsadi — Rushe teoremasi va teskari funksiyalarni o‘rganish,
ularning nazariy xususiyatlarini va amaliy qo‘llanilishini tushunish. Bu maqsadni
amalga oshirish orqali quyidagi maqsadlarga erishiladi:
Rushe teoremasi haqida chuqur tushuncha hosil qilish: Teoremaning asosiy
g‘oyalarini, shartlarini, va uning matematik formallarini o‘rganish. Teoremaning
qanday ishlashini va funksiyalarning teskari funksiyasini qanday hisoblash
mumkinligini tushunish.

4Teskari funksiyalarni topish va qo‘llashni o‘rganish: Teskari funksiyaning
mavjudligini va ularni qanday aniqlashni o‘rganish. Bu, o‘z navbatida, matematik
muammolarni hal qilishda va amaliy masalalarda qo‘llaniladi.
Rushe teoremasining amaliy qo‘llanilishini tahlil qilish: Rushe teoremasi va teskari
funksiyalarning matematik va ilmiy sohalarda qanday qo‘llanilishini ko‘rsatish. Misol
tariqasida optimizatsiya, differensial tenglamalar va ilmiy modellarni yechishdagi
rolini tahlil qilish.
Teorema va funksiyalarning geometrik va algebraik xususiyatlarini o‘rganish: Rushe
teoremasining geometrik ma'nosini va teskari funksiyalarning algebraik
xususiyatlarini tushunish. Bu, ayniqsa, funksiya va uning teskari funksiyasining
orasidagi geometrik aloqalarni yanada yaxshi tushunishga yordam beradi.
Matematik misollar va amaliy masalalarni yechish: Teoremaning qo‘llanilishini va
teskari funksiyalarni topish jarayonini o‘rganish orqali, matematik va amaliy
misollarni yechishda samarali yondashuvlarni ishlab chiqish.
Rushe teoremasi va teskari funksiyalarni o‘rganish dolzarbligi yuqori, chunki ular
ko‘plab matematik va amaliy sohalarda keng qo‘llaniladi. Bu bilimlar nafaqat
matematikaning asosiy nazariyalaridan biri bo‘lib qolmay, balki ilm-fan va
texnologiyaning rivojlanishiga katta hissa qo‘shadi.
Ilmiy sohalar: Rushe teoremasi va teskari funksiyalar, asosan, fizika, kimyo va
biotexnologiya kabi ilmiy sohalarda qo‘llaniladi. Masalan, kimyo jarayonlari va
molekulyar biologiya modellarini yaratishda, funksiyalarning teskari versiyalarini
aniqlash va ularni matematik modelga tatbiq qilish muhimdir.
Iqtisodiyot va menejment: Iqtisodiy modellarni yaratishda va bozor
iqtisodiyotini tahlil qilishda teskari funksiyalarni o‘rganish zarur. Shu bilan birga,
optimizatsiya va resurslarni taqsimlash masalalarini hal qilishda ham bu nazariyalar
qo‘llaniladi.
Kompyuter fanlari va sun’iy intellekt: Kompyuter fanlarida algoritmlar va tizimlar
modelini yaratishda, teskari funksiyalarni topish va qo‘llash juda muhimdir. Masalan,
mashina o‘rganish va sun’iy intellekt tizimlarida modelning teskari funksiyasi va
uning optimizatsiya jarayonlari hamda algoritmlarini tahlil qilish talab qilinadi.

5Mavzuning vazifalari: Rushe teoremasining asoslarini o‘rganish: Rushe
teoremasining formal bayonlari, uning shartlari va matematik tahlilini o‘rganish.
Funksiyaning differensialini va Jacobiy matritsasini hisoblash va bu orqali funksiya
va uning teskari funksiyasining mavjudligini aniqlash.
Teskari funksiyalarni tushunish va topish: Teskari funksiyalarning mavjudligi
shartlarini va ular qanday topilishini o‘rganish. Teskari funksiyalarning geometrik va
algebraik xususiyatlarini tahlil qilish.
Rushe teoremasining amaliy qo‘llanilishini ko‘rsatish: Rushe teoremasi va teskari
funksiyalarning ilmiy sohalardagi qo‘llanilishlari, xususan, optimizatsiya va
differensial tenglamalarni yechishda qanday yordam berishini tushuntirish.
Matematik misollar va qo‘llanmalarni keltirish: Teoremaning qo‘llanilishi va amaliy
misollarni keltirish orqali Rushe teoremasi va teskari funksiyalarni o‘rganishning
muhimligini ko‘rsatish.
Kurs ishi obyekti— matematik analizdagi differensiyallanadigan funksiyalar
va ularning teskari funksiyalari bilan bog‘liq nazariyalar, xususan, Rushe teoremasi
asosida o‘rganiladigan funksiyalar xossalari hisoblanadi. Bu funksiyalar orqali lokal
teskari funksiyalar mavjudligi va ularning differensial xususiyatlari tadqiq qilinadi.
Kurs ishining predmeti — Rushe teoremasining shartlari, isboti va
qo‘llanilishi, shuningdek teskari funksiyalarni aniqlash usullari va ularning
qo‘llanilish doirasidir. Bu doirada Jacobiy matritsa, uning determinantini hisoblash,
teskari funksiyaning mavjudligi va differensialliligi kabi tushunchalar o‘rganiladi
hamda amaliy misollar bilan mustahkamlanadi.
Kurs ishining tuzilishi: Kirish,2ta bob,4ta paragrf,xulosa va adabiyotlar
ro‘yhatidan iborat

6 I BOB. RUSHE TEOREMASI
1.1.Rushe teoremasining asosiy g'oyasi
Rushe teoremasi.
Teorema2 (Rushe teoremasi). Agar f(z) va F(z) funksiyalar chekli bog’lamli
sohada va uning cheklita yopiq bo’lakli silliq Jordan chiziqlaridan iborat
chegarasida regulyar bo’lsa va nuqtalarda tengsizlik bajarilsa, u holda F(z)
+f(z) hamda F(z) funksiyalar sohada bir xil sondagi nollarga ega bo’ladi.
Isbot. soha chegarasi da tengsizlik bajarilganligidan uchun
tengsizliklarning ham o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Logarifmik qoldiq haqidagi
teoremaga binoan Rushe teoremasining isboti uchun tenglikni ko’rsatish
kifoyadir. Shu tenglikni isbotlaymiz.
Agar deb olsak, u holda tenglikning ikkinchi integrali dan iborat bo’ladi,
unda integrallash chizig’i nuqta chegarani musbat yo’nalishda bir marta
aylangan taqdirda nuqta chizadigan chiziqdan iborat. Teorema shartiga
ko’ra . Demak, chiziq markazi nuqta, radiusi 1 ga teng bo’lgan doiraning
ichida joylashadi. Bu doira nuqtani o’z ichida saqlamagani uchun murakkab
kontur uchun Koshining integral teoremasiga asosan =0. Bundan va (5)
tenglikdan (4) formulani olamiz. Teorema 2 isbot bo’ldi.
Demak, regulyar funksiyaning doira markazidagi qiymati uning doira
aylanasidagi qiymatlari o’rta arifmetigiga teng. (6) formuladan foydalanib
analitik funksiyalar nazariyasining juda muhim prinsipi- modulning maksimum
prinsipini keltirib chiqarish mumkin. Unga ko’ra - sohada regulyar funksiya
moduli shu sohaning hech bir ichki nuqtasida o’zining maksimum qiymatiga
erisha olmaydi, agar u aynan o’zgarmasdan farqli bo’lsa.
Haqiqatdan ham, bo’lsin. Prinsipning teskarisini faraz qilamiz, ya’ni shunaqa
nuqta mavjudki, bajarilsin.
Markazi nuqtadan iborat doira uchun (6) formulani qo’llab
ni olamiz. va bo’lganligi uchun ni olamiz. Haqiqatdan ham, agar biror
uchun bo’lsa, u holda ning uzluksiz ekanligidan yetarlicha kichik biror
interval mavjudki, unda bajarilar edi, bu intervaldan tashqarida . U holda (7)

