Tekislikda koordinatalar metodi

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	1.6MB
Покупки	0
Дата загрузки	05 Июнь 2025
Расширение	doc
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

82 Продаж

Tekislikda koordinatalar metodi

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.04-guruh talabasi
qizining
Analitik geometriya fanidan
“Tekislikda koordinatalar metodi” mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari:
FARG‘ONA– 2025
1

REJA :
KIRISH
I BOB. MAKTABDA KOORDINATALAR METODINI QO LLASHNING ʻ
NAZARIY ASOSLARI
1.1-§. To‘g‘ri chiziqda koordinatalar metodi.
1.2-§. To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi haqida.
1.3-§. Maktabda koordinatalar metodini o‘rganishning asosiy holatlari.
1.4-§. Koordinatalar metodining ma`nosi.
II BOB. KOORDINATALAR METODINI O RGATISHNING METODIK
ʻ
ASOSLARI
2.1-§. Masalalarni koordinatalar metodi bilan yechishning bosqichlari.
2.2-§. Ikki nuqta orasidagi masofa.
2.3-§. Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish.

XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
2

KIRISH
IImu tafakkur kishini
ezgulikka boshlaydigan beqiyos kuch.
Ilm va tafakkur odamlar qalbiga nur,
ongiga ziyo, xonadoniga fayz-baraka
keltiradigan buyuk mo‘jizadir.
I.A.Karimov
Bugungi kunda farzandlarimizning ma’naviy olamini yuksaltirish, ularni
milliy va umuminsoniy qadriyatlar ruhida tarbiyalash masalasi biz uchun eng
dolzarb vazifa bo‘lib qolmoqda.
Mamlakatimizda sog‘lom va barkamol avlodni voyaga yetkazishning eng
muhim sharti bo‘lgan ta’lim-tarbiya masalasi haqida so‘z borganda, biz ko‘pincha
sohaning moddiy texnik bazasini mustahkamlash, yangi maktablar, litsey va
kollejlar, oliy o‘quv yurtlari barpo etish, ularni zamonaviy jihozlash haqida
ko‘proq gapiramiz. Holbuki, ayni shu ishlarimiz bilan birga, ta’limning mazmuni,
sifati ham tubdan o‘zgarmoqda.
Eng muhimi, zamonaviy bilim va tafakkurga, sog‘lom dunyoqarashga ega,
rivojlangan davlatlardagi tengdoshlari bilan bellashishga tayyor bo‘lgan, ko‘zi
yonib turadigan navqiron avlodimiz katta ishonch bilan hayotga dadil kirib
kelayotgani barchamizni quvontiradi. Barchamiz bugun chuqur anglab oldik -
faqatgina zamonaviy asosda ta’lim tarbiya olgan, jahonning manaman degan
mamlakatlaridagi tengdoshlari bilan bellasha oladigan, jismoniy va ma’naviy
jihatdan barkamol yoshlar biz boshlagan ishlarni munosib davom ettirish va yangi
bosqichga ko‘tarishga bog‘liq bo‘ladi.
Shu sababli yurtimizda yangi-yangi maktablar, litsey va kollejlarni,
madaniyat, san’at va sport obyektlarini qurish, rekonstruksiya qilish, zamonaviy
talablar asosida jihozlash ishlariga bundan buyon ham ustuvor e’tibor qaratiladi.
3

Ta’lim-tarbiya va tibbiyot muassasalarini yanada rivojlantirish, ularning moddiy-
texnik bazasini mustahkamlash va bugungi kun talablari asosida jihozlash
darajasini oshirish, ijtimoiy infratuzilma obyektlarini jadal rivojlantirish biz uchun
ustuvor yo‘nalish hisoblanadi.
Barkamol avlodni tarbiyalash insoniyatning eng yorqin orzusi bo‘lib kelgan.
Biroq dunyo xalqlarining barchasi ham bu haqida o‘ylayvermagan. Bunday
orzudagi insonlar azaliy ma’rifatga, madaniyatga mansub bo‘lgan yurtlarning
donishmandlari eng mo‘tabar ziyolilari, hukmdorlari hisoblanganlar. Ularning
orasida O‘zbekiston deb atalmish muazzam zaminimizda yashagan
bobolarimizning o‘z o‘rni va hurmati bor. Bu jahon hamjamiyati tomonidan qabul
qilingan haqiqatdir.
XX asr aql-zakovat, ma’naviyat va bilimdonlik asridir. Bu hol ijtimoiy-
iqtisodiy, ma’naviy taraqqiyotida tub o‘zgarishlar qilish lozimligini taqozo qiladi.
Bu tub o‘zgarishlar hozirgi jahon moliyaviy-iqtisodiy inqirozi davrida uni bartaraf
etish yo‘llarini izlab topishga undamoqda. Bu kabi muammoli vaziyatlarni oldini
olishda, ular yechimini izlashda o‘z kuchi va bilimiga ishonadigan, teran fikrli,
barkamol avlodni tarbiyalash bugungi kunning asosiy vazifalaridan bo‘lib
hisoblanmoqda.
Prezident I. A. Karimov Milliy dastur to‘g‘risidagi o‘z nutqida hayotimizni
hal etuvchi muhim masalalar qatorida ta’lim-tarbiya tizimini tubdan o‘zgartirish
uni yangi zamon talabi darajasiga ko‘tarish, barkamol avlodimiz kelajagiga
dahldor qonun loyihalari ham bor deb ta’kidlagan edi.
“Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”da inson omiliga katta e’tibor berildi.
Maqsad va vazifalar strategiyasidan tortib to ta’lim-tarbiya jarayoninig hamma
qirralariga oid aniq dasturlar majmuasigachaga har biri negizida inson asosiy omili
hisoblanadi. Shaxsning o‘qimishliligi va uning yaratuvchanlik malakasi Milliy
dasturni amalga oshirishning asosiy natijasi bo‘lmog‘i darkor.
Prezident Islom Karimovning O‘zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasi
qabul qilinganining 21 yilligiga bag‘ishlangan tantanali marosimidagi ma’ruzasida
quyidagi fikrlar bayon etilgan:
4

