Информация о документе

Цена 20000UZS
Размер 371.4KB
Покупки 5
Дата загрузки 02 Ноябрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Benjamin Franklin

Дата регистрации 29 Октябрь 2024

96 Продаж

Splayn funksiyalar yordamida kvadratur formula qurish

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI MIRZO ULUG‘BEK NOMIDAGI O‘ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI MATEMATIKA FAKULTETI AMALIY MATEMATIKA YO‘NALISHI SONLI USULLAR FANIDAN KURS ISH MAVZU: Splayn funksiyalar yordamida kvadratur formula qurish BAJARDI: ________________________ QABUL QILDI: ________________________ Toshkent 2024 Mavzu: Splayn funksiyalar yordamida kvadratur formula qurish Reja: 1. Kirish 2. Funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasi 3. Splayn funksiyalar qurish 4. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati Kirish Hisoblash matematikasi fanining barcha fanlari xususan texnika fanlarida mexanika, aerodinamika, gidrodinamika va boshqa bir qancha yo’nalishlarni rivojlanishida qo’llanilishi jida katta ahamiyatga ega. Xususan funksiyalarni yaqinlashtirishda integrallarini taqribiy hisoblashlarda, undan tashqari integral va singular tenglamalarni taqribiy yechishda juda ko’p qo’llaniladigan kvadratur formulalar hamda kubatur formulalarni qurish va ularni har xil sinflarda xatoliklarini baholash. Qolaversa bu kvadratur va kubatur formulalarning amaliyotda qo’llanilishi juda katta ahamiyatga ega bo’lib hisoblash matematikasi fanining dolzarb muammolaridan hisoblanadi. O’zbekistonda bu sohaning rivojlanishida juda ko’p olimlar ilmiy ishlarini olib borishmoqda. Shulardan bu sohadagu maktabni tashkil qilgan va rivojlantirayotgan olimlar G’.N. Solixov, M.I. Isroilov, X.M. Shodimetov, G’.P. Ismatullayev, E. Shamsiyev, A.R. Hayotov, S.A. Bahromov va boshqa bir qancha olimlar bu sohada izlanishlar olib borishmoqda. Har doim ham hayotda aniq integrallani hisoblash onson bo’lavermaydi. Shu nuqtai nazardan aniq integrallarni taqribiy hisoblash masalasi ham muhim ahamiyatga ega bo’lib, bunda asosan qurilgan kvadratur formulalar va aniq integral orasidagi xatolikni baholash hisoblash matematikasining dolzarb muammolaridan iborat Amaliy masalalarda aniq integral juda ko’p qo’llaniladi. Bu integrallarni taqribiy hisoblash jarayonida kvadratur formulaning xatoligini baholash masalasi qo’yilgan bo’lib, birinchi bo’limda splayn funksiyalar haqida qisqacha ma’lumot berildai. Ikkinchi bo’limda kvadratur formulalar haqida ma’lumot berib o’tildi. Uchinchi bo’limda kvadratur formulaning xatoligini baholashda foydalanadigan ayrim tushunchalar berilgan. To’rtinchi bo’limda splayn funksiyalar yordamida qurilgan kvadratur formulaning xatoligini baholashga bag’ishlangan. Undan so’ng xulosa va adabiyotlar ro’yxati bayon qilingan. Ilova qismida esa kvadratur formulaning xatoligini baholashda foydalanilgan hisolash ishlari EHM yordamida dasturlar tuzilib, natijalar olingan. Funksiyalarni interpolyasiyalash masalasi. Hisoblash matematikasini aksariyat hisoblash metodlari masalaning qo yilishida qatnashadigan funkyiyalarni unga biror,muayyan ma'noda yaqin va ʻ ko rinishi soddaroq bo lgan funksiyalarga almashtirish g oyasiga ʻ ʻ ʻ asoslangan.Funksiyalarni yaqinlashtirish masalasining eng sodda va juda keng qo llaniladigan qismi funksiyalarni interpolyasiyalash ʻ masalasidir.Interpolyasiyalash masalasining asosiy mohiyati quyidagidan iborat.Faraz qilaylik,biror [a,b] oraliqda y=f(x) funksiya berilgan yoki hech bo lmaganda uning ʻ f ( x 0 ) , f ( x 1 ) , … , f ( x n ) qiymatlari ma'lum bo lsin, shu [a,b] ʻ oraliqda aniqlangan va hisoblash uchun qulay bo lgan qandaydir funksiyalar ʻ {p(x)} sinfini , masalan ko pxadlar sinfini olamiz.Berilgan y=f(x) funksiyani [a,b] ʻ oraliqda interpolyasiyalash masalasi, shu funksiyani berilgan sinfning