7dan . Buning bajarilishi mumkin emas. Shunday qilib, markazi nuqtada
bo’lgan istalgan yetarlicha kichik aylanada yoki markazi nuqtada bo’lgan
istalgan yetarlicha kichik doirada. Endi butun sohada ekanligini ko’rsatamiz.
Shu maqsadda nuqtani ixtiyoriy nuqta bilan biror uzluksiz chiziq bilan
tutashtiramiz. chiziq va chegara orasidagi masofani belgilaymiz.
Tushunarliki, ixtiyoriy markazi chiziqda yotuvchi radiusli doira da yotadi.
Isbotlangan tenglikka ko’ra u har bir bunday doirada o’rinli. Bunday doiraning
markazini chiziqning nuqtasidan nuqtasigacha uzliksiz siljitib, ko’ramizki,
tenglik hosil bo’lgan har bir doirada bajariladi. Demak, ham o’rinli, ya’ni u
butun ga o’rinli. Bundan ning doimiyligini oson keltirib chiqara olamiz.
Haqiqatdan, o’zgarmas haqiqiy qism ga ega. U holda Koshi -Riman
shartlariga ko’ra chunki da bo’lganligi uchun ham da regulyardir
(umumiylikni kamaytirmasdan ni bir bog’lamli chekli soha deb qarash
mumkin). Demak, Bundan ekanligini olamiz. Lekin qilgan farazimizga ko’ra .
Demak, farazimiz noto’g’ri bo’lib, bu ziddiyat modulning maksimum prinsipini
to’g’ri ekanligini bildiradi.
Xizmat ko'rsatish korxonalarining samarali ishlashi va mijozlarga yuqori sifatli
xizmat ko'rsatish uchun optimal rejalashtirish juda muhimdir. Bu, mijozlarning kutish
vaqtini kamaytirish, xizmatlarini tezroq taqdim etish va xizmat sifatini oshirishga
yordam beradi.
Kutishli xizmat ko'rsatish tarmog'ining bandlik davrlari, tizimning qanday
ishlayotganligi va xizmat ko'rsatishga ehtiyojni ta'minlash uchun ahamiyatlidir. Bu,
xizmat ko'rsatish sohasida mustahkam ish jarayonini yaratishga yordam beradi.
Bundan tashqari, bandlik davrlari, xizmatni yaxshi tashkil etish va uning
samaradorligini oshirishga yordam beradi.
Bitta xizmat ko'rsatish uskunasidan iborat xizmat ko'rsatish sistemasiga A(t) taqsimot
funksiyasi orqali aniqlanadigan rekkurent chaqiruvlar oqimi kelayotgan bo'lsin. Bu
chaqiriqlarga bir xil B(t) taqsimot funksiya bo'yicha xizmat ko'rsatilsin.Agar chaqiruv
sodir bo'lganda uskuna boshqa chaqiriqqa xizmat ko'rsatayotgan bo'lsa, u navbatga
qo'yiladi va xizmat boshlanishini kutib turadi.

$8 1.2. Teoremaning formallanishi va qo‘llanishi Rushe teoremasi (yoki Rouche teoremasi ) — kompleks tahlil sohasida ishlatiladigan va kontur integrallarini hisoblashda qo‘llaniladigan muhim natija. Teorema, ma'lum bir regiondagi analitik funksiyalarni taqqoslash orqali biror kompleks funksiyaning ildizlarini aniqlash imkonini beradi. Rushe teoremasi kompleks funksiyalar bo‘yicha ildizlar sonini aniqlashda qo‘llaniladi. Rushe Teoremasining Formallanishi Teorema (Rushe teoremasi): Agar f(z)f(z)f(z) va g(z)g(z)g(z) ikki analitik funksiya bo‘lsa va DDD doirasida f(z)f(z)f(z) va g(z)g(z)g(z) ni tahlil qilsak, shuningdek, CCC konturi DDD-ni o‘rab olsa, quyidagi shartlar bajarilsa: f(z)−g(z) < f(z) |f(z) - g(z)| < |f(z)| f(z)−g(z) < f(z) bo‘lsa har bir zzz ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ nuqtada CCC konturida. g(z)g(z)g(z) ning ildizlari DDD-da mavjud bo‘lmasa yoki ular faqatgina CCC- dan tashqarida bo‘lsa. Unda f(z)f(z)f(z) ning ildizlari soni CCC-konturida g(z)g(z)g(z)-ning ildizlari soniga teng bo‘ladi. Matematik formulasi : Agar f(z)f(z)f(z) va g(z)g(z)g(z) funksiya, DDD doirasida analitik va CCC konturi bilan o‘ralgan bo‘lsa va quyidagi shart bajarilsa: f(z)−g(z) < g(z) har ∣ ∣ ∣ ∣ bir z C,|f(z) - g(z)| < |g(z)| \quad \text{har bir } z \in C, f(z) ∈ ∣ −g(z) < g(z) har ∣ ∣ ∣ bir z C, ∈$

9Shunda f(z)f(z)f(z) ning DDD- ichidagi ildizlar soni g(z)g(z)g(z)-ning ildizlar soniga
teng bo‘ladi.
Rushe Teoremasining Qo‘llanilishi
Rushe teoremasi bir necha sohadan foydalaniladi, eng ko‘p qo‘llaniladigan joylari:
1. Kompleks funksiyalarning ildizlarini topish:
Teorema yordamida kompleks funktsiyaning ildizlarini aniqlashda qo‘llaniladi.
Bunga misol sifatida:
f(z)=zn−1f(z) = z^n - 1f(z)=zn−1 kabi funktsiyaning ildizlarini topish mumkin,
bunda g(z)=1g(z) = 1g(z)=1 bo‘lishi mumkin.
Bunda, f(z)f(z)f(z) ning ildizlari g(z)g(z)g(z) ning ildizlari bilan bir xil bo‘ladi.
2. Analitik funktsiyalarni taqqoslash:
Teorema yordamida ikki funksiya o‘rtasidagi farqni baholash va ularning
ildizlarining mavjudligini tekshirish mumkin.
3. Kontur integralini hisoblashda:
Agar f(z)f(z)f(z) va g(z)g(z)g(z) orasidagi farqni hisoblasak va bu farq dominant
bo‘lsa, unda teorema orqali kontur integralini hisoblash osonlashadi.
4. Funktsiyalarni aniqlash:
Rushe teoremasi, faqat ildizlar sonini bilish orqali funksiyaning boshqa
xususiyatlarini ham o‘rganish imkonini beradi, masalan, simmetriya yoki takroriy
ildizlar .
Misol (Rushe teoremasining qo‘llanilishi)

