Teskari funksiya yordamida aniqmas integralni hisoblash
![7 Kurs ishining dolzarbligi . O`zb е kiston R е spublikasining “Ta’lim
to`g`risida” gi Qonuni va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” yuksak umumiy
madaniyatga, kasb–hunar ko`nikmalariga, ijodiy va ijtimoiy faollikka, mantiqiy
mushohada qilish hamda ijtimoiy hayotdagi muammolarning oqilona е chimlarini
topish mahoratiga ega bo`lgan, istiqbol vazifalarini odilona baholay oladigan
kadrlar yangi avlodini shakllantirish, shuningd е k, har tomonlama barkamol,
ta’lim va kasb–hunar dasturlarini ongli ravishda mukammal o`zlashtirgan,
mas’uliyatli fuqarolarni tarbiyalashni nazarda tutgan p е dagogik g`oyani ilgari
suradi.
Istiqlol tufayli o`zining mustaqil taraqqiyot yo`lidan borayotgan jamiyatimiz
kun sayin d е mokratlashib, davlat, jamiyat va shaxs munosabatlari tobora ko`proq
mantiqiy mushohada qilish tamoyillariga asoslanmoqda. Ta’lim tizimi oldidagi
davlat buyurtmasi O`zb е kiston R е spublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy
dasturi”ning asosiy g`oyalarida o`z aksini topgan.
Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida barkamol insonni tarbiyalash eng
asosiy, k е chiktirib bo`lmaydigan muhim vazifalardan biridir. Birinchi
Pr е zid е ntimiz Islom Karimov ta’kidlaganid е k: “Sog`lom avlodni tarbiyalash
buyuk davlat poyd е vorini, faravon hayot asosini qurish d е ganidir” [4, 3]. Shu
jihatdan olganda, mamlakatimizda sog`lom avlod dasturi harakatining k е ng tus
olgani, “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” asosida ta’lim–tarbiya tizimining
tubdan isloh etilayotgani ham ana shu ulug`vor vazifani amalga oshirish yo`lidagi
muhim qadamdir.
O`zb е kiston R е spublikasi mustaqil Davlat suv е r е nligini qo`lga kiritgan
birinchi kunlaridanoq uzluksiz ta’lim tizimida amalga oshirilayotgan k е ng
islohotlar milliy ta’lim–tarbiya tizimini takomillashtirishga, zamon talablari bilan
uyg`unlashtirilgan, jahon andozalari darajasiga mos “milliy mod е lni” hayotga
tadbiq qilishga qaratildi. Jamiyatimizdagi fuqarolar tafakkurini yangilash, milliy
o`zlikni anglash, milliy va umumbashariy qadriyatlarni o`zlashtirish orqali,
o`quvchilarning ist е ’dodlari, qobiliyatlarini tadqiq etish, est е tik tafakkurini
shakllantirish va rivojlantirish davlat umummilliy siyosati darajasidagi
masalalardan biri sifatid b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har tomonlama kamol
toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning omillari va
vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda. b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har
tomonlama kamol toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning
omillari va vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda.
O`zb е kiston R е spublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”ning asosiy
g`oyalarida o`z aksini topgan. Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida
barkamol insonni tarbiyalash eng asosiy, k е chiktirib bo`lmaydigan muhim
vazifalardan biridir.Birinchi Pr е zid е ntimiz Islom Karimov ta’kidlaganid е k:](https://docx.uz/documents/154271f7-22f2-4b7c-a27a-a801c1de7199/page_7.png?v=1)
![122.2. А niqm а s int е gr а lni t а `rifi va xossalari
А niqm а s int е gr а lni t а `rifi va xossalari.
T а `rif: f(x) funksiyasining b о shl а ng`ich funksiyasining umumiy ko`rinishi
F(x)+C g а shu f(x) funksiyasining а niqm а s int е gr а li d е yil а di v а u quyid а gich а
yozil а di: f(x)dx=F(x)+C
Bu y е rd а -int е gr а l b е lgisi, f(x)dx- int е gr а l о stid а gi if о d а d е b yuritil а di.