“Azal-azaldan har qaysi ota-ona o‘z bolasining sog‘lom va barkamol aql-
zakovatli, baxtli bo‘lishini istaydi. Shunday farzandni voyaga yetkazish, uning
hayotda munosib o‘rin egallashiga erishish ota-onaning eng ulug‘, eng muqaddas
orzusi, desak, ayni haqiqatni aytgan bo‘lamiz.
Mustaqillikning birinchi yillaridan boshlab yurtimizda sog‘lom ona sog‘lom
bola masalasi davlat siyosatining ustuvor yo‘nalishiga aylangani, keng ko‘lamli
umummilliy dasturlarimiz doirasida amalga oshirilayotgan ulkan ishlarimiz jahon
miqyosida ham tan olingani sizlarga yaxshi ma’lum.
Ayni vaqtda bugungi shiddatli zamon, hayotning o‘zi yosh avlod tarbiyasi
borasida oldimizga yangi-yangi o‘ta muhim va dolzarb vazifalarni qo‘ymoqda.
O‘zbekiston sog‘lom va barkamol avlodni tarbiyalash yoshlarni o‘z ijodiy va
intellektual salohiyati ro‘yobga chiqarish, mamlakatimiz yigit qizlarini XXI asr
talablariga to‘liq javob beradigan har tomonlama rivojlangan shaxslar etib voyaga
yetkazish uchun zarur shart sharoitlar va imkoniyatlarni yaratish bo‘yicha keng
ko‘lamli aniq yo‘naltirilgan chora tadbirlarni amalga oshirish maqsadida
shuningdek O‘zbekiston Respublikasida 2010-yilning “Barkamol avlod” yili deb
e’lon qilingani munosabati bilan “Barkamol avlod” yili davlat dasturini tasdiqladi.
Kurs ishining dolzarbligi. Tekislikda koordinatalar metodi tushunchasi
analitik geometriya fanining asosiy tayanch tushunchalardan biri hisoblanadi va
muhim ahamiyat kasb etadi.
Kurs ishining obyekti va predmeti. Tadqiqot ob`ekti - bu o‘quvchilarning
geometriyani o‘rganish protsessi. Tadqiqot predmeti - maktabda geometriya
kursida koordinatalar metodini o‘rgatish. Kurs ishining maqsadi - maktab kursi
geometriyasida koordinatalar metodini qo‘llash va o‘rganish metodikasini ishlab
chiqish. Tadqiqot predmeti, maqsadi quyidagi masalalarni aniqlaydi: 1. Maktab
darsligida koordinatalar metodini o‘rgatishning va matematika bo‘yicha berilgan
mavzu bo‘yicha dasturning mazmunini analiz qilish; 2. Konkret matematik
masalalar misolida koordinatalar metodini va qo‘llash usullarini tasvirlash. 3.
Berilgan bilimlarni shakllantiruvchi masalalarni tanlash va koordinatalar metodini
yaxshi egallash uchun zarur bilimlarni ayirish. Maqsadga yetish uchun yuqorida
5

qo‘yilgan maqsadlarni yechish uchun quyidagi metodlar qo‘llaniladi: -
koordinatalar metodiga tegishli metodik materiallar, darsliklarning matematika
dasturi bo‘yicha analiz qilish; - o‘quvchilarning harakatlarini,o‘qitish jarayonini
baholash.
Kurs ishining yangiligi va amaliy ahamiyati. Kurs ishi referativ-uslubiy
xarakterga ega bo‘lgani uchun ilmiy yangilik qilinmagan. Mavzuga oid bir nechta
adabiyotlardan ma’lumotlarni to‘plash tahlil qilish va misollarga tatbiq qilishdan
iborat.
Tadqiqot usuli va uslubiyoti. Kurs ishi nazariy xarakterga ega bo‘lib,
olingan natijalar boshqa adabiyotlar bilan taqqoslanib mavzuga oid misollarni
yechishda sodda usullar keltirilgan.
Olingan asosiy natijalar. Ish ilmiy xarakterga ega bo‘lmagani sababli unda
alohida ilmiy natija olinmagan. Shunday bo‘lsada ishda keltirilgan tushunchalar,
xossalar, teoremalar va formulalardan ko‘plab masalalarni hal qilishda foydalanish
mumkin.
6

I BOB. MAKTABDA KOORDINATALAR METODINI QO LLASHNINGʻ
NAZARIY ASOSLARI
1.1-§.To‘g‘ri chiziqda koordinatalar metodi.
O‘q ustida yo‘nalgan kesmalar
1-ta’rif. Yo‘nalishi aniq bo‘lgan to‘g‘ri chiziq o‘q deb ataladi.
2-ta’rif. Agar to‘g‘ri chiziq ustidagi kesmaning qaysi (uchi) chegaraviy nuqtasi
uning boshi, qaysi chegaraviy nuqtasi uning oxiri ekanligi ko‘rsatilgan bo‘lsa, u
yo‘naltirilgan kesma yoki vektor deb ataladi.
Boshi A nuqtada oxiri esa B nuqtada bo‘lgan yo‘nalgan kesmani simvol
bilan belgilaymiz (1-chizmada va yo‘nalgan kesmalar aks ettirilgan).
1-chizma
3-ta’rif. Agar kesmaning boshi va oxiri bitta nuqtada bo‘lsa uni nol yo‘nalgan
kesma deyiladi.
4-ta’rif. yo‘nalgan kesma kattaligi (miqdori) deb kesma uzunligi AB
ga aytiladi, bunda ning yo‘nalishi o‘q yo‘nalishi bilan bir xil bo‘lsa, AB ning
ishorasi «+», qarama-qarshi bo‘lsa «-» ishora bilan olinadi. Nol yo‘nalgan
kesmaning kattaligi nolga teng deb hisoblanadi.
Yo‘nalgan kesmalar ustida chiziqli amallar
Avvalo yo‘nalgan kesmalarning tengligi tushunchasini aniqlaymiz.
Yo‘nalgan kesmalarni o‘q bo‘ylab uning yunalishi va uzunligini o‘zgartirmasdan
siljitish mumkin deb hisoblaymiz.
5-ta’rif. Agar o‘q bo‘ylab siljitilganda nol bo‘lmagan ikki yo‘nalgan
kesmalarning boshidagi va oxiridagi nuqtalari ustma-ust tushsa, bu kesmalar
o‘zaro teng deyiladi.
7