$10Misol sifatida, kompleks funktsiya f(z)=z3−1f(z) = z^3 - 1f(z)=z3−1 ni olishimiz mumkin. Ushbu funktsiyaning ildizlarini topish uchun Rushe teoremasi yordamida tahlil qilamiz. 1. Funksiya f(z)=z3−1f(z) = z^3 - 1f(z)=z3−1 ni tahlil qilaylik. Bu funksiyaning ildizlari z3=1z^3 = 1z3=1 bo‘lishi kerak. Ya'ni, bu funktsiya z=1,ei2π/3,ei4π/3z = 1, e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}z=1,ei2π/3,ei4π/3 ildizlarini beradi. Bular 1, 120° va 240° burilishlar bilan joylashgan ildizlar. 2. Shartlarni tekshirish: Bunda g(z)=1g(z) = 1g(z)=1 deb olishimiz mumkin. Endi f(z)−g(z) < g(z) |f(z) - ∣ ∣ ∣ ∣ g(z)| < |g(z)| f(z)−g(z) < g(z) shartini tekshiramiz. ∣ ∣ ∣ ∣ f(z)−g(z) = z3−1 |f(z) - g(z)| = |z^3 - 1| f(z)−g(z) = z3−1 va g(z) =1|g(z)| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 g(z) =1. Bunda, agar zzz kontur CCC-da bo‘lsa, yuqoridagi shart bajariladi. ∣ ∣ 3. Teoremani qo‘llash: Teoremaga ko‘ra, f(z)f(z)f(z) ning ildizlari soni g(z)g(z)g(z) ning ildizlari soniga teng bo‘ladi. Bu holda g(z)=1g(z) = 1g(z)=1, ya'ni f(z)f(z)f(z) ning ildizlari soni g(z)g(z)g(z)-ning ildizlari soniga teng bo‘ladi, bu holatda uchta ildizdan iborat bo‘ladi. Rushe teoremasi kompleks tahlilda ildizlar sonini aniqlash va funksiyalarni taqqoslash uchun muhim vosita hisoblanadi. Teorema yordamida biz, biror funksiya ildizlarining sonini boshqa analitik funktsiya ildizlariga asoslanib topishimiz mumkin. Bu, xususan, kontur integrali va kompleks analiz sohalarida ko‘plab amaliy qo‘llanmalar topadi. Rushe teoremasiga oid masalalar 1-masala$

11Funksiyaning z^5 + 2z^3 + 1 yechimlari sonini |z| < 1 da toping.
f(z) = 2z^3 + 1, g(z) = z^5
|f(z)| > |g(z)|, demak nollar soni 3 ta.
Javob: 3
2-masala
z^7 + 3z^2 + 2 funksiyasining |z|<2 da nechta noli bor?
f(z) = z^7, g(z) = 3z^2 + 2
|f(z)| > |g(z)| konturda, nollar soni: 7
Javob: 7
3-masala
f(z) = z^4 + 5z + 1, |z|<1 da nechta noli bor?
f(z) = 5z + 1, g(z) = z^4
|f(z)| > |g(z)| → nollar soni: 1
Javob: 1
4-masala
f(z) = z^3 + 6z + 10, |z|<2 doirasidagi nol soni?
Turli kombinatsiyalar tekshirildi, lekin Rushe teoremasi bu yerda qo‘llanilmaydi.
Javob: Rushe bilan yechib bo‘lmaydi
5-masala
f(z) = z^6 + 10z + 1, |z|<1 dagi nollar soni?
f(z) = 10z + 1, g(z) = z^6
|f(z)| > |g(z)| → nollar soni: 1
Javob: 1
6-masala
z^8 + 2z + 1, |z|<1 da nollar soni?
Dominant: 2z + 1
Javob: 1
7-masala
z^9 + z^5 + z^2, |z|<1 da nollar soni?
Dominant: z^5 + z^2 → 5 ta nol

12Javob: 5
8-masala
z^4 + 3z^3 + 3z^2 + z + 1, |z|<1 da?
Dominant: 3z^3 → 3 ta nol
Javob: 3
9-masala
z^5 + 4z + 4, |z|<1 da nollar soni?
Dominant: 4z + 4 → 1 ta nol
Javob: 1
10-masala
z^3 + 7z + 5, |z|<1 da nollar soni?
Dominant: 7z + 5 → 1 ta nol
Javob: 1
11-masala
z^6 + 2z^3 + 3, |z|<1 da nollar soni?
Dominant: 2z^3 + 3 → 3 ta nol
Javob: 3
12-masala
z^2 + 10z + 25, |z|<1 da nollar soni?
Dominant: 10z + 25 → 1 ta nol
Javob: 1
13-masala
z^7 + z^6 + z, |z|<1 da nollar soni?
Dominant: z → 1 ta nol
Javob: 1
14-masala
z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1, |z|<1?
Dominant: z + 1 → 1 ta nol
Javob: 1
15-masala

13z^6 + 3z^3 + 9, |z|<1 da nollar soni?
Dominant: 3z^3 + 9 → 3 ta nol
Javob: 3
II BOB. TESKARI FUNKSIYALAR

142.1. Teskari funksiyalar tushunchasi
Ma’lumki, mexanikaning ko’pgina masalalari yuqori tartibli hosilalar yordamida
yechiladi. Shu sababli bu hosilalarni o’rganish ham nazariy ham amaliy ahamiyatga
ega hisoblanadi. Hosila bu-differensial hisobning asosiy tushunchasidir. U funksiya
o zgarishi tezligini ifodalaydi. x0 nuqtaning atrofida berilgan (x) nuqta uchun mavjudʻ
bo lsa, u funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi deyiladi. Kompleks o zgaruvchili
ʻ ʻ
funksiyalarda ham hosila tushunchasi shunga o xshash kiritiladi.
ʻ

Faraz qilaylik y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o`suvchi, (a;b) intervalda
y`=f`(x) hosilaga ega va x (a,b) uchun f`(x) ≠ 0 bo`lsin. Quyidagi belgilashlarni
∀ ∈
kiritamiz: f(a)=α, f(b)=β. U holda y=f(x) funksiya uchun teskari funksiyaning
mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema shartlari bajariladi, chunki y=f(x)
funksiyaning uzluksizligi uning hosilaga ega ekanligidan kelib chiqadi. Shunday
qilib, [a;b] kesmada y=f(x) funksiyaga nisbatan teskari bo`lgan x=φ(y) funksiya
mavjud bo`ladi.

Teskari funksiya – y=f(x) tenglikni x ga nisbatan yechish natijasida hosil
bo ladigan x=g(y) funksiya. Xususan, monoton o suvchi yoki monoton kamayuvchi
ʻ ʻ
uzluksiz funksiyaga teskari funksiya mavjud bo ladi.
ʻ

Teskari funksiya argumenti y ga Δy≠0 orttirma beramiz. U holda x=φ(y) funksiya
biror Δx=φ (y+Δy)-φ (y) orttirma oladi va teskari funksiyaning monotonligidan Δx≠0
, uzluksizligidan esa Δy→0 da Δx→0 ekanligi kelib chiqadi.

Endi x=Φ(y) funksiyaning hosilasini topamiz. Yuqorida aytilganlarni e`tiborga
olsak, hosilaning ta`rifiga ko`ra rasm demak xy`=φ`(y)=1/f`(x) formula o`rinli ekan.

Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o`suvchi, (a;b) intervalning har bir
nuqtasida noldan farqli y`=f`(x) hosilaga ega bo`lsa, u holda bu funksiyaga teskari
bo`lgan x=φ(y) funksiya (f(a);f(b)) intervalda hosilaga ega va y (f(a);f(b)) uchun
∀ ∈
uning hosilasi 1/f`(x) ga teng bo`ladi.

Murakkab funksiya - bir nechta funksiyalarning kompozitsiyasi yordamida
ifodalanadigan funksiya. Masalan, z o zgaruvchi u ning funksiyasi, o z navbatida u
ʻ ʻ
esa x ning funksiyasi bo lsa, u xpjmaj {(x)=z[y(x)} funksiya murakkab funksiya
ʻ
bo ladi. Bunda x o zgaruvchi murakkab funksiyaning erkli o zgaruvchisi, u esa oraliq
ʻ ʻ ʻ

15o zgaruvchi deb ataladi. Murakkab funksiyani hosil qilgan funksiyalarning ko p ʻ ʻ
xossalari murakkab funksiyalar uchun ham o rinli bo ladi. bo ladi. Faraz qilaylik X
ʻ ʻ ʻ
sohada z=φ(x) aniqlangan bo’lib, uning o’zgarish sohasi Z dan iborat, Z sohada esa
y=f(z) funksiya aniqlangan bo’lsin. U vaqtda, sohada y=f(φ(x)) aniqlangan bo’ladi va
uni murakkab funksiya yoki f funksiyalarning superpazitsiyasi deb ataladi. Bazan bu
funksiyaning funksiyasi deb ham yuritiladi. Yuqorida keltirilgan murakkab funksiya
tushinchasida x argument y funksiyadan iborat bo’lib, z funksiya oraliq o’zgaruvchi
(argument) sifatida qatnashishi ravshandir. Murakkab funksiya uchun bir necha oraliq
argumentlar qatnashishi mumkin. Masalan, y=f(φ(φ(x))) murakkab funksiya, z=φ(u),
u=φ(x) oraliq o’zgaruvchilar yoradamida hosil qilingandir. Qisqa qilib aytganda,
funksiya argumenti o’rniga funksiya qo’yib hosil qilingan (superpozitsiyalash) bir
necha marta bo’lishi mumkinligini eslatamiz va uni murakkab funksiya hosil qilish
jarayoni deb ataymiz.

Murakkab funksiyaning hosilasi. Aytaylik, u=φ(x) funksiya (a,b) intervalda, y=f(u)
funksiya esa (c;d) da aniqlangan bo`lib, bu funksiyalar yordamida y=f(φ(x))
murakkab funksiya tuzilgan bo`lsin (bunda, albatta, x (a,b) da u=φ(x) (c,d) bo`lishi
∈ ∈
talab qilinadi).

Teorema. Agar u=φ(x) funksiya x (a,b) nuqtada hosilaga ega, y=f(u) funksiya esa ∈
u=φ(x) nuqtada hosilaga ega bo`lsa, u holda y=f(φ(x)) murakkab funksiya x nuqtada
hosilaga ega va (f(φ(x)))`=f`(u)× φ`(x) formula o`rinli bo`ladi.

Isboti. u=φ(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo`lganligi uchun uning x
nuqtadagi orttirmasini formuladan foydalanib Δu=φ`(x)Δx+αΔ x ko`rinishda yozis
mumkin, bu yerda Δx→;0 da α→0. Shunga o`xshash, y=f(u) funksiyaning u
nuqtadagi orttirmasini Δy=f`(u)Δu+βΔu ko`rinishda yozish mumkin, bunda Δu→0 da
β→0. So`ngi tenglikdagi Δu o`rniga uning tenglik bilan aniqlangan ifodasini
qo`yamiz. Natijada Δy=f`(u)(φ`(x)Δx+αΔx)+β(φ`(x)Δx+αΔx)= f`(u)φ`(x)Δx+
(f`(u)α+φ`(x)β+αβ)Δx tenglikka ega bo`lamiz.

Agar Δx→0 bo`lsa, (5.2) tenglikdan α→0 va Δu→0 bo`lishi, agar Δu→0 bo`lsa, u
holda (5.3) tenglikdan β→0 ekanligi kelib chiqadi. Bulardan esa Δx→0 da

16f`(u)α+φ`(x)β+αβ cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni γ bilan
belgilaymiz.
Shunday qilib, Δy=f`(u)φ`(x)Δx+γΔx tenglik o`rinli. Bundan Δy/Δx=f`(u)φ`(x)+γ
va formulaΔy/Δx=f`(u)φ`(x) o`rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa y`= f`(u)φ`(x)
ekanligini isbotlaydi.

Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi oraliq o`zgaruvchi
bo`yicha olingan hosila va oraliq o`zgaruvchidan erkli o`zgaruvchi bo`yicha olingan
hosilalar ko`paytmasiga teng.

Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada y o`zgaruvchi
u ga nisbatan yu` marta tez, u esa x ga nisbatan ux` marta tez o`zgarsa, u holda y
o`zgaruvchi x ga nisbatan yu`ux` marta tez o`zgaradi, ya`ni yx`=yu`ux`.

Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo`lgan funksiyalar
kompozitsiyasi uchun ham o`rinli. Masalan, agar y=f(u), u=φ(t), t=h(x) bo`lsa, u
holda yx`=yu`ut`tx` tenglik o`rinli bo`ladi.

Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari:

Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali formulalarini
foydalangan holda, (u(x))μ ko`rinishdagi murakkab funksiya uchun quyidagi
formulalarni yozish mumkin: ((u(x))μ)`=μ(u(x))μ-1×u`(x), d((u(x))μ)= μ(u(x))μ-
1×u`(x)dx.

Masalan y=(x2+1)3 funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu misolda
u(x)=(x2+1), μ=3. Demak, yuqoridagi formulaga ko`ra y`=3(x2+1)
2×((x2+1)`=3((x2+1) 2×2x=6x(x2+1) 2 bo`ladi.

Ko`rsatkichli funksiyaning hosilasi. y=ax (a>0, a≠1) ko`rsatkichli funksiya uchun
Δy=ax+Δx -ax=ax(aΔx-1) va Δy/Δx=ax(aΔx-1)/Δx.

Ko`rinib turibdiki, y=ex funksiya ajoyib xossaga ega: uning hosilasi o`ziga teng
ekan.

17 Misol. y=ex funksiya grafigi Oy o`qini qanday burchak ostida kesib o`tadi?
Yechish. Funksiya grafigi Oy o`qini (0;1) nuqtada kesib o`tadi. Funksiya grafigiga
shu nuqtasida o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y`=ex va
y`(0)=e0=1, bundan esa urinmaning Ox o`qi bilan kattaligi π/4 ga teng bo`lgan
burchak tashkil qilishi kelib chiqadi. U holda urinma Oy o`qi bilan ham kattaligi π/4
ga teng bo`lgan burchak tashkil qiladi. Shu tariqa umumta’lim maktablarida
matematika fani oddiyidan murakkabiga tomon o’tilib, o’quvchilarga o’rgatilib
boriladi.