shunday p(x) bilan taqribiy ravishda f ( x ) ≈ p ( x ) almashtirishdan iboratki,bunda x0,x1,… ,xn nuqtalar interpolyasiya tugunlari yoki shunchaki tugun nuqtalar ham deyishadi. p(x) funksiya esa, interpolyasiyalovchi funksiya deyiladi.Agar p(x) funksiya sifatida darajali ko pxadlar sinfi olinsa , u ʻ holda interpolyasiyalash algebraik deyiladi.Algebraik interpolyasiyalash apparati hisoblash matematikasining juda ko p sohalarida qo llaniladi,chunonchi, ʻ ʻ differensiallash va integrallashda transendent, differensial va integral tenglamalarni taqribiy echishlarda ko p qo llaniladi. ʻ ʻ Interpolyasion ko phadlarning mavjudligi va yagonaligi.Bu mavzuni ʻ algebraik interpolyasiyalash masalasi yuzasidan ko rib chiqamiz. ʻ Interpolyasiyalash masalaning qo yilishi quyidagicha: ʻ Darajasi n dan yuqori bo lmagan shunday ko phad qurilsinki, u berilgan (n+1) ta ʻ ʻ x0,x1,… ,xn tugun nuqtalarda berilgan f(x) funksiyaning f(x0),f(x1),… ,f(xn) qiymatlarni qabul qilsin.Bu masalani geometrik nuqtai nazardan quyidagicha talqin qilish mumkin. Darajasi n dan oshmaydigan shunday p(x) ko phad qurilsinki uning grafigiʻ berilgan (n+1) ta M K ( x k , f ( x k )) ¿ nuqtalardan o tsin. ʻ Demak shunday p(x)=C0+C1x+C2x2+… +Cnxn(3) Ko phad qurish talab qilinsin. Bu erda ʻ C0,C1,C2,… ,Cn nomalum koeffisentlar. Bu koeffisentlarni Cm(m=0,n) shunday aniqlash kerakki, ko phad uchun ushbu ʻ p ( x k ) = f ( x k ) , k = 0 , n ( 4 ) tengliklar bajarilsin.(3) dan C0+C1x+C2x2+… +Cnxn= p(xk)(5) (4) asosan (5) dagi o rniga ni qo yamiz.u xolda (5) quyidagi ko rinishni ʻ ʻ ʻ oladi. C 0 + C 1 x k + C 2 x k2 + … + C n x kn = f ( x k ) k = 0 , n ( 6 ) (6) ni k ning xar bir qiymati uchun ochib yozsak Cm(m=0,n) larga nisbatan (n+1) noma'lumli (n+1) ta algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo ladi: ʻ { C0+C1x0+C2x02+… +Cnx0n= f(x0) C0+C1x1+C2x12+… +Cnx1n= f(x1) … … … … … … … … … … … … … … … … … … C0+C1xn+C2xn2+… +Cnxnn= f(xn) Funksiyalarni interpolyatsiyalashda bo‘lingan ayirmalar va ularning xossalari. Tengmas oraliqlar uchun Nyutonning interpolyatsion formulasi. Bizga [a,b] da aniqlangan f(x) funksiyaning [a,b] ga tegishli turli { x k } k = 0n nuqtalarda qiymati ma’lum bo’lsin. Quyidagicha aniqlangan f ( x i , x i + 1 ) = f ( x i + 1 ) − f ( x i ) x i + 1 − x i , i = 0,1 , … , n − 1 miqdorlar birinchi tartibli ayirmali nisbat deyiladi, ular yordamida aniqlangan f( x i , x i + 1 , x i + 2 ) = f ( x i + 1 , x i + 2 ) − f ( x i , x i + 1 ) x i + 2 − x i , i = 0,1 , … , n − 2 miqdorlar ikkinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi. Yuqori tartibliayirmalar nisbati ham shunday aniqlanadi, masalan, k-tartibli f(xi,xi+1,… ,xi+k) va f(xi+1,xi+2,… ,xi+k+1) ayirmalar nisbati ma’lum bo’lsa, (k+1)- tartibli ayirmalar nisbati f ( x i , x i + 1 , … , x i + k + 1 ) = f ( x i + 1 , x i + 2 , … , x i + k + 1 ) − f ( x i , x i + 1 , … , x i + k ) x i + k + 1 − x i aniqlanadi, i=0,1,…,n-k-1. Ayirmalar quyidagi xossalarga ega. 1-xossa. Algebraik yig’indidan olingan ayirmalar nisbati qo’shiluvchilardan olingan ayirmalar nisbatlarining yig’indisiga teng. 2-xossa. O’zgarmasni ayirmalar nisbati belgisidan tashqariga chiqarish mumkin. 3-xossa. Ayirmalar nisbati o’z argumentlariga nisbatan simmetrik funksiyadir. 4-xossa. m-darajali algebraik ko’phaddanolingan k-tartibli ayirmalar nisbati, agar k>m bo’lsa nolga, k=m da o’zgarmasga va k<m bo’lsa argumentlariga nisbatan (m-k)-darajali simmetrik bir jinsli ko’phadga teng. Interpolyatsion ko’phad Ln(x) ning boshqa formasini chiqaramiz. Buning uchun Lagranj interpolyatsion ko’phadi L n ( x ) dan x 0 nuqqtani ishtirok ettirib, birinchi tartibli ayirmalar nisbatini olamiz: Ln(x,x0)= Ln(x)− Ln(x0) x− x0 bundan Ln(x)= Ln(x0)+Ln(x,x0)(x− x0)(1) hosil bo’ladi. Endi x 1 nuqtani qo’llab, L n( x , x 0 , x 1 ) = L n ( x , x 0 ) − L n ( x 0 , x 1 ) x − x 1 ni hosil qilamiz. Bundan Ln(x,x0)= Ln(x0,x1)+Ln(x,x0,x1)(x− x1)(2) bo’ladi. (2) va (1) dan esa Ln(x)= Ln(x0)+Ln(x0,x1)(x− x0)+Ln(x,x0,x1)(x− x0)(x− x1)(3) hosil bo’ladi. Mana shu yo’l bilan ketma-ket hamma nuqtalarni qo’llab, L n ( x ) dan ayirmalar nisbatini topamiz va natijada quyidagiga ega bo’lamiz: Ln(x)= Ln(x0)+Ln(x0,x1)(x− x0)+Ln(x,x0,x1)(x− x0)(x− x1)+… +Ln(x,x0,x1,… ,xn)(x− x0)(x− x1)… (x− xn) L n ( x ) ko’phadning darajasi n ga teng bo’lganligi uchun 4-xossaga asosan Ln(x,x0,x1,… ,xn)= 0 bo'ladi va L n ( x k ) = f ( x k ) , k = 0,1 , … , n ekanligini e’tiborga olsak (4) ifoda quyidagi ko’rinishga keladi: Ln(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x− x0)+f(x,x0,x1)(x− x0)(x− x1)+… +f(x,x0,x1,… ,xn)(x− x0)(x− x1)… (x− xn)(5) Agar x0<x1<… <xn bo’lsa, (5) ifodani Nyutonning oldga interpolyatsiyalash formulasi deyiladi. Agar x0>x1>… >xn bo’lsa, (5) ifodani Nyutonning ortga interpolyatsiyalash formulasi deyiladi. Interpolyatsiyalash xatoligi rn(x)= f(x)− Ln(x) ekanligini nazarga olsak, u holda (4) danrn(x)= f(x,x0,… ,xn)(x− x0)(x− x1)… (x− xn) ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Bundan, o’z navbatida, f ( x , x 0 , … , x n ) = f ( n + 1 ) ( x ) ( n + 1 ) ! hosil bo’ladi. Interpolyatsion ko’phadning Lagranj hamda Nyuton formasi bilan tanishdik, ular yagona ko’phadning yozilishi jihatidan ikki xil ko’rinishidir. Nyutonning (5) interpolyatsion ko’phadi f(x) funksiya uchun f ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f ' ( x 0 ) + ( x − x 0 ) 2 2 ! f ' ' ( x 0 ) + … + ( x − x 0 ) n n ! f ( n)( x 0 ) + ¿ + f ( n + 1 )( x ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 Teylor formulasining ayirmali analogidir. Agar tugun nuqtalar berilgan bo’lib, bir nechta funksiyani interpolyatsiyalash lozim bo’lsa, interpolyatsion ko’phadni Lagranj formasini ishlatish, bordiyu bitta funksiyani interpolyatsiyalashga tugun nuqtalarni ketma-ket jalb qilish talab etilsa, Nyuton interpolyatsion formulasini ishlatish maqsadga muvofiqdir, chunki hisoblash jarayoni ancha kamayadi. Agar {xk}k=0 n – interpolyatsiyalash tugun nuqtalari xk= x0+kh ,k=0,1 ,… ,n ko’rinishda bo’lsa (funksiyan jadvalini tuzishda ishlatiladi) va ularni interpolyatsiyalashga jalb etish tartibi berilishiga qarab interpolyatsion ko’phadning turli formalari kelib chiqadi. Bu holda interpolyatsion ko’phad ifodasida boshqa miqdorlar- funksiyaning chekli ayirmalari ishtirok etadi. Faraz qilaylik, y=f(x) funksiyaning h qadam bilan x k = x 0 + kh , nuqtalarda f ( x k ) qiymatlari berilgan bo’lsin, k=0,1,…, n Quyidagicha aniqlanganfk+1− fk= Δ fk,k=0,1 ,… ,n−1 miqdorlar birinchi tartiblli chekli ayirmalar deyiladi. Xuddi shuningdek, yuqori tartibli chekli ayirmalar aniqlanadi: Δ m f k = Δ ( Δ m − 1 f k ) = Δ m − 1 f k + 1 − Δ m − 1 f k , k = 0,1 , … , n − m + 1 Ayirmalar nisbati bilan chekli ayirmalar orasida quyidagi bog’lanish mavjuddir: f(xk,xk+1,… ,xk+m)= Δmfk m!hm,(7) bu yerda h= xk+1− xk,k=0,1 ,..,n−1. Splayn funksiya haqida tushuncha. Interpolyatsion kubik splaynlar interpolyatsiyalanayotgan ob’ektga yaxshi yaqinlashadi va qurilish sodda ko’rinishda bo’ladi. Qurilayotgan splayn darajasi tugun nuqtalarga bog’liq emas. Qurilayotgan splayn funksiya [a,b] oraliqda emas, balki [x i ,x i+1 ] (i=0, n-1) oraliqlarda quriladi va bu splayn funksiya har bir oraliqlarda bir xil strukturali ko’phadlardan iborat bo’ladi. Ulanish tugun nuqtalarida funksiya va uning hisoblarining ham uzluksizligi talab qilinadi. Shuning uchun [x i ,x i+1 ] (i=0, n-1) barcha oraliqlarda qurilgan splayn funksiyalar ulanib butun [a,b] oraliqda silliq bir funksiyani beradi. Klassik interpolyatsiyalashda esa butun bir [a,b] oraliqda 1 ta funksiya qurilar edi. Shuning uchun ham klassik interpolyatsiyalashga nisbatan splayn funksiyalar yordamida qaralgan