Tasdiq. Ikki yo‘nalgan kesmaning o‘zaro teng bo‘lishi uchun ularning
kattaliklari o‘zaro teng bo‘lishi zarur va yetarli. Yo‘nalgan kesmalarni qo‘shish va
haqiqiy songa ko‘paytirish amallarini yunalgan kesmalar ustida chiziqli amallar
deymiz.
va yo‘nalgan kesmalar berilgan bo‘lsin. Ularning yig‘indisini topish
uchun kesmaning boshini kesmaning oxiriga qo‘yamiz (2-chizma)
2-chizma
Bu holda hosil bo‘lgan kesma va yo‘nalgan kesmalarning
yig‘indisi deyiladi va + kabi yoziladi.
Quyidagi teorema o‘rinli.
1-teorema. Yo‘nalgan kesmalar yig‘indisining kattaligi, qo‘shiluvchi
kesmalar kattaliklarining yig‘indisiga teng.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. A, B va C nuqtalar sonlar o‘qi ustida qanday joylashmasin, ,
va yo‘nalgan kesmalar kattaliklari
AB + BC = AC
tenglikni qanoatlantiradi. Bu asosiy ayniyat deb ataladi.
Endi yo‘nalgan kesmani  haqiqiy songa ko‘paytirish amalini qaraymiz.
yo‘nalgan kesma va 0   haqiqiy son berilgan bo‘lsin. yo‘nalgan
kesmaning  haqiqiy songa ko‘paytmasi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
 yo‘nalgan kesmaga aytiladi:
8

Agar  >0 bo‘lsa,  kesma kesma bilan bir xil yo‘nalishda, agar  <0
bo‘lsa, qarama-qarshi yo‘nalishdadir.
 yo‘nalgan kesmaning uzunligi bilan ning uzunligi
ko‘paytmasiga teng, yani ga teng.
To‘g‘ri chiziqda dekart koordinatalari
To‘g‘ri chiziqdagi nuqtaning vaziyatini aniqlash masalasi bilan
shug‘ullanamiz.
O‘qdagi biror nuqtani O harfi bilan belgilab, bu nuqtani sanoq
boshlanadigan nuqta (hisob boshi) deb qabul qilamiz. Ixtiyoriy uzunlikdagi
kesmani chiziqli birlik sifatida qabul qilib, uni masshtab birlik deb ataymiz.
3-chizma
1-ta’rif. Agar, to‘g‘ri chiziqda biror O nuqta belgilangan, musbat yunalishi
ko‘rsatilgan va masshtab birligi tanlab olingan bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqda dekart
koordinatalari sistemasi (sonlar o‘qi) aniqlangan deyiladi. O nuqta koordinatalar
boshi, O x o‘q koordinatalar o‘qi deyiladi (3- chizma).
O x o‘qda O nuqta bilan ustma-ust tushmaydigan ixtiyoriy M nuqta olaylik.
kesmaning yo‘nalishini O x o‘q yo‘nalishi kabi yoki bu o‘q yo‘nalishiga
qarama-qarshi bo‘lishi mumkin; birinchi holda M nuqtaning koordinatasi musbat
son, ikkinchi holda esa manfiy son bo‘ladi. Ana shu sonni x bilan belgilasak
x son M nuqtaning koordinatasi deyiladi va M ( x ) shaklda yoziladi.
Agar to‘g‘ri chiziqda dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan bo‘lsa, bu
sistema yordamida to‘g‘ri chiziqning nuqtalari bilan haqiqiy sonlar to‘plami
orasida bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin.
9

Misol. Sonlar o‘qida koordinatalari quyidagi tenglamani qanoatlantiruvchi
nuqtalarni yasang:
Yechish. Berilgan tenglama quyidagi tenglamalarga teng kuchli:
1) x -5=7 2) -( x -5)=7
Demak, berilgan tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning koordinatalari:
x
1 =12, x
2 = -2 (4-chizma)
4-chizma
1.2-§.To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi haqida.
Tekislikdagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi quyidagicha kiritiladi.
Tekislikda ikki o‘zaro perpendikulyar bo‘lgan, umumiy O boshlang‘ich nuqtaga va
umumiy masshtab birligiga ega OX va OY sonli o‘qlarni olamiz.
1-ta`rif. OX va OYo‘qlari joylashgan tekislik koordinata tekisligi deyiladi va
OXY orqali belgilanadi.
2-ta`rif. OX gorizontal o‘qini abtsissalar o‘qi deb, OY vertical o‘qini ordina-
talar o‘qi deb,o‘qlarning umumiy boshlang‘ich O nuqtasini koordinatalar boshi deb
ataydi. OX va OY o‘qlari tekislikda to‘g‘ri burchakli (dekart) koordinatalar siste-
masini tuzadi.
OXY koordinata tekisligida M ixtiyoriy nuqtasini olamiz. Bu nuqtadan koor-
dinatalar o‘qlariga perpendikulyarlar o‘tkazamiz. OX o‘qida M nuqtaning proektsi-
yasi nuqtaga, OY o‘qida ham M nuqtaning proektsiyasi nuqtalariga ega
bo‘lamiz. ( 1-chizma )
3-ta`rif. nuqtaning X koordinatasi OX o‘qida M nuqtaning abtsissasi,OY
o‘qida nuqtaning Y koordinatasi M nuqtaning ordinatasi deyiladi.
10