Xulosa qilib aytadigan bo’lsak, o’quvchilarni matematika faniga qiziqishini
kuchaytirish, iqtidorli bolalarni ixtisoslashtirilgan maktablarda namunali o’qitish,
matematika fanini chuqurlashtirib o’tishni sifatli va samarali tashkil etib, ta’lim
samaradorligini oshirish va sohada yuqori ko’rsatkichlarga erishish bosh vazifasimiz
hisoblanadi. Yurtboshimiz aytganlaridek:-|“Matematika hamma aniq fanlarga asos.
Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli, keng tafakkurli bo‘lib o‘sadi, istalgan sohada
muvaffaqiyatli ishlab ketadi”.

18 Shuningdek, bugungi kunda matematika fanidan bilimlarni baholash bo‘yicha
milliy sertifikatlash tizimini joriy etilishi ham bejizga emas, albatta. Bu o’z navbatida
matematika fani o’qituvchilaridan mukammallik va mohirlik bilan bir qatorda
tashabbuskorlik va fidoiylikni ham talab etadi.
Tеskаri trigоnоmеtrik funksiyalаrgа o`tishdаn аvvаl umumаn tеskаri funksiya
hаqidаgi izоh bеrib o`tаmiz.
Fаrаz qilаylik; y=f(x) funksiya birоr X sоhаdа bеrilgаn bo`lsin vа x аrgumеnt
X sоhаdа o`zgаrgаndа, bu funksiya qаbul qilgаn bаrchа qiymаtlаr to`plаmi Y bilаn
ifоdаlаnsin. Оdаtdа, X vа Y lаr оrаliqlаrdаn ibоrаt bo`lаdi.
Biz Y sоhаdаn birоr y=y0 qiymаtni tаnlаylik; bu vаqtdа X sоhаdаn bizning
funksiyamiz хuddi shu y0 gа tеng bo`lаdigаn x=x0 qiymаt, аlbаttа, tоpilаdi,
dеmаk, f(x0)=y0 bo`lаdi.
x0 ning bundаy qiymаtlаri bir qаnchа bo`lishi hаm mumkin. Shundаy qilib, Y
sоhаdаgi y ning hаr bir qiymаtigа x ning bittа yoki bir qаnchа qiymаti mоs kеlаdi;
shu bilаn Y sоhаdа bir qiymаtli yoki ko`p qiymаtli x=g(y) funksiya аniqlаnib, buni
y=f(x) funksiyaning tеskаri funksiyasi dеyilаdi.
M i s о l l а r qаrаymiz:
1) y=ax (a>1) funksiyani оlаylik, bu yеrdа x аrgumеnt Х=(-;+) оrаliqdа
o`zgаrаdi. Funksiya u ning qiymаtlаri Y=(0; +) оrаliqni tаshkil qilаdi, shu bilаn birgа,
bu оrаliqdаgi hаr bir y gа X dаn birginа x=logay qiymаt mоs kеlаdi. Bu hоldа
tеskаri funksiya b i r q i y m а t l i bo`lаdi.
2) Аksinchа, y=x2 funksiya uchun x аrgumеnt X=(-; +) оrаliqdа o`zgаrsа,
tеskаri funksiya ikki qiymаtli bo`lаdi, chunki Y[0; +) оrаliqdаgi y ning hаr bir
qiymаti uchun X dа ikkitа x= qiymаt mоs kеlаdi. Оdаtdа, bu ikki qiymаtli funksiya
o`rnigа x=+ vа x=- funksiya (ikki qiymаtli funksiyaning “shохchаlаri”) tеkshirilаdi.
Bulаrning hаr birini аlоhidа y=x2 gа tеskаri funksiya dеb qаrаsh hаm mumkin, fаqаt
bu vаqtdа x ning o`zgаrish sоhаsi [0; +) yoki (-; 0] оrаliq bilаn chеgаrаlаngаn, dеb
fаrаz qilish kеrаk.
Bеrilgаn y=f(x) funksiyaning grаfigigа qаrаb, bungа tеskаri x=g(y)
funksiyaning bir qiymаtli bo`lish yoki bo`lmаsligini sеzish оsоndir. Аgаr х o`qqа

19pаrаllеl bo`lgаn hаr bir to`g`ri chiziq bu grаfikni fаqаt bittа nuqtаdа kеssа, u hоldа
tеskаri funksiya bir qiymаtli bo`lаdi. Аksinchа, bundаy to`g`ri chiziqlаrdаn bа`zilаri
grаfikni bir nеchtа nuqtаdа kеssа, tеskаri funksiya ko`p qiymаtli bo`lаdi. Bu hоldа
grаfikkа qаrаb, hаr bir bo`lаkkа bu funksiyaning bir qiymаtli “shохchаsi” mоs
kеlаdigаn qilib, х ning o`zgаrish оrаlig`ini bo`lаklаrgа bo`lish mumkin. Mаsаlаn,
1-chizmаdаgi y=x2 funksiyaning grаfigi bo`lgаn pаrаbоlаgа birinchi
qаrаshimizdаyoq, uning tеskаri funksiyasi ikki qiymаtli ekаnini аniq ko`rаmiz vа
tеskаri funksiyaning bir qiymаtli “shохchаlаrini” оlish uchun pаrаbоlаning o`ng vа
chаp bo`lаklаrini, ya`ni х ning musbаt vа mаnfiy qiymаtlаrini аlоhidа qаrаsh еtаrlidir.
Аgаr х=g(y) funksiyasi y=f(x) funksiyagа tеskаri bo`lsа, u vаqtdа bu ikki
funksiyaning grаfigi bir хil bo`lishi rаvshаn. Tеskаri funksiyaning аrgumеntini hаm х
bilаn bеlgilаshni, ya`ni x=g(y) funksiya o`rnigа y=g(x) dеb yozishni tаlаb etish
mumkin. U vаqtdа gоrizоntаl o`qni y o`q dеb vа vеrtikаl o`qni esа x o`q (yangi)
gоrizоntаl, y o`q (yangi) vеrtikаl bo`lsin dеsаk, u vаqtdа bu o`qlаrning o`rinlаrini
аlmаshtirib, birining o`rnigа ikkinchisini qo`yish kеrаk, bu esа grаfikni hаm
o`zgаrtirаdi. Buni аmаlgа оshirish uchun xOy chizmа tеkisligini birinchi kооrdinаtа
burchаk bissеktrisаsi аtrоfidа 180 gа аylаntirish hаmmаdаn hаm qulаydir
Shundаy qilib, охiri y=g(x) ning grаfigi y=f(x) ning grаfigini shu bissеktrisаgа
nisbаtаn ko`zgudаgi аksi dеb оlish mumkin.
2. Funksiyaning supеrpоzitsiyasi.
Funksiyalаrning supеrpоzitsiyasi (yoki o`rnigа qo`yish) tushunchаsi bilаn
tаnishаylik. Bu tushunchа bеrilgаn funksiyaning аrgumеnti o`rnigа bоshqа
аrgumеntgа bоg`liq bo`lgаn funksiyani qo`yishdаn ibоrаtdir. Mаsаlаn, y=sinx vа
z=lgy funksiyalаrning supеrpоzitsiyasi z=lgsinx funksiyani bеrаdi; shungа o`хshаsh
vа hоkаzо funksiyalаr hаm hоsil bo`lаdi.
Umumаn, y=f(x) funksiya x ning hаmmа qiymаtlаri uchun X={x} sоhаdа
аniqlаngаn vа shu bilаn birgа bu funksiyaning hаmmа qiymаtlаri esа Y={y}