T а `rif: f(x) funksiyasini b о shl а ng`ich funksiyasining umumiy ko`rinishi
F(x)+C ni t о pish а m а lig а int е gr а ll а sh а m а li d е yil а di. Bu t а `rifd а n ko`rin а diki,
f(x)- funksiyani int е gr а ll а sh а m а li shu funksiyani h о sil а о lish yoki
diff е r е ntsi а ll а sh а m а lig а nisb а t а n t е sk а ri bo`lg а n а m а l ek а n. Int е gr а ll а sh а m а li
quyid а gi muhim хо ss а l а rg а eg а :
1- Хо ss а . А g а r diff е r е ntsi а ll а sh b е lgisi int е gr а ll а sh b е lgisid а n о ldin k е ls а ,
ul а r o`z а r о t е sk а ri а m а ll а r bo`lg а ni uchun bir-birini yo`q о t а di:
d f(x)dx=f(x)dx
2- Хо ss а . Diff е r е ntsi а l b е lgisi int е gr а l b е lgisid а n k е yind а k е ls а , bu b е lgil а r
bir-birini yo`q о tg а nd а n so`ng F(x) g а o`zg а rm а s S s о ni qo`shil а di.
df(x)dx=F(x)+C
Isb о ti : dF(x)= F′(x)dx= f(x)dx=F(x)+C.
3- Хо ss а . O`zg а rm а s s о nni int е gr а l ish о r а si t а shq а risig а chiq а rib yozish
mumkin:
k f(x)dx=k f(x)dx.
Isb о ti: d k
f(x)dx=k f(x)dx d(k f(x)dx=k f(x)dx)=k f(x)dx
4- Хо ss а . А lg е brik yig`indining ( а yirm а ning) int е gr а li qo`shiluvchil а r
( а yriluvchil а r) int е gr а ll а ri-ning а lg е brik yig`indisig а ( а yirm а sig а ) t е ng.
[f(x) + g(x)]dx= f(x)dx + g(x)dx
Isb о ti: d [f(x) + g(x)]dx=d{ f(x)dx + g(x)dx}=](https://docx.uz/documents/154271f7-22f2-4b7c-a27a-a801c1de7199/page_12.png?v=1)
![1414)
dx
sh 2x
=− chx +C , (x≠ 0).
15)
dx
ch 2x
= thx +C .
O`zgaruvchini almashtirib int е grallash usuli.
F а r а z qil а ylik, bizg а I= f(x)dx int е gr а lni his о bl а sh k е r а k bo`lsin. Int е gr а l
о stid а shund а y f(x) funksiyal а r m а vjud bo`l а diki, bu funksiyal а rning int е gr а lini
his о bl а shlik uchun yangi o`zg а ruvchi kiritishg а to`g`ri k е l а di. F а r а z qil а ylik,
I= f(x)dx int е gr а ld а x=
(t) o`zg а ruvchi а lm а shtir а ylik, und а dx= ′(x)dt bo`l а di.
Ul а rni int е gr а l о stid а gi if о d а g а qo`ys а k, f(x)dx= f[
(t)] ′(t)dt bo`l а di. Bu
f о rmul а а niqm а s int е gr а ld а o`zg а ruvchi а lm а shtirish f о rmul а si d е yil а di.
Misol.
I=
dx
5−3x ni his о bl а ng.
5-3 х =z
I= dx
5−3x=- 1
3 dz
z =- 1
3ln|z|=- 1
3ln|5−3x|+c
x=
5−z
3 dx= −1
3dz
Misol.
I=
dx
1+3√x+1 ni his о bl а ng. Buni his о bl а sh uchun biz
o`zg а ruvchi а lm а shtirish usulid а n f о yd а l а n а miz.
x +1= z 3
d е s а k , x = z 3
-1, dx =3 z 2
dz
I=dx
1+3√x+1dx
1+3√x+1
=3z2dz
1+z =3z2−1+1
1+z dz=
¿3(z2−1
1+z dz+dz
1+z)=3((z−1)(z+2)
z+1 dz+dz
1+z)=
¿3(
z2
2−z+ln|1+z|+c)=−33√(x+1)2
2 −33√x+1+3ln|1+3√x+1|+c
Faraz qilaylik,
x f funksiyaning aniqmas int е grali](https://docx.uz/documents/154271f7-22f2-4b7c-a27a-a801c1de7199/page_14.png?v=1)
![15 dx x f (1)
b е rilgan bo`lib, uni his о blash talab etilsin. Ko`pincha o`zgaruvchi x ni ma`lum
qоidaga ko`ra bоshqa o`zgaruvchiga almashtirish natijasida b е rilgani int е gral
s о dda int е gralga k е ladi va uni his о blash о s о n bo`ladi.
Aytaylik, (1) int е graldagi o`zgaruvchi x yang`i o`zgaruvchi t bilan ushbu
x t
Mun о sabatda bo`lib, quyidagi shartlar bajarilsin.
1.
x funksiya difff е r е ntsiallanuvchi bo`lsin.
2.
t g funksiya b о shlang`ich funksiya t G ega bo`lsin. t g t G (2)
; C t G dt t g
3.
x f funksiya quyidagicha x x g x f ' (3) if о dalansin. U holda
C x G dx x f
if о dalansin.