4-ta`rif. Tartiblashgan  x, y  sonlar juftligi M nuqtaning to‘g‘ri
burchakli (yoki dekart to‘g‘ri burchakli) koordinatalari deyiladi va M(x, y)
ko‘rinishida yozi-ladi. Bu erda x , M nuqtaning absissasi, y esa M nuqtaning
ordinatasi deyiladi.
OX va OY o‘qlari koordinata tekisligini to‘rt bo‘lakka bo‘ladi va ular chorak
yoki kvadratlar deyiladi ( 2-chizma ).
Tekislikda har bir nuqtaga faqat bitta tartiblangan x va y sonlar juftligi mos
kelishi ravshan. x va y - uning to‘g‘ri burchakli koordinatalari bo‘ladi va aksincha,
ixtiyoriy tartiblashgan x va y sonlar juftligi tekislikda bitta nuqtani aniqlaydi.[3]
Agar «nuqta berilgan» yoki «nuqtani toping» deb aytilsa, u holda bu nuqta-
ning koordinatalarini toppish talab etiladi yoki shu nuqtaning koordinatalari beril-
ganligini ifodalaydi.
Nuqtaning vaziyatini sonlar orqali aniqlash usulini koordinatalar metodi deb
nomlaydi.
Koordinatalar metodining asoschisi frantsuz matematik Dekart hisoblanadi.
U bu metodni ko‘pchilik geometrik masalalarga qo‘llab, matematik bo‘lim-analitik
geometriyani tuzdi.
Tekislikda koordinatalar metodi bilan echiladigan analitik geometriyaning
ikki asosiy masalasini qaraymiz.
11

1-chizma 2-chizma
1-masala. Tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofa. Tekislikda ikki
va nuqtalari berilgan. Shu nuqtalar orasidagi masofa d ni topamiz. Oddiy-
lik uchun chizmada bu nuqtalarni birinchi chorakda joylashtiramiz ( 3-chizma ).
va nuqtalar orqali kesmalarini o‘tkazamiz.
to‘g‘ri burchakli uchburchakni qaraymiz. Uning ;
katetlari bo‘ladi.
Pifagor teoremasi bo‘yicha:
quyidagi formulani olamiz:
3-chizma
2-masala. Kesma o‘rtasining koordinatalarini aniqlash. va
- kesmaning boshlang‘ich va oxirgi koordinatalari. M nuqta MM kesmaning
o‘rtasida (markazida) yotgan nuqta bo‘lsin. Shu M nuqtaning koordinatalarini
topa-miz.
Chizmada bu nuqtalarni birinchi chorakda joylashtiramiz ( 4-chizma ).
12

4-chizma
Izlanayotgan nuqtaning koordinatalarini M(x;y) orqali belgilaymiz. M nuqta
kesmaning o‘rtasi yoki nuqtalaridan OX o‘qiga proekt-
siyalar o‘tkazamiz va nuqtalariga ega bo‘lamiz.Geometriyadan bizga
ma`lum Bu kesmalarni koordinatalar orqali ifodalasak:

Bundan ga ega bo‘lamiz.
x ni topamiz:
Shu nuqtalarni OY o‘qiga proektsiyalab quyidagiga ega bo‘lamiz:

(2) formalar kesmaning o‘rtasining koordinatalarini topishga yordam beradi.
Endi tog‘ri burchakli koordinatalar sistemasining boshqa koordinatalar siste-
masi orasidagi bog‘liklikni qarab ketamiz.U uchun dastlab qutb koordinatalar siste-
masi haqida ma`lumot keltiramiz va ular orasidagi bog‘lanishni ko‘ramiz.
Qutb koordinatalar
To‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasidan boshqa tekislikda
ikki haqiqiy son yordamida tekislikdagi har bir nuqtaning vaziyatini aniqlashga
13

yordam beradigan boshqa koordinatalar sistemasi mavjud. Dekart
koordinatalardan so‘ng ikkinchi navbatda qutb koordinatalar sistemasi keng
qo‘llaniladi.
Tekislikda O nuqtasini olamiz, uni polyus deb ataymiz. Shu polyusdan Or
nurini o‘tkazamiz, uni qutb o‘qi deb ataymiz.
Polyus va qutb o‘q tekislikda polyar koordinatalar sistemasini tuzadi. M-pol-
yus bilan mos kel-maydigan tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. Bu M nuqtani O
polyus bilan tutashtiramiz ( 5-chizma ).
5-ta`rif. M nuqtadan polyusgacha bo‘lgan r masofa M nuqtaning qutb
radiusi deyiladi. Qutb o‘q va OM kesma orasidagi  burchak M nuqtaning qutb
burchagi deyiladi.
5-chizma.
6-ta`rif. Qutb radius va qutb burchak M nuqtaning qutb koordinatalari deyi-
ladi. Uni M r  ,  orqali belgilaymiz.
Qutb radius р  о qiymatlarni qabul qiladi. ( р =0 polyus uchun!)
A qutb burchagi qutb o‘qidan boshlab OM kesmasiga soat strelkasiga qarshi
hisoblanadi. Qutb burchakning qiymatlarini 0    2  oraliqda qaraladi.
Eslatma. Ba`zi hollarda 2  dan katta bo‘lgan burchaklarni va shuningdek
qutb o‘qidan soat strelkasi bo‘yicha o‘lchanadigan burchaklar yoki manfiy bur-
chaklarni qarashga to‘g‘ri keladi.
To‘g‘ri burchakli koordinatalar va qutb koordinatalar
orasidagi bog‘liqlik
14