20sоhаgа kirgаn dеb fаrаz etаylik. Endi z=(y) funksiya хuddi Y={y}sоhаdа
аniqlаngаn bo`lsin. U vаqtdа z o`zgаruvchining o`zi y о r q а l i x ning
funksiyasi bo`lаdi, ya`ni: z=(f(x)).
х ning X sоhаdаgi bеrilgаn qiymаti bo`yichа аvvаl y ning Y dаgi ungа mоs
qiymаtini (f bеlgi bilаn hаrаktеrlаngаn qоnun bo`yichа) tоpаmiz, so`ngrа y ning bu
qiymаtigа muvоfiq z ning qiymаtini ( bеlgi bilаn hаrаktеrlаngаn qоnun bo`yichа)
аniqlаymiz; z ning bu qiymаtini x ning tаnlаngаn qiymаtigа mоs dеb hisоblаnаdi.
Hоsil qilingаn funksiyaning funksiyasi yoki murаkkаb funksiya f(x) vа (y)
funksiyalаrning supеrpоzitsiyasi nаtijаsidа vujudgа kеldi.
Bundаgi f(x) funksiyaning qiymаtlаri, (y) ni аniqlоvchi Y sоhаdаn chеtgа
chiqmаydi dеgаn fаrаzimiz g`оyat muhimdir; аgаr bu fаrаzni tushirib qоldirilsа,
mа`nоsizlik yuz bеrishi mumkin. Mаsаlаn, z=lgy, y=sinx dеb оlib, biz fаqаt x
ning sinx>0 ni qаnоаtlаntiruvchi qiymаtlаriniginа оlаmiz, bo`lmаsа lgsinx ifоdа
mа`nоgа egа bo`lmаy qоlаdi.
Murаkkаb funksiyaning hаrаktеristikаsi x vа z оrаsidаgi funksiоnаl munоsаbаtning
tаbiаti bilаn emаs, bаlki bu munоsаbаtning bеrilish usuli bilаnginа bоg`lаngаnligini
tа`kidlаb o`tish fоydаli dеb hisоblаymiz. Mаsаlаn, [-1,1] dаgi y uchun funksiya vа
dаgi x uchun y=sinx funksiya bеrilgаn bo`lsin.
U vаqtdа: .
Bu yеrdа cosx funksiyasi murаkkаb ko`rinishidа bеrilgаn bo`lib qоldi.
Endi, funksiyalаrning supеrpоzitsiyasi tushunchаsi to`lа аnglаshilgаndаn kеyin,
аnаlizdа tеkshirilаdigаn eng оddiy funksiyalаr sinflаrini hаrаktеrlаshimiz mumkin:
bulаr, yuqоridа ko`rsаtilgаn elеmеntаr funksiyalаr, so`ngrа bulаrdаn to`rttа аrifmеtik
аmаlni ishlаtish vа supеrpоzitsiyalаshni chеkli sоn mаrtа kеtmа-kеt qo`llаsh
nаtijаsidа kеlib chiqqаn funksiyalаrdir. Bu funksiyalаrni elеmеntаr funksiyalаr оrqаli
chеkli ko`rinishdа ifоdаlаnuvchi funksiyalаr dеb, bа`zаn esа fаqаt elеmеntаr
funksiyalаr dеb hаm аtаlаdi.
3. Funksiyalarning kompozitsiyasi.

21Agar u=g(x) funksiya biror E sohada, y=f(u) funksiya E(g) sohada aniqlangan
bo`lsa, u holda y=f(g(x)) funksiyani E sohada aniqlangan murakkab funksiya yoki f
bilan g ning kompozitsiyasi deyiladi va orqali belgilanadi, ya`ni ()(x)=f(g(x))
Misol. y=, u=1-x. Bunda y= funksiya (-;1] da aniqlangan murakkab funksiyadir.
Faraz qilaylik funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1)har bir yY uchun y=f(x) tenglikni qanoatlantiruvchi xX element mavjud , yani
Y=E(f);
2) , yani X tagi turli elementlar Y da turli obrazlarga ega
Har bir yY uchun y=f(x) tenglikni qanoatlantiruvchi xX ni mos qo`yamiz. Natijada Y
to`plamda aniqlangan x=g(y) funksiyaga ega bo`lamiz, bu funksiya y=f(x) funksiyaga
teskari funksiya deyiladi. Teskari funksiya f -1 (y) orqali belgilanadi.
Ravshanki , bunda ; tengliklar bajariladi.
Misol. x= funksiya y=x3 funksiyaga teskari funksiya bo`ladi.
Odatda x argument, y funksiya deb qaralganligi uchun y=f(x) funksiyaga teskari
bo`lgan x=g(y) funksiyani topganimizdan keyin x va y larni o`rinlarini almashtirib
y=g(x) funksiyaga ega bo`lamiz. y=g(x) funksiya y=f(x) funksiyaga teskari funksiya
deb qaraladi.
Misol. y=3x-1, , ,
Demak, funksiya y=3x-1 funksiyaga teskari funksiya bo`ladi.
y=f(x) va y=g(x) funksiyalar o`zaro teskari funksiyalar bo`lsa, ularning grafiklari
1- va 3- chorak bissektrisalariga nisbatan simmetrik bo`ladi.