interpolyatsiyalash masalasining silliqlik darajasi yuqori va qurilishi jihatidan ham sodda bo’ladi. (i=0, n-1) [x i ,x i+1 ] oraliqlarda qurilgan silliq bo’lakli kophadli funksiyalarga splayn funksiyalar deyiladi. Hisoblash matematikasining yaqinlashish nazariyasida splayn funksiyalar qo’llanilishi 1946 – yil Shonberg tomonidan “Splayn” so’zi fanga kritilgandan boshlangan bo’lib, 50-yillardan keyin juda tez rivojlangan. Funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasida klassik polinomlar orqali interpolyatsiyalash masalsiga yaxshi ekanligini ko’rsatadi. Polinomial interpolyatsion splayn funksiya o’zining: 1. Interpolyatsiya ob’ektiga yaxshi yaqinlashuvchanligi; 2. Qurilishi sodda va EHM algaritmini tuzish juda soddaligi bilan ajralib turadi. Shuning uchun interpolyatsiyalash masalasida splayn funksiyalarni qo’llanilishi hisoblash matematikas fanida dolzarb basalalar hisoblanadi. Splayn funksiyalar kvadratur yordamida qurilgan kvadratur formulalaning xatoligininng bahosi ham klassik interpolyatsion kvadratur formulalarning xatoligining baholaridan ancha kichik bo’ladi. 2.Kvadratur formula haqida tushuncha. Asosan fanning ko’p sohalarida xususan matematika, fizika, meexanika fanida regulyar integrallarni taqribiy hisoblashda kvadratur formulalar asosiy ro’l o’ynaydi. Klassik kvadratur formulalarga Veyershtrass, Chebishev, Lagranj, Nyuton va boshqa kvadratur formulalar kiradi. Splayn funksiya yordamida qurilgan kvadratur formulalar fanda yaqinlashuvchi ob’yektga yaxshi yaqinlashishini ko’rsatadi. Shuning uchun splayn funksiyalar yordamida kvadratur formulalar qurish va bu formulalar yordamida integrallarni taqribiy hisoblash masalalari, hamda ularning xatoliklarini baholash hisoblash matematikasida dolzarb masalalar hisbolanadi. Amaliy va nazariy masalalarda ko’pincha integrallarni taqribiy hisoblash zaruriyati tug’iladi. Bir o’zgaruvchili funksiyalar uchun aniq integral ∫a b f(x)dx ning qiymati, f(x) funksiyaning [a,b] oraliqdan chekli sonda olingan nuqtalardagi qiymatlarining chiziqligi kombinatsiyasi bilan almashtiriladi: ∫ ab f ( x ) dx ≅ ∑ k − 1n A k f ( x k ) bu yerda (k= 1 , n ¿ kvadratur formulaning tugun nuqtalari, A k kvadratur formulaning koeffitsentlari va quyidagi yig’indi ∑ k − 1n A k f ( x k ) kvadratur yig’indi deyiladi. Ushbu RN(f)=∫a b f(x)dx −∑k−1 n Akf(xk) ifoda kvadratur formulaning xatoligi deyiladi. 3.Interpolyatsion kubik splayn yordamida qurilgan kvadratur formulaning xatoligini baholash. Bizga quyida interpolyatsion kubik splayn berilgan: S3(f;x)=∑j=0 3 φj+1(t)f(xi+j−1) Bu yig’indini ochib yozsak S3(f;x)=φ1(t)f(xj−1)+φ2(t)f(xi)+φ3(t)f(xi+1)+φ4(t)f(xi+2) bu yerda φ 1 ( t) = − 1 2 t + t 2 − 1 2 t 3 ; φ 2 ( t) = 1 − 5 2 t 2 + 3 2 t 3 ; ( 1 ) φ 3 ( t) = 1 2 t + 2 t 2 − 3 2 t 3 ; φ 4 ( t) = − 1 2 t 2 + 1 2 t 3 ; t= x− xi h t∈[0,1 ]h= xi+1− xi; (1) Interpolyatsion kubik splayn berilgan. Bu interpolyatsion kubik yordamida qurilgan quyidagi: ∫ ab f( x ) dx ≈ h ∑ K = 1N − 1 f ( x k ¿ ) + h 24 ¿ ¿ ¿ Kvadratur formula berilgan bo’lib, bu kvadratur formulaning xatoligi quyidagicha: RN(f)=∫a b f(x)dx −¿ bo’ladi. 2) Kvadratur formulani xatoligini baholashda foydalanadigan quyidagi ma’lumotlarni kiritamiz: C[a,b] ∥ f ( x ) ∥ c [ a , b ] ¿ x ∈ [ a , b ] max | f ( x ) | normaga ega bo’lgan barcha uzluksiz funksiyalar sinfi. C k [a,b] - k-chi tartibli hosilasigacha uzluksiz funksiyalar sinfi. a= x0<x1<⋯<xN=b setkada f(x) funksiyani [x i , x i+1 ] kesmada tebranish oralig’I quyidagicha xarakterlanadi: ωi(f)¿x'x} left [{x} rsub {i ,} {x} rsub {i+1} right ] } left lline f(x∈ ¿−f(x')¿¿ Funksiya tebranishining eng katta oralig’ini topishm quyidagicha topiladi : ω ( f ) = ω i ( f ) 0 ≤ i ≤ N − 1max − ¿ setkaga bog’liq bo’lmagan f(x) funksiya tebranishining uzluksiz moduli hisoblanadi va quyidagicha ifodalanadi: ω ( f ; h ) ¿ x ' x } left [a,b right ] # left lline {x} ^ { ∈ − x ' ¿ ¿ ≤ h ¿ ¿ max ¿ h ≤ b − a ( 4 ) Barcha uzlusiz funksiyalar uchun quyidagi o’rta qiymat haqidagi munosabat o’rinli: C[a,b], α 1, α 2, ... α n – miqdordagi bir xil ishorali bo’lsa, u holda: C K [a,b] – sinfga tegishli funksiya uchun Logranj ko’rinishidagi qoldiq hadli quyidagi Teylor formulasi o’rinli: f(x)e C[a, b] , a\ , a 2….. a k – miqdorlar bir xil ishorali bo’lsa, ya’ni berilgan oraliqda o’z ishorasini aniqlaydigan bo’lsa, u xolda: a 1 f(x 1 )+ a 2 f (x 2 )+ …+ + a k (x K )= (a 1+ a 2 + … + a k) f(ζ) (5) C k [a, b] sinfga tegishli f (x) funksiya uchun Logranj ko’rinishidagi qoldiq hadli quyidagi Teylor formulasi o’rili: f(x)= f(a)(x−a) 1! +… ϵ+ f(k−1)(a)(x−a)k−1 (K−1)! + fk(ξ)(x−a)k K ! ξЄ [a,X ] (6) Splayn funksiyalarni xatoliklarini baholashda, kvadratur formulalarni xatoliklarini baholashlarda, integrallarni xisoblashlarda, xatoliklari baholanayotgan oraliqlarda, funksiya qiymatlarini argument qiymatlariga orqali ifodalanishlari xatoliklarni baholashda juda ko’p foydalaniladi. Shu nuqtai nazardan quyidagi funksiyalar sinfni kiritamiz: x’,x’’Є[a,b] bo’lib , | f ( x ' ) − f ( x ' ' )| = L | x ' − x ' ' | a , (7) 0 < a ≤ 1 shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfi Gyolder sinfi deyiladi va H a ( [ a , b ] , k ) ko’rinishida belgilanadi. Lipshits sharti Agar Gyolder sinfidagi berilgan shartdagi a=1 bo’lsa Gyolder sinfining kattaroq xususiy holi xosil bo’ladi va Lipshits sharti deyiladi. x ' , x ' ' ∈ ¿ ] bo’lib, | f ( x ' ) − f ( x ' ' )| = h | x ' − x ' ' | ( 8 ) Bu yerda L – Lipshits shartining koeficienti deyiladi. C m H [ a , b ] , x ∈ [ a , b ] - bo’lib, bu oraliqda f ( x ) funksiya va uning t -chi tartibli hosilalarigacha Lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfi, ya’ni C m H [ a , b ] = { f ( x ) : f ( m)( x ) ∈ H ([ a , b ] , L m ) } C m H a [ a , b ] = { f ( x ) : f ( m)( x ) ∈ H a ([ a , b ] , L m ) } t -chi tartibli hosilalargacha uzluksiz bo’lib, Gyolder sinfiga tegishli bo’lgan (Gyolder shartini qanoatlantiruvchi) funkciyalar sinfi. (2) kvadratur formulalarning xatoligini baholashda u kvadratur formulalarning qurilishida asosiy vosita bo’lganligi uchun uning xatoligini baholashda ham kvadratur formulalarning qurilishida foydalanilgan interpolyacion kubik splayning uzliksiz funksiyalardagi xatoligini qiymatlaridan foydalanamiz, shuning uchun interpolyasion kubik splaynning quyidagi baholarini teorema shaklida beramiz. Teorema 1: (1) interpolyasion kubik splayn uchun quyidagi RN(x',f;x) Baho o’rinli: R N ( f : x ) = max a ≤ x ≤ b ∨ S 3 ( x ) − f ( x ) ∨ ≤ R 0 Funksiyaga tegishli bo’lgan sinflar. R0 C [ a 1 , b 1 ] 9 8 ω ( f ; 3 h ) Bu yerda a 1 = a − h ; b 1 = b + h ; bo’lib R 0 qiymatlari quyidagi 1-jadvalda berilgan. 1-jadval (2) kvadratur formulalarning xatoligini baholashni quyidagi teorema shaklida bayon qilamiz. Teorema 2: (2) kvadratur formula uchun quyidagi baho o’rinli ¿ R N ( f x ) ≤ R N bu yerda RN(f,x) (3) formula orqali bayon qilingan. RN ning qiymatlari esa quyidagi 2-jadvalda berilgan. Funksiyaga tegishli bo’lgan sinflar R CH ¿ 3,375 ¿ 2-teoremaning Isbot i – f ( x ) ∈ H [ a , b ] , CH [ a , b ] sinfda baholaymiz, bu degani Lipshits shartini qanoatlantiruvchi uzliksiz funkciyalar sinfi. С[a,b] da S 3 ( f ; x ) splayn funkciyaning bahosidan foydalaniladi. Ck[a,b]da max x',x''∈[a,b]❑ ∨ fk(x')− fk(x'')=ω(fk;h) (9) CkH [a,b]da esa max x',x''∈[a,b]❑ |fk(x')− fk(x'')= Lk|x;− x''∨¿Lk3h (10) ga almashtiriladi. Splayn funkciyani xatoligini baholashda x',x''∈[xi,x+1],i= 0,n−1 ) ga tegishli. x ' , x ' ' tugun nuqtalarda berilgan funkciya qiymatlari orasidagi ¿ f k( x ') − f k ( x ' ') ∨ ¿ ayirmaning eng katta qiymati bilan baholanadi.Baholashda [ x i , x i + 1 ] oraliqda splaynlarni qurilishida 4 ta tugun nuqta