Ba`zi hollarda tekislikda ham to‘g‘ri burchakli koordinatalar ham qutb koor-
dinatalarni birgalikda qo‘llashga to‘g‘ri keladi. Qutb koordinatalaridan to‘g‘ri bur-
chakli koordinatalarga o‘tish va aksincha to‘g‘ri burchakli koordinatalardan qutb
koordinatalarga o‘tish masalalarini qaraymiz.
oraliqda
formulasi bo‘yicha topilgan tangens qiymatiga 
burchakning ikki qiymati mos keladi. M nuqtaning vaziyatiga to‘g‘ri keladigan 
qiymat tanlab olinadi.
Qutb koordinatalardan to‘g‘ri burchakli koordinatalarga o‘tish
Ixtiyoriy M  r ,  nuqtaning qutb koordinalari ma`lum bo‘lsin. x=OK ,
y=MK, M nuqtaning to‘g‘ri burchakli koordinatalari. 6-chizma dan ko‘rinib
turibdiki OMK to‘g‘ri burchakli uchburchakdan quyidagiga ega bo‘lamiz:

(3) formulalar nuqtaning qutb koordinatalardan to‘g‘ri burchakli koordinatalariga
o‘tish formulalari.
6-chizma
To‘g‘ri burchakli koordinatalardan qutb koordinatalarga o‘tish OAM to‘g‘ri
burchakli uchburchakda Pifagor teoremasi bo‘yicha
yoki
Shu uchburchakdan quyidagiga ega bo‘lamiz:
15

Shuni aytib o‘tish kerak ,qutb koordinatalar to‘g‘ri burchakli koordinatalar
bilan birgalikda maydonda ob`ektlarning joylashishini aniqlash uchun topografi-
yada keng qo‘llaniladi.
1-misol. M nuqtaning dekart koordinatalari berilgan , uning qutb
koordinatalarini toping.
Yechish. va formulalar bo‘yicha quyidagilarga ega bo‘lamiz:
;
Tangensning bu qiymatiga burchakning ikki qiymati mos keladi:
; .
Nuqtamiz I chorakda joylashgani sababli qiymatini olamiz.Demak M
nuqta-ning qutb koordinatalari bo‘ladi.
2-misol. Qutb koordinatalarda a radiusli, markazi koordinatalar boshida
bo‘lgan ay-lana tenglamasini yozing.
Yechish. Dekart koordinatalarida a radiusli, markazi koordinatalar
boshida bo‘l-gan aylana tenglamasi quyidagicha yoziladi:
x,y o‘rinlariga (1) formulalar bo‘yicha ularning koordinatalari orqali ifodalanishini
qo‘yamiz va ega bo‘lamiz.
16

р =a ga ega bo‘lamiz. р =a-a radiusli, markazi koordinatalar boshida bo‘lgan aylana-
naning qutb tenglamasi bo‘ladi.
Qutb koordinatalar sistemasining polyusi Oxy to‘g‘ri burchakli koordinatalar
sistemasining boshi bilan va qutb o‘qi Ox musbat yarim o‘qi bilan ustma-ust tush-
sin.
1.3-§.Maktabda koordinatalar metodini o‘rganishning asosiy holatlari.
Geometrik tadqiqotlarga algebraik xarakterni berish orqali , koordinatalar
metodi geometriyaga algebraning eng asosiy farqi-masalalarni yechish usullarining
umumiyligi. Agar arifmetika va elementar geometriyada, qoida bo‘yicha, har bir
masala uchun uni yechishning maxsus yo‘lini izlash bo‘lsa,algebra va analitik geo-
metriyada har xil masalalarga oson o‘zlashtiriladigan reja bo‘yicha yechishlar o‘t-
kaziladi.Algebraga tegishli geometriyaga o‘tkazilgan va shuning uchun masalalarni
yechishning yuqori umumiylikka egaligi - koordinatalar metodining asosiy baholi-
gini tuzadi.
Koordinatalar metodining ikkinchi etishganligi uni qo‘llashda murakkab
fazodagi tasvirlanishlarni ko‘rgazmali ko‘rsatish zarurligidan qutqaradi. Maktab
kursi geometriyasida koordinatalar metodini o‘rgatishning quyidagi maqsadlarini
ajratib o‘tsak bo‘ladi.
- o‘quvchilar uchun masalalarni yechish va bir qator teoremalarni isbotlashning
effektiv metodini yaratish;
- shu metod asosida algebra va geometriyaning tig‘iz bog‘liqligini ko‘rsatish,
- o‘quvchilarning hisoblash va grafika madaniyatlarining rivojlanishiga yordam
berish.
Maktabda koordinatalar metodini o‘rgatish va uni har xil matematik masala-
larni yechish uchun qo‘llashni o‘rgatish bir necha bosqichlardan iborat. Birinchi
bosqichda asosiy tushunchaga ega apparat kiritiladi. U 5-6- sinflarda yaxshi
qo‘llaniladi va geometriya kursida sistemalashtiriladi. 5-sinfda o‘quvchilar
koordinata nuri bilan tanishadi. Bu keyinchalik manfiy sonlarni o‘raginshdan keyin
17