$22 2.2. Teskari funksiyalarni topish usullari Teskarі funksiyalarni (ya'ni, invers funksiyalarni ) topish – bu matematikada keng qo‘llaniladigan muhim tushunchadir. Quyida teskari funksiyani topish usullari bosqichma-bosqich tushuntiriladi: 1. ✅ Funksiyaning teskari bo'lishi uchun shart Funksiya bir qiymatli (ya'ni har bir xxx qiymati uchun yagona yyy mavjud) bo‘lishi kerak. Funksiya to‘liq o‘suvchi yoki to‘liq kamayuvchi bo‘lsa – teskari funksiya mavjud bo‘lishi kafolatlanadi. 2. ✅ Teskari funksiyani topish bosqichlari Agar y=f(x)y = f(x)y=f(x) berilgan bo‘lsa, uning teskari funksiyasini quyidagi bosqichlar orqali topamiz: Bosqichlar: y=f(x)y = f(x)y=f(x) deb yozamiz. xxx ni yyy orqali ifodalaymiz: x=f−1(y)x = f^{-1}(y)x=f−1(y) Oxirgi ifodada nomlarni almashtiramiz: y=f−1(x)y = f^{-1}(x)y=f−1(x) 3. ✅ Misollar bilan tushuntirish Misol 1: Berilgan: y=2x+3y = 2x + 3y=2x+3 Teskari funksiyani topamiz:$ $23y=2x+3y = 2x + 3y=2x+3 xxx ni topamiz: x=y−32x = \frac{y - 3}{2}x=2y−3 Endi nomlarni almashtiramiz: y=x−32 f−1(x)=x−32y = \frac{x - 3}{2} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x - 3}⇒ {2}y=2x−3 f−1(x)=2x−3 ⇒ Misol 2: Berilgan: y=1x+2y = \frac{1}{x + 2}y=x+21 Teskari funksiyani topamiz: y=1x+2y = \frac{1}{x + 2}y=x+21 xxx ni topamiz: x+2=1y x=1y−2x + 2 = \frac{1}{y} \Rightarrow x = \frac{1}{y} - 2x+2=y1 ⇒ x=y1 ⇒ −21 Nomlarni almashtiramiz: f−1(x)=1x−2f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 2f−1(x)=x1 −2 4. ✅ Grafikdan foydalanish Agar grafik berilgan bo‘lsa, funksiyaning teskari grafigi y=xy = xy=x simmetriyasi orqali olinadi Masalan, to‘g‘ri chiziq yoki parabola grafiklari orqali teskari funksiyaning xatti-harakatini ko‘rish mumkin. 5. ✅ E'tiborli bo‘lish kerak bo‘lgan holatlar$ $24 Har bir funksiyada teskari funksiya mavjud emas (masalan, y=x2y = x^2y=x2 butun xxx to‘plamida teskari emas). Lekin, sohani cheklasak , teskari funksiyani topish mumkin: Masalan: y=x2,x≥0 f−1(x)=xy = x^2, x \geq 0 \Rightarrow f^{-1}(x) = \⇒ sqrt{x}y=x2,x≥0 f−1(x)=x ⇒ TESKARI FUNKSIYA NIMA? Agar f(x)f(x)f(x) funksiyaning teskari funksiyasi mavjud bo‘lsa, u f−1(x)f^{-1} (x)f−1(x) deb belgilanadi va: f(f−1(x))=xvaf−1(f(x))=xf(f^{-1}(x)) = x \quad \text{va} \quad f^{-1}(f(x)) = xf(f−1(x))=xvaf−1(f(x))=x shartlarni qanoatlantiradi. Bu shuni bildiradi: agar fff biror qiymatni chiqarib bersa, f−1f^{-1}f−1 uni qayta asl holatga keltiradi. TESKARI FUNKSIYA BO‘LISHI UCHUN SHARTLAR 1. ✅ Bir qiymatli (in'ektsiyali) bo‘lishi Har bir x D(f)x \in D(f)x D(f) uchun yagona yyy mavjud bo‘lishi kerak. ∈ ∈ 2. ✅ Xususiy hollar: Agar funksiya monoton (ya'ni faqat o‘suvchi yoki faqat kamayuvchi) bo‘lsa – teskari mavjud Agar funksiya simmetrik bo‘lsa – grafigi bo‘yicha teskari topish osonlashadi TESKARI FUNKSIYANI TOPISH USULLARI (KENGROQ IZOH BILAN) 1. Algebraik usul$ $25Bu eng keng tarqalgan usul bo‘lib, yuqorida ko‘rib o‘tganimizdek, quyidagi bosqichlarda bajariladi: Qadamlar: y=f(x)y = f(x)y=f(x) deb yozamiz. Tenglamani xxx bo‘yicha yechamiz. Olingan natijada x=...x = ...x=... ko‘rinishdagi ifodani hosil qilamiz. So‘ngra xxx va yyy o‘rnini almashtirib, f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x) deb yozamiz. 2. Grafik usul Agar grafik berilgan bo‘lsa: Teskari funksiyaning grafigi y=xy = xy=x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘ladi. Masalan: Agar f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1 bo‘lsa, uning grafigi chiziq bo‘lib, f−1(x)=x−12f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}f−1(x)=2x−1 grafigi unga simmetrik bo‘ladi. 3. Kompozitsiya usuli orqali tekshirish Topilgan teskari funksiyani to‘g‘riligini tekshirish uchun: f(f−1(x))=xvaf−1(f(x))=xf(f^{-1}(x)) = x \quad \text{va} \quad f^{-1}(f(x)) = xf(f−1(x))=xvaf−1(f(x))=x bo‘lishi kerak. Agar bu tengliklar to‘g‘ri bo‘lsa – demak, siz teskari funksiyani to‘g‘ri topgansiz.$ $26 MAXSUS FUNKSIYALARNING TESKARILARI Funktsiya Teskari funksiya f(x)=ax+bf(x) = a x + bf(x)=ax+b f−1(x)=x−baf^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}f−1(x)=ax−b f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn f−1(x)=xnf^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}f−1(x)=nx , x≥0x \geq 0x≥0 bo‘lsa f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex f−1(x)=ln (x)f^{-1}(x) = \ln(x)f−1(x)=ln(x) f(x)=ln (x)f(x) = \ ln(x)f(x)=ln(x) f−1(x)=exf^{-1}(x) = e^xf−1(x)=ex f(x)=sin (x)f(x) = \ sin(x)f(x)=sin(x) f−1(x)=arcsin (x)f^{-1}(x) = \arcsin(x)f−1(x)=arcsin(x), x [−1,1]x \in [-1,1]x [−1,1], x [−π2,π2]x \in [-\frac{\pi}{2}, \ ∈ ∈ ∈ frac{\pi}{2}]x [−2π ∈ ,2π ] da f(x)=tan (x)f(x) = \ tan(x)f(x)=tan(x) f−1(x)=arctan (x)f^{-1}(x) = \arctan(x)f−1(x)=arctan(x), x (−π2,π2)x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})x (−2π ∈ ∈ ,2π ) da AMALIY MISOLLAR Misol 1: Berilgan: f(x)=x−43f(x) = \frac{x - 4}{3}f(x)=3x−4 Teskari funksiyani toping:$ $27y=x−43y = \frac{x - 4}{3}y=3x−4 xxx ni topamiz: x=3y+4x = 3y + 4x=3y+4 Nom almashtiramiz: f−1(x)=3x+4f^{-1}(x) = 3x + 4f−1(x)=3x+4 Misol 2 (murakkabroq) f(x)=2x+5,x≥−52f(x) = \sqrt{2x + 5}, \quad x \geq -\frac{5}{2}f(x)=2x+5 ,x≥−25 y=2x+5y = \sqrt{2x + 5}y=2x+5 Kvadratga oshiramiz: y2=2x+5 x=y2−52y^2 = 2x + 5 \Rightarrow x = \frac{y^2 - 5}⇒ {2}y2=2x+5 x=2y2−5 ⇒ Nom almashtiramiz: f−1(x)=x2−52f^{-1}(x) = \frac{x^2 - 5}{2}f−1(x)=2x2−5 DOMEN VA OBRAZ (soha va qiymatlar to‘plami) Teskari funksiyaning: Soha (domain) = Asl funksiyaning qiymatlar to‘plami (range) Qiymatlar to‘plami (range) = Asl funksiyaning sohasi (domain) Masalan: Agar f(x)=x2,x≥0f(x) = x^2, x \geq 0f(x)=x2,x≥0 bo‘lsa, uning qiymatlar to‘plami y≥0y \geq 0y≥0. Demak, f−1(x)=xf^{-1}(x) = \sqrt{x}f−1(x)=x , bu yerda soha ham x≥0x \geq 0x≥0. Teskari funksiyani topishda muhim qadamlar:$