qatnashadi va bu tugun nuqtalar orasidagi masofa eng ko’pi bilan 3 h ga teng bo’ladi, ya’ni (2)kvadratur formulalarning xatoligini baholashda esa x ' , x ' ' ∈ [ x i , x i + 1 ] i = 0 , n − 1 oraliqlardagi tegishli bo’lgan x',x'' tugun nuqtalardagi funkciya qiymatlari |fk(x')− fk(x'')|¿ x i + 1 ¿ oraliqda splayn qurilishida qatnashgan tugun nuqtalar orasidagi masofaning maksimum kiymati orkali baxolanadi, ya’ni Liphits shartidan foydalangan xolda baxolanadi. max x∈[a,b]max ¿ =L m ¿ (11) Bu yerda x',x''∈[xi,xi+1] i = 0 , n − 1 oraliqlar oraliklar splainning uzini va xosilalarini uzluksizliti bajarilgan xolda kurilgani uchun bu n ta kichik [x i ,x i+1 ] oraliqchalar silliq ulanib butun [a,b] oraliqda uzluksiz S3(x) spalayn funksiyani beradi va bus plain funksiya [a,b] oraliqda f(x) funkciyani yuqori aniqlikda interpolyatsiyalaydi. Natijada bu splayn yordamida qurilgan kvadratur formulasining xatoligi ham unga katta bo’lmaydi. Isboti. f ( x ) ∈ CH [ a , b ] R N = | ∫ ab S 3 ( x ) dx − ∫ ab f ( x ) dx | = ¿ Endi modul ichidagi ayirmani yozib olamiz va yig’indini ochib chiqib oralig’ida ishorasini o’zgartirmaydigan oraliqlarni aniqlab,o’rta qiymat xaqidagi teoremani qullab ma’lum bir soddalashtirish ishlari bajariladi. ∑ j = 03 φ j + 1 ( t) f ( x i + j − 1 ) − f ( x ) = φ 1 ( t)( f i − 1 ) + φ 2 ( t)( f i ) + φ 3 ( t)( f i + 1 ) + φ 4 ( t)( f i + 2 ) − f ( x ) = ¿ =( − 1 2 t + t 2 − 1 2 t 3 )( f i − 1 ) + ¿ ( 1 − 5 2 t 2 + 3 2 t 3 ¿ ( f i ) + ¿ ) (fi+1)+¿ +( − 1 2 t 2 + 1 2 t 3 ¿ ( f i + 2 ) Bo’lib bu yerda ko’rinib turibdiki φ2(t) va φ3(t) funksiyalar [0:1] oraliqda φ 2 ( t) ≥ 0 φ 3 ( t) ≥ 0 bo’lib o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Huddi shu kabi φ1(t) φ4(t) funksiyalar ham [0;1] oraliqda o’z ishorasini saqlar ekan φ 2 ( t) ≤ 0 ; φ 4 ( t ) ≤ 0 . U holda bir xil ishorali funksiyalar uchun o’rta qiymat haqidagi teorema ∑ j = 03 φ j + 1 ( t) f ( x i + j − 1 ) − f ( x ) = φ 1 ( t) f ( x j − 1 ) + φ 2 ( t) f ( x i ) + φ 3 ( t) f ( x i + 1 ) + φ 4 ( t) f ( x i + 2 ) = ¿ ¿[φ2(t)+φ3(t)]f(ξ1)−(1−φ1(t)− φ4(t))f(ξ2)=¿ ( 1 − 5 2 t 2 + 3 2 t 3 + 1 2 t + 2 t 2 − 3 2 t 3 ¿ f ( ξ 1 ) − ¿ − ( 1 − 1 2 t + t 2 − 1 2 t 3 + 1 2 t 2 + 1 2 t 3 ) f ( ξ 2 ) = ( 1 + 1 2 t − 1 2 t 2 ) f ( ξ 1 ) + ¿ ( 1 + 1 2 t − 1 2 t 2 ¿ f ( ξ 2 ) ¿ = ( 1 + 1 2 t − 1 2 t 2 ) ( f ( ξ 1 ) − f ( ξ 2 ) ) Bu ifodani 12 ga qo’yib R N = ∫ ab | ∑ j = 03 φ j + 1 ( t) f ( x i + j − 1 ) − f ( x )| dx = ∫ ab |( 1 + 1 2 t − 1 2 t 2 ) ( f ( ξ 1 ) − f ( ξ 2 ) )| dx Bu yerda 1 + 1 2 t − 1 2 t 2 1) funksiyani [0;1] oraliqdagi maksimum qiymati bilan almashtiriladi. ( 1 + 1 2 t − 1 2 t 2 ) = 9 8 t ∈ [ 0,1 ]max ga teng. Haqiqatdan g ' ( t) = ( 1 + 1 2 t − 1 2 t 2 ) ' = 1 2 − t bo’lib g ' ( t) = 0 = ¿ 1 2 − t = 0 = ¿ t = 1 2 maxsus nuqtada g ( t ) funksiya maksimum qiymatga erishadi. g( 1 2 ) = 1 + 1 2 ∙ 1 2 − 1 2 ∙ ¿ 2) integral ostidagi f ( ξ 1 ) − f ( ξ 2 ) funksiya qiymatlari orasidagi ayirmani uning argument qiymatlari ayirmasi orqali ifodalab integral belgisidan tashqariga chiqarib (2) kvadratur formulaning xatoligini baxolaymiz. RN=∫a b ¿(1− 1 2t− 1 2t2 )(f(ξ1)− f(ξ2))∨ dx =¿ ¿9 8∫a b ¿(f(ξ1)− f(ξ2))∨ dx = 9 2∫ L0|ξ1− ξ2|dx = 9 8L0|ξ1−ξ2|∫a b dx = ¿ ξ 1 , ξ 2 ∈ [ x i − 2 , x i + 2 ] ¿ 9 8 L 0 3 h ( b − a ) = 3,375 b − a N ( b − a ) L 0 = 3,375 ( b − a ) 2 N − 1 L 0 Bu yerda |f(ξ1)− f(ξ2)|= L0|ξ1−ξ2| ga almashtirdik. h = b − a N , | ξ 1 − ξ 2 | = 3 h ga teng. max ξ1.