koordinata to‘g‘ri chizig‘igacha to‘liqlanadi. Hamda 6-sinfda ratsional sonlarni
kiritganidan keyin o‘quvchilar koordinata tekisligini o‘rganadi. Ikkinchi bosqichda
o‘quvchilar to‘g‘ri chiziqning va aylananing tenglamalari bilan tanishadi. Bu
tushunchalar algebrada ham, geometriyada ham har xil mazmunga ega maqsadlar
bilan o‘rgatiladi. Shuning uchun o‘quvchilar ular orasidagi bog‘liqlikni ko‘rmaydi,
demak metod ma`nosini ham yaxshi tushunmaydi. 8-sinf algebra kursida asosiy
funktsiyalar grafiklari funktsiyaning analitik berilishi bo‘yicha hisoblanadigan
koordinatalar bo‘yicha nuqtalar ketma-ketligini tuzish orqali kiritiladi. Geometriya
kursida to‘g‘ri chiziq va aylana tenglamalari geometrik xossalari asosida aniq
xossalarga ega nuqtalar to‘plami kabi ( ikki nuqtadan bir xil uzoqlashgan – to‘g‘ri
chiziq uchun, bitta nuqtadan – aylana uchun ) kiritiladi.
Koordinatalar metodini masalalar yechishga qo‘llashga o‘rgatish 9-sinf
geometriyasida o‘rgatiladi. Buning uchun avvalo metodni qo‘llashning asosiy
bosqichlari beriladi, so‘ng bir qator masalalar misolida koordinatalar metodini
to‘g‘ri qo‘llash ko‘rsatiladi. Lekin koordinatalar metodi masalalar yechishning va
teoremalarni isbotlashning asosiy metodi deb hisoblash kerak emas. Koordinatalar
metodining ham kuchli o‘quvchilar uchun ham kuchli bo‘lmagan o‘quvchilar
uchun ham zarar ekanligi haqida keltirgan. Kuchli bo‘lmagan o‘quvchilar qatoriga
hisoblab bilmaydigan formulalarni qiyinchilik bilan tushunadigan va
yodlaydiganlarini kiritsak bo‘ladi.Bu bolalar uchun geometriya shunday predmet
bo‘lar edi, u yordamida ular umumiy matematik rivojlanish kamchiliklarini
to‘ldiradi. U esa aksincha ularga qo‘shimcha yuk bo‘ladi. Koordinatalar metodi
o‘rganilayotgan geometrik holatning geometrik ma`nosini chetda qoldiradi.
Berilgan konkret masalani echadigan atqaruvchi tarbiyalanadi. Matematik –
tadqiqotchiga zarur geometrik va matematik intutsiya rivojlanmaydi, bu esa o‘z
navbatida kuchli o‘quvchilar uchun qo‘rqishni tug‘diradi.
1.4-§. Koordinatalar metodining ma`nosi.
Koordinatalar metodining ma`nosini keltirishdan oldin tarixga nazar tashlab
o‘tamiz.
18

Hozirgi vaqtda har hil sohadagi ilm mutaxassislari tekislikdagi to‘g‘ri bur-
chakli dekart koordinatalar haqida tushunchaga ega, chunki bu koordinatalar grafik
yordamida bir o‘zgaruvchining ikkinchisiga bog‘liq ekanligini ko‘rsatish imkoni-
yatiga ega. «Dekart koordinatalar» degan atamasining o‘zi bu koordinatalar Dekart
tomonidan yechilgan degan yolg‘on fikrlashga olib boradi. Haqiqatdan ham to‘g‘ri
burchakli koordinatalar geometriyada miloddan avval qo‘llanib boshlagan. Alek-
sandriya maktabining qadimgi matematigi Appoloniy Perikiy ( miloddan avval
III - II asrlarda yashagan) shu vaqtlari to‘g‘ri burchakli koordinatalardan foydalan-
gan.
To‘g‘ri burchakli koordinatalar yordamida shu vaqtlari ma`lum egri chiziqlar
parabola, giperbola va ellipslarni aniqladi va o‘rgandi.
Appoloniy ularni quyidagi tenglamalar bilan ko‘rsatgan.
-parabola
- geperbola
-ellips
bu yerda p va q musbat sonlar.
Tenglamalarni u shu yuqorida yozilgan geometrik formada tasvirlanadi,
chunki shu paytlari algebraic simvolikalar mavjud emas edi. Tenglamalarni Apol-
loniy geometrik tushunchalardan foydalanib tasvirladi; - uning terminologiyasida
u tomonga ega kvadratning yuzi; px - p va x tomonlariga ega to‘g‘ri to‘rtburchak-
ning yuzi va hokazo.Shu tenglamalar bilan egri chiziqlarning nomlari bog‘liq.Para-
bola grek tilidan tarjima qilganda tenglikni aniqlaydi, yoki yuzga ega to‘g‘ri
to‘rtburchakka teng bo‘ladi. Giperbola grek tilidan tarjima qilganda me`yoridan or-
tiq deganni bildiradi yoki kvadratning yuzi to‘g‘ri to‘rtburchak yuzidan px dan
19

ortiq.Ellips grek tilidan tarjima qilganda yetmaslikni bildiradi yoki kvadratning yu-
zi to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzidan kichik.
Dekart to‘g‘ri burchakli koordinatalarga ishoralarni tanlash qoidasini kiritdi.
Ammo asosan u to‘g‘ri burchakli koordinatalardan foydalanib tekislikdagi analitik
geometriyani tuzdi, shu bilan u geometriya va algebrani bog‘ladi.Shuni aytib o‘tish
kerakki, Dekart bilan bir vaqtda yana bir frantsuz matematigi Ferma ham analitik
geometriyani tuzgan edi.
Analitik geometriyaning ma`nosi shundan iborat u geometriya va algebra
orasidagi bog‘liqlikni o‘rnatdi. Matematikaning bu ikki bo‘limi Dekart vaqtlarida
rivojlanishning yuqori darajasiga etgan edi. Lekin ular ming yillar davomida birbi-
ridan mustaqil ravishda rivojlanib kelgan va analitik geometriyaning kelib
chiqishi-dan keyin ular orasida kuchli bo‘lmagan bog‘liqlik paydo bo‘ldi.[6]
Koordinatalar sonlar yordamida tekislikdagi yoki fazodagi ixtiyoriy nuqta-
ning vaziyatini aniqlab borishga yordam beradi.Bu har xil turdagi figuralarni sonlar
yordamida yozib shifrlashga imkoniyat beradi. Koordinatalar orasidagi munosabat-
lar faqat bitta nuqtani aniqlab qolmasdan,nuqtalarning ba`zi to‘plamini aniqlaydi.
Masalan, agarda abtsissasi ordinataga teng bo‘ladigan nuqtalarning barchasini bel-
gilasak yoki x  y tenglamasini qanoatlandiradigan barcha nuqtalarni
koordinatalar tekisligida belgilasak, u holda to‘g‘ri chiziq - birinchi va uchinchi
koordinata bur-chaklarining bissektrisalari hosil bo‘ladi.
Ayrim vaqtlarda «nuqtalar to‘plami» o‘rniga,«nuqtalarning geometrik o‘rni»
ishorasi qo‘llaniladi. Masalan, x  y munosabatini qanoatlantiruvchi
nuqtalarning
geometrik o‘rni -bu birinchi va uchinchi koordinata burchagining bissektrisasi bo‘-
ladi. Algebra va geometriya orasidagi bog‘liq, bir tomondan algebra ikkinchi to-
mondan geometriya bo‘lib, matematikada inqilobga olib keldi. U matematikani
uning bo‘limlari orasidagi «Xitoy devori» bo‘lmaydigandek yagona ilm sifatida
qayta tikladi.
20