28 1. Algebraik tenglamani teskari tarzda yechish✅
2. Soha va qiymatlarni tekshirish
✅
3. Kompozitsiya orqali tekshirish
✅
4. Grafikdan vizual tushuncha olish
✅
Teskari funksiyalar: 10 ta misol va 10 ta masala
10 ta Misol (teskari funksiyalarni topish)
1. Funksiya: f(x) = 2x + 3 → Teskari funksiya: f ¹(x) = (x - 3)/2
⁻
2. Funksiya: f(x) = (x - 1)/(x + 2) → Teskari funksiya: f ¹(x) = (2x + 1)/(1 - x)
⁻
3. Funksiya: f(x) = √(x + 5) → Teskari funksiya: f ¹(x) = x² - 5
⁻
4. Funksiya: f(x) = ln(x - 2) → Teskari funksiya: f ¹(x) = e + 2
⁻ ˣ
5. Funksiya: f(x) = 1/x → Teskari funksiya: f ¹(x) = 1/x
⁻
6. Funksiya: f(x) = x³ → Teskari funksiya: f ¹(x) = x
⁻ ∛
7. Funksiya: f(x) = e^(2x) → Teskari funksiya: f ¹(x) = (1/2)ln(x)
⁻
8. Funksiya: f(x) = tan(x), x (-π/2, π/2) → Teskari funksiya: f ¹(x) = arctan(x)
∈ ⁻
9. Funksiya: f(x) = 3√(x - 1) → Teskari funksiya: f ¹(x) = (x/3)² + 1
⁻
10. Funksiya: f(x) = 2/(x - 4) → Teskari funksiya: f ¹(x) = (2 + 4x)/x
⁻
10 ta Masala (yechimi bilan)
1. Masala: f(x) = 5x - 7 → Yechim: f ¹(x) = (x + 7)/5
⁻
2. Masala: f(x) = (3x + 1)/(x - 2) → Yechim: f ¹(x) = (2x + 1)/(x - 3)
⁻
3. Masala: f(x) = x², x ≥ 0 → Yechim: f ¹(x) = √x
⁻
4. Masala: f(x) = ln(3x) → Yechim: f ¹(x) = e / 3
⁻ ˣ
5. Masala: f(x) = √(2x - 1) → Yechim: f ¹(x) = (x² + 1)/2
⁻
6. Masala: f(x) = 4/(x + 1) → Yechim: f ¹(x) = 4/x - 1
⁻
7. Masala: f(x) = 2 → Yechim: f ¹(x) = log x
ˣ ⁻ ₂
8. Masala: f(x) = x³ + 1 → Yechim: f ¹(x) = (x - 1)
⁻ ∛
9. Masala: f(x) = (x + 3)/(2x - 1) → Yechim: f ¹(x) = (x + 3)/(2x - 1)
⁻
10. Masala: f(x) = (1 + sin(x))/(1 - sin(x)), -π/2 < x < π/2 → Yechim: f ¹(x) =
⁻
arcsin((x - 1)/(x + 1))

29 Xulosa
Matematik analizning chuqur yo‘nalishlaridan biri hisoblangan kompleks funksiyalar
nazariyasi zamonaviy fan va texnologiyalar uchun muhim poydevor yaratadi.
Ayniqsa, Rushe teoremasi bu yo‘nalishdagi markaziy teoremalardan biri bo‘lib, u

30analitik funksiyalarning nol (ildiz) nuqtalari haqidagi muhim ma'lumotlarni olishga
xizmat qiladi. Teoremaning asosiy mohiyati shundan iboratki, agar ikki kompleks
funksiyaning moduli kontur bo‘ylab o‘zaro yaqin bo‘lsa, u holda ularning kontur
ichidagi ildizlar soni ham teng bo‘ladi. Bu esa ko‘p hollarda murakkab funksiyalarni
soddalashtirish va ularni qulayroq funksiyalar bilan almashtirish orqali masalalarni
yengil yechishga imkon beradi. Rushe teoremasi ko‘plab boshqa teoremalar, masalan,
Argument printsipi, Rouché–Hurwitz teoremasi va kompleks integrallar bilan uzviy
bog‘liq bo‘lib, uning qo‘llanilish sohasi matematikadan tashqari fizikada,
elektrotexnikada, hatto iqtisodiy modellashtirishda ham mavjud.
Shuningdek, matematikada teskari funksiyalar tushunchasi ham muhim
ahamiyatga ega bo‘lib, u funksiyaning kirish va chiqish qiymatlari o‘rtasidagi
bog‘liqlikni teskari tartibda ifodalash imkonini beradi. Teskari funksiyaning mavjud
bo‘lishi uchun dastlabki funksiyaning bir-biriga mos (injektiv) va uzluksiz bo‘lishi
talab etiladi. Analitik (ya'ni hosilali) funksiyalar uchun esa teskari funksiyaning
mavjudligi teskari funksiya teoremasi orqali isbotlanadi. Bu teorema funksiyaning
ma’lum bir nuqtadagi hosilasi noldan farq qilsa, uning atrofida teskari funksiya
mavjud bo‘lishini kafolatlaydi. Bu xossa turli masalalarda, xususan, tenglamalarni
yechish, koordinatalar almashtirish, grafik tahlil va fizikaning matematik modellarida
keng qo‘llaniladi. Ayniqsa, kompleks sohada teskari funksiyalar analitik xossalarga
ega bo‘lishi sababli ular orqali funksiyalarni kompozitsiyalash, deformasiyalarni
modellashtirish va ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarni o‘rganish mumkin.
Umuman olganda, Rushe teoremasi va teskari funksiyalar nazariyasi o‘zaro
bog‘liq bo‘lib, matematik analizning chuqur tushunchalarini tashkil qiladi. Ular orqali
funksiyalarning tuzilishini o‘rganish, ularning xatti-harakatini tahlil qilish va amaliy
muammolarga tatbiq etish imkoniyati paydo bo‘ladi. Rushe teoremasi yordamida
murakkab funksiyalarning ildizlar soni haqida xulosa qilish mumkin bo‘lsa, teskari
funksiyalar yordamida funksiyaning teskari bog‘lanishini qurish mumkin bo‘ladi.
Ushbu mavzularni chuqur o‘zlashtirish kelgusidagi matematik, texnik va ilmiy
faoliyatda mustahkam nazariy asos yaratadi hamda talabalarni matematik fikrlash
madaniyatiga chuqurroq olib kiradi.

31Foydalanilgan adabiyotlar
1. Karimov U.A. – Matematik analiz (I va II qismlar). Toshkent: O‘zbekiston milliy
universiteti, 2019.

322. Rasulov M.M. – Kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi. Toshkent: Fan
nashriyoti, 2005.
3. Polovinkin E.S., Balashov M.V. – Matematicheskiy analiz. Moskva: Vysshaya
shkola, 2011.
4. Rudin W. – Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, 1987.
5. Smirnov V.I. – Kurs vysshey matematiki. Tom III – Kompleksnyy analiz. Moskva:
Nauka, 2004.
6. Brown J.W., Churchill R.V. – Complex Variables and Applications. McGraw-Hill,
2009.
7. Ablowitz M.J., Fokas A.S. – Complex Variables: Introduction and Applications.
Cambridge University Press, 2003.
8. Markushevich A.I. – Teoriya analiticheskikh funktsiy. Moskva: Nauka, 1976.
9. Lang S. – Complex Analysis. Springer, 1999.
10. Kholmatov A.I. – Matematik analiz asoslari. Toshkent: TDPU, 2018.
11. Conway J.B. – Functions of One Complex Variable. Springer, 1978.
12. Shabat B.V. – Vvedeniye v kompleksnyy analiz. Moskva: Nauka, 1985.
13. Gakhov F.D. – Granichnye zadachi. Moskva: Nauka, 1987.
14. Stewart J. – Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning, 2016.

3315. Lavrentyev M.A., Shabat B.V. – Metody teorii funktsiy kompleksnogo
peremennogo. Moskva: Nauka, 1973.

Купить

Информация о документе

Продавец

Rushe teoremasi va teskari funksiyalar

Похожие документы