ξ1∈[xi−1xi+2]|ξ1−ξ2|=3h. Shuning bilan interpolyatsion kvadratur formulaning uzluksiz funksiyalar sinfidagi bahosini ko’rsatish Interpolyatsion kubik splayn funktsiyani xatoligini baholashda foydalaniladigan ayrim ma lumotlar xaqida. ʼ Interpolyatsion kubik splayn funktsiyani xatoligini baholashda foydalanilgan quyidagi ma ь lumotlarni kiritamiz: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 d=a11*a22*a33+a31*a12*a23+a13*a21*a32- (a31*a22*a13+a21*a12*a33+a32*a23*a11) C ∈ [ a ; b ] :‖ f ( x )‖ C ∈ [ a ; b ] = max 0 ≤ x ≤ 1 | f ( x ) | normaga ega bo lgan barcha uzluksiz funktsiyalar sinfi. ʼ Ck[a;b]- k- tartibli hosilasigacha uzluksiz funkyiyalar sinfi. Δ : a = x 0 < x 1 < … < x N = b setkaga f ( x ) funktsiyaning [xi;xi+1] tebranish oralig i ʼ quyidagicha harakterlanadi: ω i ( f ) = max x ' , x ' ' ∈ [ x i , x i + 1 ] | f ( x ' ' ) − f ( x ' ) | Funktsiya tebranishining eng katta oralig ini topish quyidagicha harakterlanadi: ʼ ω ( f ) = max 0 ≤ i ≤ N − 1 ω i ( f ) Δ -sektaga bog liq bo lmagan ʼ ʼ f ( x ) funktsiya tebranishining uzluksiz moduli hisoblanada va quyidagicha ifodalanadi: ω(f;h)= max x',x''∈[xi,xi+1] |x''−x'|≤h |f(x'')− f(x')|,h≤b− a(4) Barcha uzluksiz funktsiyalar uchun quyidagi o rta qiymat haqidagi munosabat ʼ o rinli: ʼ f(x)∈C [a;b],a1,a2,… ,aK –– miqdorlar bir xil ishorali bo lsa, ya’ni berilgan ʼ oraliqda o z ishorasini aniqlaydigan bo lsa, u holda: ʼ ʼ a1f(x1)+a2f(x2)+… +aKf(xK)=(a1+a2+… +aK)f(ξ)(5) O rta qiymat haqidagi teorema integrallar uchun quyidagi ko rinishda bo ladi: ʼ ʼ ʼ ∫ ab f ( x ) g ( x ) dx = f ( ξ ) ∫ ab g ( x ) dx , a ≤ x ≤ b bu yerda f ( x ) , g ( x ) funktsiyalar bir xil ishorali va uzluksiz funkyiyalar . C K [ a ; b ] - sinfga tegishli f(x) funktsiya uchun Lagranj ko rinishidagi qoldiq hadli ʼ quyidagi Teylor formulasi o rinli: ʼ (6) Kubik splayn qurish Quyidagi to’rt shartni qanoatlantiruvchi ushbu S3(x) funksiya interpolyatsio kubik splayn deyiladi. 1. Har bir [ x i , x i + 1 ] ( i = 0 , n − 1 ) oraliqda S3(x)= H 3(P)−¿ darajasi uchdan oshmaydigan ko’phadlar to’plami 2. S 3 ( x ) ∈ C 2 [ a , b ] 3. S3(xi)= f(x),(i=0,n−1) 4. S3''(x) uchun S3''(a)=S3''(b) Chegaraviy shartlar o’rinli. S3''(x)[xk−1,xk] kesmada uzluksiz bo’lganligidan x i − 1 ≤ x ≤ x i da ushbu S 3' ' ( x ) = M i − 1 x i − x h i + M i x − x i − 1 h i ( 2 ) tenglikni yozish mumkin. Bu yerda hi= xi− xi−1,M i=S3''(xi) (2) Tenglikni ikki marta integrallaymiz: S 3 ( x ) = M i − 1 ( x i − x ) 3 6 h i + M i ( x − x i − 1 ) 3 6 h i + A i x i − x h i + B i x − x i − 1 h i ( 3 ) bunda Ai va Bi integrallash doimiylari bo’lib, ular ta’rifning uchinchi shartidan topiladi, ya’ni (3) da x = x i − 1 , x = x i deb, mos ravishda M i − 1 h i2 6 + A i = f i − 1 , M i h i2 6 + B i = f i larni hosil qilamiz. Bundan Ai va Bi ni topib (3) ga qo’yib, quyidagiga ega bo’lish mumkin: S 3 ( x ) = M i − 1 ( x i − x ) 3 6 h i + M i ( x − x i − 1 ) 3 6 h i + ( f i − 1 − M i − 1 h i2 6 ) x i − x h i + ( f i − M i h i2 6 ) x − x i − 1 h i ( 4 ) (4) dan hosila olamiz: S 3' ( x ) = − M i − 1 ( x i − x ) 2 2 h i + M i ( x − x i − 1 ) 2 2 h i + f i − f i − 1 h i − M i − M i − 1 6 h i ( 5 ) (5) ni [ x i , x i − 1 ] kesma uchun yozamiz: S 3'( x ) = − M i ( x i + 1 − x ) 2 2 h i + 1 + M i + 1 ( x − x i ) 2 2 h i + 1 + f i + 1 − f i h i + 1 − M i + 1 − M i 6 h i + 1 ( 6 ) Ta’rifning ikkinchi shartiga ko‘ra S3'(x) va S 3' ' ( x ) funksiyalar [a;b] da uzluksiz. S3''(x) ning x1,x2,... ,xn−1 nuqtalarda uzluksizligidan foydalanib, (5) va (6) tengliklardan quyidagi n - 1 ta tenglatnaga ega bo‘lamiz: hi 6 M i−1+hi+hi+1 3 M i+hi+1 6 M i+1= fi+1− fi hi+1 − fi− fi−1 hi (7) Bu tenglamalarni (1) bilan to’ldiri hamda ai= hi 6 ,bi= hi+hi+1 3 ,ci= hi+1 6 ,di= fi+1− fi hi+1 − fi− fi−1 hi (8) belgilashlami kiritsak, u holda M l, M 2,...,M n_i noma’lumlami topish uchun b1M 1+c1M 2=d1 a2M 1+b2M 2+c2M 3= d2 a3M 2+b3M 3+c3M 4= d3 … … … … … … … … … … … … … … … … an−2M n−3+bn−2M n−2+cn−2M n−1= dn−2 an−1M n−2+bn−1M n−1= dn−1 } (9) tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasining matritsasi (8) ga ko‘ra salmoqli bosh diagonalga ega bo‘lganligidan ixtiyoriy fi(i=0,n) uchun yagona yechimga ega [1], (9) tenglamalar sistemasi haydash usuli bilan yechiladi. Uni quyida keltiramiz: pk=akqk−1+bk(q0= 0) q k = − c k p k , u k = d k − a k u k − 1 p k , u 0 = 0 ( k = 1 , n − 1 ) yordamchi miqdorlarni hosil qilamiz. So‘ng M k=qkM k+1+uk(k= n− 2,1 ) M n−1= un−1 dan M n−1,M n−2,… ,M 1 larni aniqlaymiz. 