Koordinatalar metodining ma`nosiga keladigan bo‘lsak, koordinatalar meto-
dining ma`nosi shundan iborat figuralarni tenglamalar ko‘rinishida berib va har xil
geometrik munosabatlarni koordinatalarda ifodalay o‘tirib biz algebraning imkoni
yatlari yordamida geometrik masalani yecha olamiz. Va aksincha,koordinatalardan
foydalanib, algebraic va analitik munosabatlarni va faktlarni geometrik nuqtai na-
zardan tushuntirsa bo‘ladi va shunday qilib, geometriyani algebraik masalalarni ye-
chishga qo‘llashga bo‘ladi.
Koordinatalar metodi -bu universal metodlardan biri.U algebra va geometriya
orasidagi muntazam bog‘liqlikni ta`minlaydi. Algebra va geometriya bir-biri
bilan
bog‘lanib ko‘p natijalarni osonlashtiradi.
Maktab kursi geometriyasida ba`zi hollarda koordinatalar metodi toza geo-
metrik usullarga qaraganda teoremalarni isbotlashda va ko‘plab masalalarni ye-
chishda ustunlikka ega [8].Koordinatalar metodi bitta geometrik murakkablik bilan
bog‘liq. Masala u yoki bu koordinatalar sistemasini tanlashga bog‘liq har xil anali-
tik ko‘rinishni oladi.Faqat yetarli darajdagi tajriba koordinatalar sistemasini to‘g‘ri
tanlashga yordam beradi.
21

II BOB. KOORDINATALAR METODINI O‘RGATISHNING METODIK
ASOSLARI
2.1-§.Masalalarni koordinatalar metodi bilan yechishning bosqichlari.
Algebraik va geometrik maslalarni yechish uchun quyidagi uchta bosqich
bajarilishi lozim.
1) masalani koordinata (analitik) tilga o‘tkazish;
2) analitik ifodani soddalashtirish;
3) teskari o‘tkazish yoki koordinata tilidan masala formulirovka qilingan termin-
lardan iborat tilga o‘tkazish;
Misol uchun algebraik va geometrik masalaga qaraymiz va yuqordagi 3-bos-
qichning bajarilishini koordinata metodi bilan yechganda ko‘rsatamiz.
1-masala.
tenglamalar sistemasi nechta yechimga ega?
Yechish.
1-bosqich: Geometrik tilda tenglamalar bilan berilgan figuralar nechta
nuqtada
22

kesishishini aniqlashdan iborat. Sistemaning birinchi tenglamasi bu markazi
koordinatalar boshida va 1 radiusli aylana tenglamasi, ikkinchisi – parabola
tenglamasi.
2-bosqich: aylana va parabolani yasash; ularning kesishish nuqtalarini
aniqlash:
3-bosqich: qo‘yilgan savolga javob aylana va parabolaning kesishish
nuqtalar
soni bo‘ladi.
2-masala. Berilgan ikki nuqtadan nuqtalar to‘plamigacha masofalari teng
bo‘ladigan nuqtalar to‘plamini toping?
Yechish. Berilgan nuqtalarni A va B orqali belgilaymiz. Koordinatalar
sistemasini shunday qilib tanlaymiz. Ox o‘qi AB to‘g‘ri chizig‘i bilan ustmaust
tushsin va koordinatalar boshi A nuqtasi bo‘lsin. So‘ng, AB  a deb qabul
qilsak, u holda tanlab olingan koordinatalar sistemasida A  0,0  va B  a ,0  ,
C  x , y  nuqtasi izlangan nuqtalar to‘plamiga tegishli bo‘ladi, shunda va faqat
shunda, agarda AC  CB yoki AC 2  CB 2 bo‘lsa, tekislikdagi ikki nuqta
orasidagi masofani hisoblash formulasidan foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

u holda
Bu oxirgi tenglik berilgan masala uchun yaratilgan holatning algebraic
modeli bo‘ladi. Shu bilan masalaning yechimini topishning birinchi bosqichi
masalani koordinata tiliga o‘tkazish yakunlanadi.
Ikkinchi bosqichda olingan ifodaning soddalashtirilishi bo‘lib o‘tadi,
natijada quyidagi munosabatga ega bo‘lamiz:
23

Uchinchi bosqichda tenglama tilini geometriya tiliga o‘tkazish amalga
oshiriladi. Olingan tenglama Oy o‘qiga parallel va A nuqtasidan masofada
joylashgan AB kesmaning o‘rta perpendikulyar to‘g‘ri chiziq tenglamasi bo‘ladi
2.2-§. Ikki nuqta orasidagi masofa.
Faraz qilaylik to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida A(x
1 ,y
1 ) va B(x
2 ,x
2 )
nuqtalar berilgan bo‘lib, bunda , bo‘lsin ( 1-chizma ).
A va B nuqtalar orasidagi masofani topish talab etiladi. Ko‘rinib turibdiki, A
va B nuqtalar orasidagi masofa, yo‘nalgan kesma uzunligiga teng. Bu
esa o‘z navbatida to‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga teng.
y

o x
1-chizma
Shu gipotenuza uzunligini topsak, masala yechilgan bo‘ladi.
Uchburchakning o‘qiga parallel tomonining uzunligi, kesmaning
o‘qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani ga teng. Xuddi shuningdek, uning
o‘qiga parallel tomonining uzunligi kesmaning Oy o‘qiga proyeksiyasi
uzunligiga, yani ga teng.
To‘g‘ri burchakli uchburchakka Pifagor teoremasini tadbiq etib
quyidagini topamiz:
Demak, nuqtalar orasidagi masofa
(1)
formula yordamida topiladi.
Garchi, nuqtalar orasidagi masofani beruvchi (1) formula ,
dan
iborat farazda chiqarilgan bo‘lsada, u boshqa hollarda ham o‘z kuchini saqlaydi.
24C