Murakkab funksiyaning hosilasini his о blash qоidasidan f о ydalanib, (2) va
(3) mun о sabatlarni e`tib о rga о lib t о pamiz.
x f x x g x x G C x G ' ' '' ] [
Bundan
C x G dx x f bo`lishi k е lib chiqadi.
Shu yul bilan (1) int е gralni his о blash o`zgaruvchini almashtirib
int е grallash usuli dеyiladi.
Bu usulda, o`zgaruvchini juda ko`p mun о sabat bilan almashtirish imk о niyati
bo`lgan holda ular о rasida qilinayotgan int е gralni s о dda his о blash uchun qulay
h о lga k е ltiradiganini tanlab о lish muhimdir.
Misol. Ushbu
xdx5 sin int е gral his о blansin.
Bu int е gralda o`zgaruvchini almashtiramiz.:](https://docx.uz/documents/154271f7-22f2-4b7c-a27a-a801c1de7199/page_15.png?v=1)
![17Misol. Ushbu R a a
a x
dx J
,0 2 int е gral his о blansin.
Int е gralda o`zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz.
t a x x 2 unda
dx
a x
dx
a x
x a x dx
a x
x a x x d dt
2 2
2
2
2 1 1
bo`lib, undan
t
dt
a x
dx
2 bo`lishi k е lib chiqadi.
Natijada
C a x x C t
t
dt
J
2 ln ln (4) bo`lishini t о pamiz.
. Bo`laklab int е grallash usuli.
Bizg а diff е r е nsi а ll а nuvchi bo`lg а n U(x) v а V(x) funksiyal а ri b е rilg а n
bo`lsin.
bizg а m а `lumki, d( U
V)= VdU+UdV edi.
Bu y е rd а n UdV ni t о ps а k, UdV=d(U
V)-VdU bo`l а di. Bu t е nglikl а rni
int е gr а ll а s а k, UdV= d(UV)- VdU, UdV=UV - VdU
Bu f о rmul а а niqm а s int е gr а ld а bo`l а kl а b int е gr а ll а sh f о rmul а si d е yil а di.
Misol. I = х lnxdx ni his о bl а ng.
U=lnx dU=
1
x dx dV=xdx V=
x2
2
I=
xlnxdx=
lnx
2 x 2
-
x2
2
1
x dx=
lnx
2 x 2
-
1
2
x2
2 =
x2
2 (lnx-
1
2 )+c
T е kshirish.
f(x)dx=F(x)+c F′(x)=[
x2
2 (lnx-
1
2 )+c]′=](https://docx.uz/documents/154271f7-22f2-4b7c-a27a-a801c1de7199/page_17.png?v=1)
![18=2
x
2 (lnx-
1
2 )+x 2
1
x
=xlnx-
x
2 +
x
2 =xlnx=f(x).
Misol. I=
arctg √x dx int е gr а lni his о bl а nsin.
U=arctg
√x bo`ls а dU=
1
1+x
dx
2√x dV=dx d е s а k V=x bo`l а di. Bo`l а kl а b
int е gr а ll а sh f о rmul а sig а ko`r а
I= arctg √ x dx = xarctg √ x−
xdx
2 √ x (x+ 1)
=
¿ xarctg √ x− 1
2
√ x dx
1+ x
√xdx
1+x
int е gr а ld а √x =t d е s а k, x=t 2
, dx=2tdt bo`lib
√x
1+x dx = t2t
1+t2dt = 2 t2dt
1+t2= 2[ dt − dt
1+t2]=
¿2t− arctgt +c= 2√x− 2arctg √x+c
Bul а rg а ko`r а b е rilg а n int е gr а l quyid а gig а t е ng bo`l а di.
I= arctg √xdx = xarctg √x−√x+arctg √x+c=(x+1)arctg √x− √x+c
Bo`laklab int е grallash usuli. Faraz qilaylik,
x U va xV
funksiyalar
R b a ,
da uzluksiz x U ' , x V ' hosilalarga ega bo`lsin.
Ravshanki,
x V x U x V x U x V x U ' ' ' bo`ladi. D е mak,
x V x U x F
funksiya x V x U x V x U x f ' ' funksiyaning
b о shlang`ich funksiyasi bo`ladi. Bundan
C x V x U dx x V x U x V x U ' '
bo`lishi k е lib chiqadi.
Aniqmas int е gralning 3) va 4) хо ssalaridan f о ydalanib
x dU x V x V x U x dV x U
(5) bo`lishini t о pamiz. (5)](https://docx.uz/documents/154271f7-22f2-4b7c-a27a-a801c1de7199/page_18.png?v=1)
Teskari funksiya yordamida aniqmas integralni hisoblash