1. Kubik splaynlar qurilishi: S 3( x ) = M i − 1 ( x i − x ) 3 6 h i + M i ( x − x i − 1 ) 3 6 h i + ( f i − 1 − M i − 1 h i2 6 ) x i − x h i + ( f i − M i h i2 6 ) x − x i − 1 h i hi 6 M i−1+hi+hi+1 3 M i+hi+1 6 M i+1= fi+1− fi hi+1 − fi− fi−1 hi x 2 1 1 3 4                f 7 3 1 7 13              n rows f( ) 1   i 1 n 1    j 1 n   hj xj xj 1   Ai hi 6  Bi hi 1 hi  3  Ci hi 1 6  Di fi 1 fi  hi 1 fi fi 1  hi   x1 B 1 C 1 x2 An 1  Bn 1   1 D 1 C 1  2 Dn 1 Bn 1  an 1 x2  bn 1 2  i n 2  1   a i A i B i C i a i 1 bi Di Cibi 1   Bi Ciai 1    M 1 b 2  1 a 2 x1 M 1 2.4 a 0 0.183 0.273 0.333            b 0 2.4 2.455 3              M n 0  i 1 n 2    M i 1 a i 1( )M i  bi 1   M 0 12 5 9 5 12 5 0                        S3 z i( ) M i 1 x i z  3 6 h i M i z x i 1     3 6 h i f i 1 M i 1 h i   2  6          x i z h i f i M i h i   2  6        z x i 1 h i Kubik_Splayn z( ) s3 i S3 z i( )i 1 nfor s3 Kubik_Splayn z( ) 0 2 z 2( ) 3  5 22 z 5 9 5 3 z 1( ) 3  20 z 1( ) 3 5 4 z 5 3 5 14 z 5 z 1( ) 3 5 3 z 3( ) 3  20 3 32 z 5 2 z 4( ) 3  5 63 5                           2 0 2 4020406080 Kubik_Splayn x( ) 1 f x 2 0 2 4051015 Kubik_Splayn x( ) 2 f x 2 0 2 4051015 Kubik_Splayn x( ) 3 f x 2 0 2 4020406080 Kubik_Splayn x( ) 4 f x 2. Ikkinchi darajali splayn S 2( x ) = − M i − 1 ( x i − x ) 2 2 h i + M i ( x − x i − 1 ) 2 2 h i + f i − f i − 1 h i − M i − M i − 1 6 h i hi 6 M i−1+hi+hi+1 3 M i+hi+1 6 M i+1= fi+1− fi hi+1 − fi− fi−1 hi x 2 1 1 3 4                f 7 3 1 7 13              n rows f( ) 1   i 1 n 1    j 1 n   hj xj xj 1   Ai hi 6  Bi hi 1 hi  3  Ci hi 1 6  Di fi 1 fi  hi 1 fi fi 1  hi   x1 B 1 C 1 x2 An 1  Bn 1   1 D 1 C 1  2 Dn 1 Bn 1  an 1 x2  bn 1 2  i n 2  1   a i A i B i C i a i 1 bi Di Cibi 1   Bi Ciai 1    M 1 b 2  1 a 2 x1 M 1 2.4  a 0 0.183 0.273 0.333            b 0 2.4 2.455 3              M n 0  i 1 n 2    M i 1 a i 1( )M i  bi 1   M 0 12 5 9 5 12 5 0                        S2 z i( ) M i 1 x i z  2 2 h i M i z x i 1     2 2 h i f i f i 1 h i M i M i 1 6 h i IkkinchiDarajali_S z( ) s2 i S2 z i( )i 1 nfor s2 IkkinchiDarajali_S z( ) 0 6 z 2( ) 2  5 22 5 9 z 1( ) 2  20 3 z 1( ) 2  5 4 5 3 z 1( ) 2  5 9 z 3( ) 2  20 14 5 32 5 6 z 4( ) 2  5                            3. Birinchi darajali splaynS1(x)= M i−1 xi− x hi +M i x− xi−1 hi h i 6 M i − 1 + h i + h i + 1 3 M i + h i + 1 6 M i + 1 = f i + 1 − f i h i + 1 − f i − f i − 1 h i x 2 1 1 3 4                f 7 3 1 7 13              n rows f( ) 1   i 1 n 1    j 1 n   hj xj xj 1   Ai hi 6  Bi hi 1 hi  3  Ci hi 1 6  Di fi 1 fi  hi 1 fi fi 1  hi   x1 B 1 C 1 x2 An 1  Bn 1   1 D 1 C 1  2 Dn 1 Bn 1  an 1 x2  bn 1 2  i n 2  1   a i A i B i C i a i 1 bi Di Cibi 1   Bi Ciai 1    M 1 b 2  1 a 2 x1 M 1 2.4  a 0 0.183 0.273 0.333            b 0 2.4 2.455 3              M n 0  i 1 n 2    M i 1 a i 1( )M i  bi 1   M 0 12 5 9 5 12 5 0                        S1 z i( ) M i 1 x i z h i M i z x i 1 h i BirinchiDarajali_S z( ) s1 i S1 z i( )i 1 nfor s1 BirinchiDarajali_S z( ) 0 12 z 5 24 5 21 10 3 z 10 3 z 10 3 2 48 5 12 z 5                        Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 1. , Mahmudov A.A, Baxramov S.B « Hisoblash usullari» fanidan o’quv-uslubiy. Toshkent 2008 2. Ismatullaev G'.P., Jo'raev G'.U. “Hisoblash usullaridan metodik qo'llanma” Toshkent 2007 3. N.N. Kalitkin , “Chislennniye metodi” . , О ‘q.q о ‘l . , M., Nauka ., 1978 . 4. M.I. Isroilov ., “Hisoblash metodlari” ., Toshkent . , O´qituvchi , 1988 . 5. A.A. Samarskiy , A.V. Gulin , “Chislenniye metodi” . О‘q. qо‘llanma, M . , Nauka , 1989.

Mavzu: Splayn funksiyalar yordamida kvadratur formula qurish

Купить