Haqiqatdan ham, , bo‘lsa, = ga teng. Agar ,
bo‘lsa = ga teng ,
bo‘lsa A va B nuqtalar
ustma-ust tushadi va =0 bo‘ladi ( 2-chizma ).

y y

0 x 0 x

2-chizma
Misol. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan (-1; 2), (5; 6), va
(1;3). Uning tomonlari uzunliklarini toping.
y (5;6)
(1;3)
(-1;2)
0 x
3-chizma
1) AC tomonning uzunligini topamiz:
Xuddi shuningdek 3-chizma
2.3-§. Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish
To‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida A(x
1 ,y
1 ) va B(x
2 ,y
2 ) ikki
nuqta berilgan bo‘lsin. Berilgan nuqtalar orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkazib, unda
musbat yo‘nalishni aniqlasak, bu to‘g‘ri chiziq o‘qqa aylanadi. Bu o‘q koordinata
o‘qlariga parallel emas deb olaylik. Olingan o‘qda A va B nuqtalar yo‘nalgan
kesmani aniqlaydi.
25

Faraz qilaylik, nuqtadan farqli bo‘lgan (aytilgan o‘qdagi) nuqta
bo‘lsin. kesmani nisbatda bo‘luvchi M nuqtaning koordinatasini
topish talab etiladi.
Eslatma. Agar nuqta A va B nuqtalar orasida yotsa va
kesmalarning yo‘nalishi bir xil bo‘lib, musbat son, nuqta kesmaning
tashqarisida yotsa, va kesmalarning yo‘nalishlari qarama-qarshi bo‘lib
manfiy sondir, va aksincha.
Quyilgan masalani hal etish uchun A, M va B nuqtalarni koordinata o‘qlariga
proyeksiyalaymiz: Ular lardan iborat bo‘ladi.
y
B
B
y
M
y M
A
y A
0 A
x M
x B
x x

8-chizma
Ko‘rinib turibdiki, nuqta yo‘nalgan kesmani nisbatda bo‘ladi,
yani
Agar ekanligini nazarga olsak, tenglikdan
ekanligini topamiz.
Xuddi shu yo‘l bilan ni topamiz. Shunday qilib, berilgan
kesmani nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatalari
,
formulalar yordami bilan topiladi.
Agar nuqta yo‘nalgan kesmaning o‘rtasida bo‘lsa =1 bo‘lib
yuqoridagi formulalar quyidagi ko‘rinishni oladi:
,
26

X ULOSA
Bizga ma’lumki funksiyaning Tekislikda koordinatalar metodi analitik
geometriya fanining muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridaan biri bo‘lib hisoblanadi.
Ayniqsa To‘g‘ri chiziqda koordinatalar metodi jarayoni salohiyati va amaliy
qo‘llana bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko‘p tushunchalarni
o‘z ichiga oladi. Koordinatalar ikki nuqta orasidagi masofa , Kesmani berilgan
nisbatda bo‘lish. ustida amalini bajara olish – matematik analiz asoslari fanini
yaxshi o‘zlashtirish, unga tegishli bo‘lgan tushunchalar va turli masalalarni
yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.
Men kurs ishini yozish davomida quyidagilarni o‘rgandim:
1. O‘q ustida yo‘nalgan kesmalar.
2. Yo‘nalgan kesmalar ustida chiziqli amallar.
4.To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi haqida
5.Qutb koordinatalar
6.To‘g‘ri burchakli koordinatalar va qutb koordinatalar orasidagi bog‘liqlik
7.Maktabda koordinatalar metodini o‘rganishning asosiy holatlari
8.Koordinatalar metodining ma`nosi.
9.Ikki nuqta orasidagi masofa
10.Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish
Men ushbu kurs ishini tayyorlash davomida To‘g‘ri chiziqda koordinatalar
metodi ta’rifi, to‘g‘ri chiziqda koordinatalar metodi teoremalar va ularning
isbotlari, koordinatalar metodining ma`nosi , chiziqli koordinatalar metodi doir
27

$ko‘plab misollar, tekislikda koordinatalar metodi tizimlar va ularning tatbiqlari bilan tanishib chiqdim. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 1. Karimov. I.A. “Barlkamol avlod-kelajagimiz poydevori”, T. “O‘zbekiston”, 1998. 2. Karimov I. A. Yuksak ma’naviyat engilmas kuch, Toshkent, “Ma’naviyat”, 2008. 3. Azamov A va boshqalar “Geometriya” darslik, Toshkent “ Yangiyo‘l poligraph service”, 2009. 4. Dodajonov N.D., Jo‘raeva M. Sh. Geometriya, 1-qism, Toshkent, “O‘qituvchi”, 1996. 5. Mishin V. I. Metodika prepodavaniya matematiki v sredney shkole: Chastnaya metodika: Ucheb posobie dlya studentov ped. in-tov po fiz.- mat. spets / A. Ya. Blox, V. A. Gusev, G. V. Dorofeev – M. Prosveshenie 1987. 6. Mirzaaxmedov M.A., Rahimqoriev A.A. 6-sinfda matematika\\ o‘qituvchilar uchun qo‘llanma, T:O‘qituvchi, 2005 7. Nasritdinov G‘.N va boshqalar, Matematka 6-sinf uchun darslik, T:”Nashriyot- matbaa uyi”,2012 8. Pogorelov, A. V. Geometriya dlya 7-11 klassov sredney shkoli - M: Prosve щ enie, 1990. 9. Pontryagin, L. S. Znakomstvo s visshey matematiki. Metod koordinat [Tekst] – M. Nauka, 1987. 28$

Tekislikda koordinatalar metodi

Купить

Информация о документе

Продавец

Tekislikda koordinatalar metodi

Похожие документы